TFY4155 ELEKTRISITET OG MAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME

(1)

Institutt for fysikk

Eksamensoppg˚ ave i

TFY4155 ELEKTRISITET OG MAGNETISME FY1003 ELEKTRISITET OG MAGNETISME

Faglig kontakt under eksamen:Institutt for fysikk v/Arne Mikkelsen, Tlf.:486 05 392

Eksamensdato: Laurdag 24. mai 2014 Eksamenstid: 09:00 - 13:00

Tillatne hjelpemiddel (kode C):

Bestemt enkel godkjend kalkulator.

Rottmann: Matematisk formelsamling (norsk eller tysk utg˚ave).

C. Angell og B. E. Lian: Fysiske størrelser og enheter.

Vedlagt formelark.

Annan informasjon:

1. Denne eksamen tel 90 % p˚a endeleg karakter, laboratorierapport 10 %. For studentar med laboratorium godkjent 2012 og før tel denne eksamen 100 %.

2. Prosenttala i parentes gitt ved kvar oppg˚ave angir kor mykje ho i utgangspunktet blir vektlagd i bedømminga.

3. Nokre generelle faglege merknadar:

- Symbol skrivast i kursiv (t.d.V for potensial), medan einingar skrivast utan kursiv (f.eks. V for volt) - ˆi,ˆj og ˆk er einingsvektorar i henholdsvisx-,y- og z-retning.

- Ved talsvar krevst b˚ade tal og eining.

4. I ﬂeirvalsspørsm˚ala er kun eit av svara rett. Du skal alts˚a svare A, B, C, D eller E (stor bokstav) eller du kan svare blankt.Rett svar gir 5 p, galt svar eller fleire svar gir 0 p, blank (ubesvart) gir 1 p.

Svar p˚a ﬂeirvalsspørsm˚al i Oppg˚ave 1 skriv du p˚a første innleveringsark i ein tabell lik følgjande:

a b c d e f g h i j

Mitt svar:

5. Oppg˚avane er utarbeida av Arne Mikkelsen.

M˚alform/spr˚ak:Nynorsk.

Sidetal (inkludert denne framsida):6.

Sidetal vedlegg:2.

Kontrollert av:

Dato Sign

Merk! Studentane finn sensur i Studentweb. Har du spørsm˚al om sensuren m˚a du kontakte instituttet ditt. Eksamens- kontoret vil ikkje kunne svare p˚a slike spørsm˚al.

(2)

Oppg˚ave 1. Fleirvalsspørsm˚al (tel 30 %)

a) Eit stort plan ligg i yz-planet, dvs. har x- aksen som ﬂatenormal. Planet har ein positiv ﬂateladningσ. Grafen som best representerer det elektriske potensialetV(x) nær planet er A) (1)

B) (2) C) (3) D) (4) E) (5)

...

x V(x)

(1)

.....................

...

x V(x)

(2)

.....................

...

x V(x)

(3)

.....................

...

x V(x)

(4)

............

...

x V(x)

(5)

...............

b) Potensialet i eit omr˚ade erV(y) =V₀y/a, derV₀ ogaer konstantar. Kor stor potensiell elektrisk energi U er det d˚a i volumet avgrensa av 0≤x≤a, 0≤y ≤a, 0≤z≤a?

A)U = 0 B)U =V₀²a² C)U=₀V₀²a D)U = ¹₄₀V₀²a E)U =¹

2₀V₀²a

c) Ei metallkule har ein radius p˚a 30 cm. Kor stor ladning kan akkumulerast p˚a ei slik kule før vi f˚ar overslag i lufta omkring? Overslag i luft skjer dersom det elektriske feltet blir større enn 3,0 MV/m.

A) 100μC B) 30μC C) 20μC D) 10μC E) 3,0μC

d) Ein parallellplatekondensator er laga av to parallelle metallplater som har avstanddmellom. Det er luft mellom platene. Øvste plate er positivt ladd og nedste motsatt like stort negativt ladd. Spenningsforsyninga er frakopla. Sj˚a bort fra endeeﬀekter. Kva for ein storleik endrar seg ikkje dersom vi auker avstanden mellom platene?

A) Kondensatorens kapasitans

B) Det elektriske feltet mellom platene

C) Den potensielle energien lagra i kondensatoren D) Potensialforskjellen mellom platene

E) Alle A-D.

(3)

e) To tilnærma uendeleg store parallelle metallplater har ladning respektive σ og −σ per ﬂateeining.

Volumet mellom platene best˚ar av, fr˚a venstre mot høgre, eit lag med dielektrikum med relativ permittivitet 5, eit lag med luft, eit lag med metall og eit lag med dielektrikum med relativ permittivitet 2 (sj˚a ﬁguren).

Rangér den elektriske feltstyrken i dei fire gitte posisjonane midt inne i kvart av dei fire laga.

A) E₁=E₂=E₃=E₄ B) E₁> E₄> E₂> E₃ C)E₂> E₄> E₁> E₃ D) E₁> E₂> E₃> E₄ E) E₄> E₁> E₂> E₃

−

− +

+ + + + + + + + +

ε_r ε_r

σ −σ

1 2 3 4

=5 luft metall =2

f ) For same system som i oppg˚ava ovanfor: Rangér potensialet V i dei fire gitte posisjonane midt inne i kvart av dei fire laga.

A)V₁=V₂=V₃=V₄ B)V₁> V₄> V₂> V₃ C)V₂> V₄> V₁> V₃ D) V₁> V₂> V₃> V₄ E)V₄> V₁> V₂> V₃

g) I den augneblinken den negative ladninga−qpasserer origo har magnetfeltet (pga. ladninga−q) i punktet P retning i negativ x-retning. Ladninga m˚a d˚a røre seg

A) i positivy-retning B) i positivz-retning C) i positivx-retning D) i negativz-retning E) i negativy-retning

-x y 6z

B qP

v−q

h) Ein uendeleg lang, rett leiar A i x-retning fører ein straum mot høgre som synt i ﬁguren. Ein annen uendeleg lang, rett leiar B i z-retning fører straum oppover. Leiarane har ein avstand Δy= 1,0 m p˚a det næraste og haldast fast i denne stillingen. Kva er retninga til den netto magnetiske krafta (sum av magnetiske krefter) p˚a leiar A?

A) retning +z (oppover) B) retning +x(mot høgre) C) retning−x(mot venstre) D) retning−z (nedover)

E) nettokrafta er lik null

...

^A

...

B

..................

..............

...

- I 6I

Δy

-x 6z

y

(4)

i) Ein leiar best˚ar av to rette deler og ein halvsirkelforma del mellom dei, som synt i ﬁguren. Straum g˚ar i leiaren som synt og produserer eit B-felt ved punktet P som ligg i sentrum av halvsirkelen som har radius R. Kva er retninga p˚a B-feltet ved punktet P?

A) mot høgre B) mot venstre C) opp av papirplanet D) ned i papirplanet

E) B-feltet ved P er null qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqI - qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq qqqqqqqqqqq qqqqqqqqqAAKAqqqqqqqqAqqqqqqqAqqqqqqqAqqqqqqrqqqqqqPqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq I - R

j) Ein tett vikla solenoide er 15 cm lang, har 350 viklingar, fører ein straum 3,0 A og har ein aluminiumskjerne med magnetisk susceptibilitetχ_m= 2,3·10⁻⁵. Dersom du ser bort fr˚a endeeffektar, vil du finne at verdien til den magnetiske flukstettleikenB i sentrum er omlag

A) 8,80 mT B) 8,80 mA/m C) 7000 mT D) 202 mA/m E) 0,0 mT

Oppg˚ave 2. Potensial og energi (tel 13%) I denne oppg˚ava kan du brukek= (4π₀)⁻¹.

Tre punktladningar er plasserte p˚ax-aksen, +Qix=−a, −2Qi x= 0 og +Qix= +a.

-x

u u u

−a 0 +a

+Q −2Q +Q

a)Finn uttrykk for potensialetV(x) for allex >+a. Potensialets referanseV = 0 er uendeleg langt borte.

b) Finn uttrykk for den elektrostatiske energien til ladningssamlinga ved ˚a rekne ut energien som krevjast for ˚a sette inn ´ei og ´ei ladning. Punktladningane hentast fr˚a uendeleg langt borte.

Oppg˚ave 3. Kondensator (tel 18%)

Ein luftfylt kondensator er satt saman av to tynne metallplater som er bøygd til to sylindrar med radier respektiver₁= 3,00 cm ogr₂= 6,00 cm, sj˚a ﬁguren. Sylindrane har sams akse, lengdh= 50 cm.

Kondensatoren er kopla til ein spenningsforsyning V₀ = 200 V (ikkje synt i figuren) med den indre sylinderen p˚a høgste potensial. Denne potensialforskjellen gir kondensatoren ei ladningQ₀. Du kan sj˚a bort fr˚a randeffektar ved sylindranes endeflater, dvs. anta E = 0 utanfor endeflatene.

2r₂ 2r₁

h r

a) Finn uttrykk for det elektriske feltet E(r) mellom sylindranes endeﬂater for alle verdier av r∈[0,∞].

Q₀skal inng˚a i uttrykket og ikkjeV₀.

b) Finn V₀ uttrykt med m.a. Q₀ og rekn herfr˚a ut verdi for Q₀ (tallsvar) og ﬁnn deretter verdien av kapasitansenC₀til kondensatoren.

(5)

Spenningsforsyninga koplast fr˚a og kondensatoren i vertikal stilling senkast halvvegs ned i ei dielektrisk væske. Konden- satorens totalladningQ₀haldast uendra. Væska fyller rommet mellom platene opp til h_v = h/2. Væska har permittivitet _v=_r₀= 4,0·₀ og konduktans lik null. Indeks v for væske.

c) Finn verdi av det elektriske feltet E_v(r₁) ved overﬂata av den indre sylinderen der denne er omgitt av væske (tallsvar).

2r₂ 2r₁

h r

h_v

Væskeoverflate

Oppg˚ave 4. Magnetisme (tel 11%)

Ei plan, rektangulær straumsløyfe har sidekantar a og b og er orientert 30^◦ med x-aksen, som synt i ﬁguren der ´og xyz- koordinatsystemet er indikert. Sidene er a = 0,200 m og b = 0,100 m. Sløyfa fører ein konstant straum I = 5,00 A i retning mot klokka sett ovanfr˚a og er plassert i eit uniformt magnetisk felt p˚a B = 1,50 T i x-retning, dvs. retning 30^◦ med sløyfeplanet.

a)Rekn ut magnetisk ﬂuks gjennom sløyfa.

x y

z a

b I I

B

θ=30^o B

B B

O’

O

b)Rekn ut magnetisk dipolmoment for straumsløyfa (storleik og retning).

c)Finn kraftmomentet som virker p˚a sløyfa (storleik og retning for vektoren).

Oppg˚ave 5. Induksjon (tel 14%)

Figuren til høgre viser ei vertikalt orientert kvadratisk straumsløyfe.

Sløyfa ligg i xz-planet (papirplanet), har sidekantar , masse m og total resistans R. Eit homogent magnetisk felt B dekkjer nøyaktig øvre halvdel av sløyfa. B har retning opp av papirplanet, dvs. i y- retning. Sløyfa sleppast herfr˚a utan startfart og vil s˚a falle i−z-retning pga. tyngdekraftamg. Vi studerer fallet fram til den øvre sløyfekanten forlaterB-feltet.

a) Finn indusert elektromotorisk spenning, E, i sløyfa uttrykt m.a.

med fartenv i−z-retning.

- x 6 z

ydq

qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqq

qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqq qqqqqqqqq qqqqq qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq-

6

?

6

? /2

...

B

dp dp dp dp dp dp dp dp dp

dp dp dp dp dp dp dp dp dpdp dp dp dp dp dp dp dp dp

b)Finn uttrykk for krafta p˚a sløyfa pga. induksjonsstraumen. Gi retninga p˚a krafta. Krafta kan skrivast p˚a formF =mv/τ, uttrykk konstantenτ med gitte storleikar.

c)Sløyfas fartv(t) vil vere ein funksjon at tidat. Bruk Newtons andre lov

F=matil ˚a ﬁnne eit uttrykk forv(t) der m.a.τ inng˚ar.

(6)

Oppg˚ave 6. Vekselstraumskrets. (tel 8 %)

Figuren syner ein krets med ein resistans,R, ein induktans, L, og ein kapasitans, C, i parallell. Kretsen drivast av ein vekselspenningskilde med amplitudeV og variabel frekvens ω. Spenningskilden og tilføringsleiarane har null resistans.

a)Finn kretsens totale impedansZ. Skriv den p˚a forma

Z= A

1 +iωτ(1−(ω₀/ω)²) og bestem A, τ ogω₀.

b)Ved kva for ein frekvens ωer straumamplituden minimum? Bestem straumamplituden i det tilfellet.

Oppg˚ave 7. Forskuvingsstraum. (tel 6%)

Ein parallellplatekondensator best˚ar av to sirkulære plater med radiusR= 2,00 cm. Avstanden mellom platene er liten slik at du kan anta homogent elektrisk felt mellom platene (ingen randeﬀek- tar). Ved eit visst tidspunkt tilførast kondensatoren ein elektrisk straumI(inn p˚a den positive og ut av den negative plata).

Mellom platene blir det eit magnetfelt, gjerne forklart ved ein forskuvingsstraum I_d = I mellom platene. Kva er storleiken og retninga p˚a den magnetiske feltstyrken H i ein radiell avstand r = 1,00 cm fr˚a senteraksen mellom platene n˚ar straumen I = 2,52 A?

...

?I

?I R - r-

−Q +Q

......

...

(7)

Vedlegg: FORMELLISTE.

Formlanes gyldighetsomr˚ade og dei ulike symbolas meining takast for ˚a vere kjent. Symbolbruk som i fore- lesningsnotata.

Q, ρ ogσutan indeks syner tilfrieladningar.Q_i,ρ_i ogσ_i er indusert ladning.

I ogJ utan indeks er leiarstraum (conducting current),I_dogJ_d er forskuvingsstraum (displacement current).

Coulombs lov: F₁₂= 1 4π

q₁q₂

r² ˆr₁₂ E = 1 4π

q r²ˆr

Gauss’ lov integralform:

D ·dA =Q

E ·dA=Q/

P ·dA=−Q_i

B ·dA = 0 Gauss’ lov diﬀerensialform: divD =ρ divE =ρ/ divP =−ρ_i divB = 0

Fluks: Φ_E=

E ·dA Φ =

D ·dA =Φ_E Φ_B =

B ·dA

Amperes lov:

B ·ds=μ

I+∂Φ_E

∂t

H ·ds=I+∂Φ

∂t curlH =J+∂ D

∂t Faradays lov: E=−∂Φ_B

∂t =−LdI dt

E ·ds=−∂Φ_B

∂t curlE =−∂ B

∂t Maxwells likningar: divD =ρ divB = 0 curlE =−∂ B

∂t curlH =J+∂ D

∂t Forskuvingsstraum: I_d=∂Φ

∂t , J_d= ∂ D

∂t

Elektrisk dipolmoment: p=q d (fra – til +) Polarisering:P = p volum Magnetisk (dipol)moment: μ=m =I A Magnetisering:M =

μ volum Kraftmoment: τ =p×E τ=μ×B

D =₀E +P = E=_r₀E P =χ_e₀E _r= 1 +χ_e B =μ₀H +μ₀M =μ H =μ_rμ₀H M =χ_mH μ_r= 1 +χ_m Elektrisk potensial: V_a−V_b=−

_a

b

E ·ds , E =−∇V , Relativt∞: V(r) = dq

4πr Energi og energitettleik: U =1

2

Vdq Elektrisk:u= 1 2

D ·E Magnetisk: u=1 2

B ·H

Kondensatorer: C=Q

V Kulekondensator:C= 4π₀R Energi:U = 1

2QV = 1 2CV² Platekondensator:C=A

d Parallellkopling:C=

i

C_i Seriekopling: 1 C =

i

1 C_i Kraft p˚a straumførende leiar: dF =Ids×B Lorentzkrafta: F =q

E+v×B

Biot-Savarts lov: B = μ₀ 4π

q v× ˆr

r² dB = μ₀ 4π

Ids×ˆr r² H-felt rundt∞lang leiar: H_θ= I

2πr H-felt i lang, tynn solenoide: H=I·n=I·N

(8)

Ohms lov: V =RI , R=ρ A = 1

σ

A; P =V I

σ E=J , der straumtetthet =J=nqv_d ogv_d=μ E = driftsfart.

Induktans: E=−LdI

dt E2=−M₂₁dI₁

dt , M₂₁=M₁₂ Spoler: L=NΦ_B

I U = 1 2LI² Lenz lov: Ein indusert straum er alltid slik at den forsøker ˚a motvirke forandringen i den magnetiske ﬂuks som er ˚arsak til straumen.

Kompleks AC-signal: V(t) =V₀eîωt=|V₀|eîαeîωt I(t) =I₀eîωt=|I₀|eîβeîωt Z = V(t)

I(t) =V₀

I₀ =|Z|e^iφ Z_R=R Z_L=iωL Z_C= 1 iωC

Nablaoperatoren:

Kartesiske koordinater (x, y, z), med einingsvektorer henholdsvis ˆi,ˆj og kˆ: gradV =∇V = ˆi ∂V

∂x + ˆj ∂V

∂y + ˆk ∂V

∂z divD =∇ · D = ∂D_x

∂x + ∂D_y

∂y + ∂D_z

∂z

∇²V = ∂²V

∂x² + ∂²V

∂y² + ∂²V

∂z² curlD =∇ × D =

ˆi ˆj kˆ

∂x∂ ∂

∂y ∂

∂z

D_x D_y D_z Sylinderkoordinater(r, φ, z), med einingsvektorer henholdsvis ˆr,φˆ og kˆ :

∇V = ˆr ∂V

∂r + ˆφ1 r

∂V

∂φ + ˆk ∂V

∂z

∇ · D = 1 r

∂

∂r(rD_r) + 1 r

∂D_φ

∂φ + ∂D_z

∂z

∇²V = 1 r

∂

∂r

r∂V

∂r

+ 1 r²

∂²V

∂φ² + ∂²V

∂z² Kulekoordinater(r, θ, φ), med einingsvektorer henholdsvis ˆr,ˆθ,φˆ :

∇V = ˆr ∂V

∂r + ˆθ1 r

∂V

∂θ + ˆφ 1 rsinθ

∂V

∂φ

∇ · D = 1 r²

∂

∂r

r²D_r

+ 1

rsinθ

∂

∂θ(D_θsinθ) + 1 rsinθ

∂D_φ

∂φ

∇²V = 1 r²

∂

∂r

r²∂V

∂r

+ 1

r²sinθ

∂

∂θ

sinθ∂V

∂θ

+ 1

r²sin²θ

∂²V

∂φ²

Divergensteoremet og Stokes’ teorem for eit tilfeldig vektorfeltF:

F ·dA =

∇ · F dτ

F ·ds= ∇ × F ·dA

Infinitesimale volumelement:

dτ = dxdydz

dτ = r²dr sinθdθdφ kulesymmetri−→ 4πr²dr dτ = rdrdφdz syl.symmetri−→ 2πrdr