SAMENSTEL
VAN
MEET KUNDE.
1
G ROND EN 6
6 3
DER
ME E T KONST ,
Ο F
BEKNOPT SAMENSTEL
DE E Z E R
W E E TENSCHAP,
TEN NUTTE VAN HUN , DIE IN DE
EERSTE BEGINSELEN DAARVAN
ZICHZELVEN WILLEN ONDER
WYZEN ,
EN TEN MEER DUIDLYKEN VERSTANDE
VAN ALL
WISKUNDIGE VOORSTELLEN .
GEVOLGD NAAR HET WERK VAN DEN BEROEMDEN
S I M PSS 00 N.
MET VEELE FIGUUREN OPGE NI ELDERD.
Te A M S T E R D A M, by
J. W. s M I T ,
A D cc x cІ .
GR O N D EN DER
MEET KUNST.
EERS TE BOE K.
1 HE
af Et woord Geometria is uit de Griekfche Taal af komſtig ', en beteekent eigentlyk Aard - Meet KUNST , alhoewel haare nuttigheid veel verder ſtrekt.
Want , het is zeker , dat het Landmeeren een der ge ringſte bezigheden eens Meetkunſtenaars , en niet het eenige oogmerk is , dat men by her leeren van deeže Weetenſchap kan hebben . Neen , de Geometrie bezit veel grooter rykdommen , waar mede zy andere Wee tenſchappen veel meer als haar zelfs bedient. Zy praalt met geen ontleende pragt ; maar verſchynt t’allen iyden in een eenvouwdig , hoewel natuurlyk , gewaad , niet tegenſtaande de Natuur - Leere haar alle den glans te danken heeft , waar door zy_ het hart van een waar Wysgeer weet te bekoren . Zy heeft onder de Wee tenſchappen een tamelyk hoogen ouderdom bereikt , en verwerft zich door dezelve een groote agtbaarheid ; ter wyl men haar nooit te vooren kan leggen , dat zy zich in haare Jeugd van valſche of ontleende cieraaden heeft bediend , welke nogthans by andere Weetenſchappen van alle tyden in gebruik zyn geweeſt ,en ook bezwaar lyk hebben kunnen vermyd worden . Geene gelykenisa ſe , geene overeenkomſt der woorden , geene giſſingen en onderſtellingen zyn immer by de Geometrie aangeno.
men , en in gebruik geweeſt. Neen , grondige Verklaa . ringen , overtuigende Bewyzen , eene natuurlyke fchike king , en volkomen overeenſtemming , zyn altoos de kenmerken van een bekwaam Meetkunſtenaar geweeſt.
Hier zyn geen Sekten , geen wederleggingen en twiſt . gedingen , geen beſpotting des Ouderdoms , of verage tingvan het geen nieuw is ; want , alle die deeze Wee
[ A ] ten
>
1. BOEK .
( 2 )
tenſchap geleerd hebben , zyn zo wel met de Ouden , als onder malkanderen , zo eensgezind , als of zy een onderling verdrag hadden aangegaan . Hoe gelukkig zouden andere Weetenſchappen zyn , wanneer men dit van haar konde zeggen . Laaten wy dus de Geometrie leeren kennen , miſſchien worden wy daar door be kwaam gemaakt , zulk een heerlyk voorbeeld te kunnen volgen .
BEPAALINGEN. ( Definitiones. ) 1. De MeetkuNST ( Geometria ) is die Weetenſchap
waar door wy de grootheden , die uitgeſtrektheid hebben , met malkanderen vergelyken .
Uitgeſtrektbeid , wordt in lengte , breedte , en dikte onderſcheiden .
2. Een Lyn is een grootheid , welke lengte zonder breedte heeft .
De paalen , einden , of uiterſten van een Lyn , zyn punten . Dienvolgens is een punt geen grootbeid .
3. Een Vlak is eene uitgebreidheid , A
die alleen lengte en breedte heeft , als A.
De cinden van een Vlak
zyn lynen .
B
4. Een Lighaam is eene uitgebreid . heid , welke lengte , breedte , en dikte heeft , als B.
De einden van een Ligbaam zyn Vlakken .
A B 5. Een regte lyn is die , welke gelykelyk tuſſchen zyne uit ëinden ligt , of welke overal naar de zelfde weg ſtrekt ; en de kortſte lyn , die tuſſchen twee gegeeven punten , kan getrokken worden , als AB .
6. Een Plat vlak is , dat overal volkomen vlak en effen is >
I
> 1
( 3 ) 1. BOEK : is , of het welk , in ieder deel , een regte lyn raakt , die , tuſſchen twee punten , ergens in dat Vlak ge trokken wordt .
с
7. Een Hoek is de neiging , of opening , van twee regte lynen , die in een punt te ſaa men komen , als C.
с 8. Als een regte lyn , ſtaande op een ander AB , de hoe . ken aan beide zyden gelyk maakt , worden deezehoeken regte boeken genaamd , en de lyn CD wordt gezegd Perpen diculair op de andere AB te
zyn . A
-B D
D
9. Een ſcherpe hoek is die , welke klein der dan een regte hoek is , als D.
10. Een ſtompen hoek is die , welke groo ter dan een regte hoek is , als E.
Il . De afſtand van twee punten is de regte lyn , reiken de van het eene tot het andere .
12. De afſtand van een punt tot een lyn , is een regte lyn , getrokken van dat punt , perpendiculair tot de gegeeven lyn , waar in dezelve eindigt.
D 13. Parallele of evenwydige regte ly nen AB , CD , zyn zulke , welke op een plat Vlak zodanig nevens malkanderen getrokken worden , А. B dat wanneer dezelve verlengt wor den , zy malkanderen nooit ont moeten kunnen
14. Een Figuur is een beſloten ruimte , en is ; of een Vlak , of een Lighaam .
[ A ] 15. Een
1 1
I. BOEK .
( 4 )
15. Een regtlynige platte Figuur is die , welke in een plat Vlak gemaakt wordt , en waar van de uiteinden
regte lynen zyn .
16. Alle platte Figuuren , door drie regte lynen beſlo . ten , worden Driehoeken genaamd .
17. Een gelykzydige Driehoek is een Fi guur , welkers einden , of zyden , alle
gelyk zyn , als F.
F
A
18. Een gelykbeenige Driehoek is een Fi.
guur , waar van twee zyden gelyk zyn , als G
19. Een ongelykzydige Driehoek is een Figuur , waar van alle de drie zyden on - gelyk zyn , als H.
H
C 20. Een regthoekige Driehoek is een Figuur , welke een regte hoek heeft , als ABC ; en waar van de zyde AC , over den regten hoek , fchuinſche zyde , of Hypotbenuſa
AА BВ genaamd wordt .
21. Een Stomphoekige Driehoek is die welke eene ſtompe hoek heeft .
22. Een Scherphoekige Driehoek is die , waar van alle de hoeken ſcherp zyn .
23. Ieder platte Figuur , door vier regte lynen bepaald , wordt een Vierhoek , of Vierkant ( Quadrangulum ) ge
• naamd ,
24. Een Vierhoek , welkers over Itaande zyden parallel zyn , wordt I een Parallelogram , of Raam , geç
“ naamd , als I.
25. Een
( 5 ) I. BOEK . 25. Een Parallelogram , waar van de
hoeken alle regt zyn , wordt een Regthoek ( Rectangulum ) genaamd , als K ,
K
H.
26. Een Quadraat , of Vierkant , is een Parallelogram , welkers zyden alle ge lyk , en waar van alle de hoeken regte hoeken zyn , als L.
M
27. Een Rbombus of Ruit , is een Parallelogram , welkers zyden alle gelyk zyn ; doch geene regte hoe . ken heeft , als M.
30 .
AD
28. Alle andere vierzydige Figuuren , behalven deeze , worden Trapeziums genaamd.
29. De regte lyn , die twee overſtaande hoeken , van eene vierzydige figuur , te ſaamen voegt , noemt men Diagonaal .
De zyde AC , op welke een E
Parallelogram ABE C , of Drie hoek ABC , veronderſteld wordt te ſtaan , noemt men Ba fis ; en de Perpendiculair BD , с
vallende op dezelve , uit de o verſtaande hoek B , wordt de hoogte van het Paralle . logram , of van den Driehoek , genaamd .
31. Alle platte Figuuren , onder meer als vier zyden begreepen , worden Veelhoeken genaamd ; waar van die , welke vyf zyden hebben , Vyfhoeken ; die , wel . ke zes zyden hebben , Zeshoeken , enz . genaamd
worden .
32. Eene geſchikte , of regelmaatige Veelhoek , is een Figuur , waar van de hoeken , zo wel als de zyden , alle gelyk zyn,
[ A 3 ] 33. Een
I. BOEK . ( 6 )
9 A' 33. Een Cirkel is een platte Fi . guur , beſloten door een kromo me lyn ABCD , die men Cir . cumferentie , Peripherie , of om
В. D trek , noemt , welke van een
punt O , binnen den Cirkel overal even ver afſtaat dat men het Centrum , of middel . С
punt , noemt .
34. De Radius , of Straal , van een Cirkel , is de af . ſtand tuffchen het middelpunt en den omtrek , of een regte lyn O A , van het middelpunt tot den omtrek getrokken .
>
1
AXIOMATA , of klaarblykelyke Waarbeden . 1. Alle grootheden , die aan één en dezelfde grootheid
gelyk zyn , zyn ook aan malkanderen gelyk . 2. Ieder Geheel is grooter als deszelfs deel .
3. Ieder Geheel is gelyk aan alle deszelfs deelen faa men genomen .
4. Indien men by gelyke grootheden , gelyke groothe den vergaart , zullen de komende geheelen gelyk zyn . s . Indien men van gelyke grootheden , gelyke groothe
den aftrekt , zullen de overblyfſelen gelyk zyn.
6. Indien men by , of van , ongelyke grootheden , ge lyke grootheden vergaart , of aftrekt , zullen de fom men , of overblyffelen , het zelfde verſchil hebben , als de voorgeſtelde ongelyke grootheden .
7. Alle regte hoeken zyn gelyk aan malkanderen .
A B 8. Van een gegeeven punt A ,
tot een ander punt B , kan niet meer als eene regte lyn getrokken worden .
9. Indien twee
С F. punten F , H , in
een regte lyn
Η . CD , op onge
lyke afſtanden FE , HG , van een
E GB
D
( 7 ) I. BOEK . 1
ÀÀ ,F derzyds
een andere regte lyn AB , in het zelfde plat Vlak ge ſteld zyn , zullen deeze beide lynen , wanneer men die , aan de zyde van de kortſte afſtand GH ver lengt , malkanderen ontmoeten .
B 10. Indien twee
regte lynen AB, BC , maakende een hoek B , we
C D gelyk
zyn aan twee an . dere regte lynen ED , EF, maakende een hoek E en dat ook de hoeken , welke zy maaken , B en E aan malkanderen gelyk zyn ; zullen de regte lynen AC , DF , die hunne uiterſten te ſaamen voegen , ge lyk , en de beide Driehoeken ABC , DEF in alle opzichten even groot zyn . (* ) .
Indien dit niet klaar genoeg voor een Axioma mogt fchynen ; zo verbeelde men zich , dat den Driehoek DEF opgenomen , en zodanig op den Driehoek ABC gevoegd wordt , dat het punt E op het punt B , en de zyde ED op de zyde BA valt ; dan , dewyl ED gelyk BA geſteld is , zal het punt D op het punt A vailen . En om dat de hoek E aan de hoek B gelyk is , zal de zyde E F op de zyde BC vallen ; en by gevolg , het punt F op het punt C , om dat E F gelyk B C geſteld is . Dewyl nu alle de einden van de beide Driehoeken overeen komen , of op malkanderen paſſen , is het o . penbaar ; dat niet alleen de Baſes AC , DF ; maar ook de hoeken over gelyke zyden , alle gelyk zyn .
Als alle de vier lynen BA , BC , ED , EF gelyk zyn ;
( * ) Het geen wy bier als eene algemeene kundigbeid voordragen , zou eigentlyker voor eene Propofitie kunnen dienen ( Eucl. Prop . 4. B. 1. ) , indien men een zodanig Bewys , dat met de Meetkundige ſtriktbeid , en zuiver beid volkomen beſtaanbaar is , daar van konde geeven . Maar bet leggen van een Figuur op een ander , welke baarblyke lykbeid daar ook uit voortvloeid , is een Werktuiglyke be ſchouwing , en bangt van geene Begeerten ( Poſtulata ) af
LA.4 ] 1
1 {
1
1. BOEK . ( 8 )
zyn ; zal den Driehoek DEF , zodanig op- A B C ge . legt zynde , dat E F met BA overeenkomt , ook met den Driehoek ABC overeenkomen , of op dezelve pas ſen , als uit de voorgaande redeneering blykt: en zo de hoek F , zo wel als de hoek D , op de hoek A paſt , moeten de hoeken D en F , in dit geval , waar in den Driehoek DEF gelykbeenig is , noodwendig aan mal kanderen gelyk zyn .
POSTUL ATA , of BEGEERTEN . Men eiſcht
1. Dat , van een gegeeven punt , tot een ander gegee . ven punt , een regte lyn mag getrokken worden . 2. Dat een regte lyn verlengd , of , zo ver als men be
geert , voortgetrokken mag worden .
3. Dat , uit eenig punt als Centrum , met cene Radius , die aan eene gegeevene lyn gelyk is , een Cirkel mag beſchreeven worden .
AANMERKINGEN .
Een PROPOSITIe is , wanneer ' er iets voorgeſteld wordt te doen , of te bewyzen , en wordt in een Pro blema (Werkſtuk ) , of in een Tijeorema ( Grondles ) onder ſcheiden .
Een PROBLEMA handelt van zodanige zaaken , die te doen , of te maaken zyn .
Een THFOREMA is de vergelyking van verſcheide Be . paalingen ( Definitiones ) tegens elkanderen , en onder Itelt derhalven iets , dat beweezen moet worden .
Een LEMMA ( Voorbewys ) is , wanneer ' er iets voor.
af moet beweezen worden , om het onderwerp gemak kelyker te maaken .
Ěen COROLLARIUM (Gevolg ) is eene gegronde waar heid , die , door een onmiddelyk beſluit , uit een voor.
afgaande Waarheid , of Bewys , afgeleid wordt .
Een SCHOLIUM ( Aaninerking ) is eene verklaaring , of opheldering van iets , dat vooraf gaat .
VERKLAARING DER TEKENEN .
Het teken = toont aan , dat de grootheden , tus fchen welke hetzelve ſtaat , aan malkanderen gelyk zyn . Het ,
1
( 9 ) I. BOEK : Het teken toont aan , dat de voorgaande groot heid grooter is , als die , welke daar op volgt.
Het teken toont aan , dat de voorgaande groot.
heid kleinder is , als die , welke daar op volgt.
Het teken + toont aan , dat de de daar op volgende grootheid bygevoegd moet worden .
Het teken toont aan , dat de daar op volgende grootheid afgetrokken moet worden .
Een Cyfferletter , of getal, voor een grootheid ſtaan de , toont , noe veel maalen die grootheid moet geno . men , of herhaald , worden ; als 5 A toont , dat de groot heid , door A verbeeld , 5 maal genomen is .
C
D Wanneer verſcheidene hoeken in een zelve punt ( als in E) ge maakt worden , wordt ieder hoek byzonder met drie letteren be ſchreeven , waar van de middel A
B ( te het hoekpunt aantoont , en de E beide andere de lvnen , welke dien boek maaken . Dus betekent CED , of DEC . den hoek , welke door de lynen CE en DE gemaakt wordt .
Wanneer men in een Bewys , eenige Grootheden ont moet , die geduurig , door het teken van gelykheid ), aan malkanderen zyn vereenigd , wordt het Besluit , dat men daar uit trekt , aitoos uit de eerſte en laatſte der zelve opgemaakt ; welke , uit kragt van het eerſte Axio . -mą , aạn malkanderen gelyk zyn . Dus , indien A
B = CED is , zullen de eerſte ( A ) , en de laatſte ( D ) aan malkanderen gelyk zyn ,
Ook wanneer men in de aanhaalingen twee getallen aantreft , toont het eerſte de Propofitie , en het tweede het Boek aan . Verder Ax . beteekent Axioma ; Poft.
Poſtulatum , Def. Définitie ; Stell. Stelling , enz . Daar het woord Lyn voorkomt , zonder aan te merken , of dezelve regt , of krom is , wordt altoos een regte Lyn verſtaan ; en wanneer een Lyn gezegd wordt tot of uit een hoek getrokken te zyn , wordt het hoekpunt , of de ſaamenkomſt der lynen , welke den hoek maaken , beoogd .
[ AS ] THEO .
1. BOEK . ( 10 )
V
THEOREMA I. ( a )
Een lym ( CD ) , ſtaande op een ander lyn ( AB ) , maakt met dezelve twee boeken ( CDA , CDB ) die , te ſaamen genomen , gelyk zyn aan twee regte boeken .
E с Indien de hoeken CDA , CDB gelyk zyn , is het klaar , dat zy te ſaamen twee regte hoeken uit maaken ( Def. 8. ) ; indien zy ona gelyk zyn , zo laat DE perpendi.
culair op A B getrokken worden
A B
D ( Poſt. 4.) , dan wordt de grootſte hoek (CDA ) door dezelve in twee deelen EDA , EDC verdeelt ; dewyl nu het eer ſte deel E DA een regte hoek is ( Def. 8. ) , en dat het overblyvende deel E DC , met de geheele kleinſte hoek CDB , te ſaamen aan een andere regte hoekEDB ge lyk zyn ( Ax. 3. ) , zo volgt , dat de beide voorgeſtelde hoeken , ook aan twee regte hoeken moeten gelyk zyn ( At. 4.) .
COROLLARIU M.
Hier uit blykt , dat alle de hoeken in het zelve punt ( D ) , op de zelve zyde van een regte lyn ( AB ) , aan twee regte hoeken gelyk zyn ( Ax. 3 ) .
THEOREMA II . (b )
Wanneer een lyn ( CD ) , ontmoetende twee andere lynen ( DA , DB ) in bet zelfde punt ( D ) , twee boeken (CDA , CDB ) met dezelve maakt , die te ſaamen genomen aan iivee regte boeken gelyk zyn ; dan zullen deeze lynen ( DA , DB ) maar eene regte lyn uitmaaken .
С Want , indien het mogelyk is , zo laat DN , en niet DB , het verlengde van de regte lyn AD Nzyn ; dan zyn de hoeken CDA en CDN = twee regte hoeken A D ( 1. 1 . ) = CDA en CDB ( Stell. );
In 1
7
B
( a ) Eucl.13. 1. B. ( b ) Eucl . 14. 1. B.
( 11 ) 1. BOEK . Indienmen nu van deeze gelyke grootheden , den hoek CDA , die aan dezelve gemeen is , aftrekt , zal ' er o verblyven CDN = CDB ( Ax . s . ) ; dat onmogelyk is ( Ax . 2. ).
Τ Η Ε Ο R Ε Μ Α ΙΙΙ .
Als twee lynen ( AB , CD ) malkanderen in een punt ( E ) Snyden , zyn de tegen elkanderen overſtaande boeken (AEC , DED ) even groot.
C Want AECHAED = twee regte hoeken ( 1.1 . ) = DEB + AED ; wes E
halven de gemeene hoek AED wegnee.
mende , blyft ' er over AEC = DEB B ( Ax. 5. ).
Op dezelve wyze betoogt men , dat AED = CEB is .
THEOREMA IV .
Twee regte lynen (AB , CD ) perpendiculair op een en dezelfde regte lyn ( EF ) zyn parallel, of evenwydig , 1
C D
H :
A B
Indien men ſtelt , dat zy niet parallel zyn ,zullen zy , verlengt zynde , in een punt te laamen komen , als in Ğ.
Verleng EA , zo het noodig is ; maak EHFEG ( Poſt. 4. ) ; en trek de regte lyn FH ( Poſt . 1. ) . De Drie hoeken EHF , en EGF , hebbende EHEEG , de hoek HEF = GEF ( Def. 8. ) , en EF gemeen , zyn derhalven in alle opzigten gelyk ( Ax . 30. ) ; en dus de hoek EFHEEFG (EFD ) = een regte hoek zynde ( Stell. ) , moet HFDG , zo wel als HEG , een regte lyn zyn ( 2.1.) : dat onmogelyk is . Derhalven zyn AB , en CD parallele lynen .
THE ORE MA V.
Alle Perpendiculairs (EF , GH , ) die op een ( AB ) van twee parallele lynen (AB , CD ) tot de andere ( CD ) gen ( 6 ) Eucl. 15. 1. B.
I. Boek . ( 12 )
C
getrokken worden , zyn aan malkanderen gelyk ; en ook perpendiculair op de an der (CD der beide parallele Zynen .
L Want , AB , en CD pa
F H rallel zynde , kan G H noch D
grooter , noch kleinder zyn L als E FAX . 9. en Def. 13.) ,
en derhalven GHEEF.
Indien men ſtelt , dat EF
A B niet perpendiculair op CD
E G
is , zo laat FL perpendicuba lair op E F zyn , ontmoetende het verlengde van GH , zo het noodig is , in Li dan zal FL parallel inet AB zyn (4.1 .. ) ; en by gevolg GL = EF ( Stell . ) = GH ; dat onmogelyk is ( AX, 2. ) . Derhalven is E F perpendicu lair op CD . En , door de zelve reden , G H perpendi culair op CD .
COROLLARIU M.
Hier uit blykt , dat door het zelfde punt F , tot de zelfde gegeeven lyn AB , niet meer als eene parallele lyn kan getrokken worden .
THEOREMA VI .
Alle regte lynen ( AB , CD ) , parallel met de zelfde reg . tę lyn ( EF) , zyn parallel met malkanderen .
G Want , laat de lyn GHI
A B
perpendiculair op E F zyn , zo H
C -D is dezelve ook perpendiculair op A B en CD ( 5.1 . ) ; en by
E I
F gevolg zyn de laatften ( AB , CD ) ook parallel metmalkan deren ( 4.1 . )
THEOREMA VII . ( d )
Een lyn ( IK ) , Snydende twee parallelelynen ( AB , CD ) , maakt de verwiſelende boeken ( AHE , DEH ) aan malkanderen gelyk.
Laat ( d ) Eucl . 29. 1. B.
1
3 7
I
1
( 13 ) 1. BOEK .
I Laat EF en GH Perpen
diculair op CD en AB zyn HН
A -B ( 5.1 . ) ; dan zyn deeze ly . nen EF , en GH parallel ( 4.1 . ) . Dewyl nu in de Driehoeken EFH , en EHG , de zyde E F - GH
с D ( 5.1 .) , FHEEG (5.1 .),
E G.
en de hoek F - G is ( Ar . 7. ) , zal ook de hoek
K THE GEH zyn . ( Ax .
10. )
COROLLARIUM I.
Hier uit volgt , dat een lyn , die twee parallele lynen ſnydt , de hoeken (IHB , TED ) , op dezelfde zyde , aan malkanderen gelyk maakt ; want , IHB is = EHA
( 3.1 . ) = IED ( 7.1 . ) .
COROLLARIUM II .
Een lyn , op twee parallele lynen vallende , maakt de Som der beide inwendige hoeken ( AHE + CEH ) , aan de zelve zyde , gelyk twee regte hoeken : want , de hoek AHE = DEH , en DEH CEH = twee regte hoeken zynde ( 1.1 . ) ; is ook de hoek AHE +
CEH = twee regte hoeken ( Ax . 4.) .
THEOREMA VIII.
Als een lyn (PE ) , Snydende twee andere lynen ( Å B , CD ) , de verwiſſelende boeken ( FGD , GFA ) aan malkanderen gelyk maakt , zyn deeze twee lynen parallel.
, P Want , indien het moge H
F
lyk is , zo laat een ander
A B lyn FH , enniet FA , mer
DC parallel zyn ; dan moet de hoek GFH - FGD
C D (7.1 .) = GFA zyn ( Stell .),
G dat onmogelyk is ( Ax .2. ) . Derhalven zyn de lynen AB en CD parallel
CO . (e ) Eucl. 27. 1. B.
Inner
I. BOEK ,
( 14 )
COROLL ARIU M. ( f )
Indien een lyn , op twee anderen vallende , de hoe . ken ( PFB , PGD ) boven dezelve , aan de zelfde zy de aan malkanderen gelyk maakt ; zyn deeze lynen parallel ; dewyl AFG = PF B is ( 3.1 . ).
THEOREMA IX . ( g )
Als een zyde ( AC ) van een Drieboek (ABC ) verlengt wordt , is de uitwendige boek ( BCD ) gelyk aan de beide overſtaande boeken ( A en B ) te ſaamen genomen ,
Want , laat C E parallel met
B E AB
zyn ; dan is de hoek B BCE ( 7.1 . ) , en de hoek A = BCD( Cor. I. van 7.1. ) ; derhalven B + A = BCE + DDCE ( Ax . 4. ) = BCD
( Ax. 3.).
COROLLARIU M.
Hier door is de uitwendige hoek van een Driehoek grooter als ieder der inwendige overſtaande hoeken .
THE O R E MAX . ( 8 )
De drie boeken van een platten Drieboek ( ABC ) zyn , te Jaamen genomen , gelyk aan twee regte boeken .
Want , indien , in de voorgaande Figuur , AC tot D verlengt wordt , is B + A = BCD ( 9.1 . ) ; laat by deeze gelyke grootheden den hoek BCA vergaard wor den , dan heeft men B + A + BCA = BCD + BCA ( Ax . 4. ) = twee regte hoeken ( 1.1 . ) .
COROLLARI A.
J. 'Als twee hoeken in een Driehoek , gelyk zyn aan twee hoeken in een andere Driehoek , zullen de ove rige hoeken ook aan malkanderen gelyk zyn ( Ax. 5. ) . 2. Als een hoek in een Driehoek , gelyk is aan een hoek in ( f ) Eucl. 28. 1. B. ( 8 ) Eucl. 32 , 1. B.
1
( 15 ) I. BOEK . in een andere Driehoek , zullen de fommen der ove . rige hoeken ook aan malkanderen gelyk zyn ( Ax. 5. ).
3. Als één hoek van een Driehoek regt is , zullen de twee andere , te ſaamen genomen , aan een regte hoek
gelyk zyn ,
4. De twee kleinſte hoeken , van ieder Driehoek , zyn ſcherp .
THEOREMA XI.
De vier inwendige boeken van een Vierboek ( ABCD ) zyn , te ſaamen genomen , gelyk aan vier regte boeken .
Laat den Diagonaal AC getrok B ken worden ( Poſt. 1.) ; dan zyn de drie hoeken van den Driehoek AA CDE twee regte hoeken Α . D ( 10.1 . ) ; en die van den Driehoek ABC ook = twee regte hoeken ( 10.1.) ; en by gevolg zal de Som van alle de hoeken der beide Driehoeken , welke de vier hoeken des Vierhoeks uitmaaken , aan vier regte hoeken gelyk zyn ( Ax. 4. ) .
COROLLARIU M. I.
Als drie van de hoeken regt zyn , zal de vierde ook een regte hoek zyn .
COROLLARIUM II.
Als twee van de hoeken aan twee regte hoeken ge lyk zyn , zullen de beide overige ook aan twee regte hoeken gelyk zyn ,
SCHOLI U M.
Als uit een punt , binnen een Veelhoek , tot alle de hoeken lynen getrokken worden , welke den Veelhoek in zo veel Driehoeken verdeelen , als dezelve zyden heeft ; zal de Som van alle de , hoeken in deeze Drie hoeken , welke te ſaamen de hoeken van den Veelhoek , boven en om dit punt , uitmaaken , gelyk zyn aan twee maal zo veel regte hoeken , als den Veelhoek zyden heeft ( 10,1 . ). Dewyl nu alle de hoeken , om dit punt , aan vier regte hoeken gelyk zyn , is het openbaar , dat alle de hoeken van den Veelhoek , te ſaamen genomen , gelyk zullen zyn aan tweemaal zo veel regte hoeken min vier , als den Veelhoek zyden heeft.
THE0 . 7
)
&
1. BOEK . ( 16 )
en
THEOREMA XII . ( b )
De boeken ( A , C ) op den Baſis van een gelykbeenigen Drieboek ( ABC ) zyn aan matkanderen gelyk .
B Want , laat de hoek ABC in twee gelyke deelen ABD , CBD , gedeeld worden , door de lyn BD , die den Bazis AC in D'ontmoet ; dan zal in de Driehoeken ABD , CBD , de zyde AB = BC ( Def. 18. ) , B D gemeen ,
с de hoek ABD CBD zyn
D
( Stell. ) ; derhalven is de hoek A = C ( Ax . 30. ) .
COROLLARIUM I.
De lyn , welke den tophoek van een gelykbeenigen Driehoek in twee gelyke deelen ſnydt , verdeelt ook den Baſis in twee gelyke deelen , en is dus perpendicu
lair op dezelve ( Ax. io . ) .
COROLLARIUM II,
Hier uit blykt nog , dat ieder gelykzydige Driehoek ook gelykhoekig is .
THEOREMA XIII . ( i )
In ieder Drieboek ( ABC ) ſtaat de grootſte boek over de grootſte zyde.
B Laat AC grooter als AB
zyn ; maak dan AD = AB ; en trek B D. Dewyl nu den Driehoek ABD gelykbee nig is , zyn de hoeken ABD en ADB gelyk ( 12.1 . );
derhalven moet de hoek D с ABC , die grooter is , als ABD , ook grooter zyn als ADB ( Ax ." 2. ) , en gevolgelyk ookgrooter als C , die
kleinder als ADB is ( Cor. van 9.1 .) .
CO .
( b ) Eucl. 5. 1. B. ( i) Eucl. 18 en 19. 1. B.
( 17 ) I. BOEK :
COROLLARIU M.
Hier door is in ieder Driehoek de grootſte zyde over den grootſten hoek ; dewyl den hoek ABC niet groo ter als C kan zyn , tenzy & C grooter als A B zy ( 13.1 .).
THEOREMA XIV . ( k )
Als de drie zyden ( AB , AC , CB ) van een Drieboek , ieder byzonder wederzyds aan de drie zyden ( DE , DF Fe ) van een andere Drieboek gelyk zyn ; zullen de boe.
ken , over gelyke zyden ſtaande , ook aan malkanderen ge 1
Lyk zyn .
F
B D AE
woj ....
/ Laat de hoek BAG = D , AG = DF zyn , en GB
en GC getrokken worden , dan zullen de Driehoeken ABG , en DEF in alle opzigten gelyk zyn ( AX. 10. ) Dewyl nu AG = DF = AC ( Stell .) , en BGSEF
= BC is ( Stell . ) , is ook de hoek ACG = AGC ( 12.1. ) ,BCG = BG C ( 12. 1. ) ; en by gevolg ACB = ÀGB ( Ax . 4 .) = DFE ; derhalven zyn de Driehoe ken ABC , DÉF in alle opzigten gelyk ( Stell.).
SCHOLIU M.
Het Bewys van dit Tbeorema kan , als de Driehoeken ſtomphockig zyn , nog tot een ander geval gebragt wor.
den , dat nogthans niet noodzaakelyk is : want , als men den Driehoek AGB ( gelyk aan DEF) op de langſte zyde , van den Driehoek ABC , maakt ; zalde lyn CG al toos binnen de Figuur ACBG vallen Ax. 2. ) , om dat alle de hoeken CAB , CBA ,GAB, GB A ſcherp zyn.
THE O ( k ) Eucl. 8. 1. B.
[ B ]
I Boek :
( 18 )
D E
D E
P E
C
THEOREMA XV . (1 )
Als twee Drieboeken ( ABC , DEF ) , wederzyds gelyk . boekig , twee overeenkomſtige zyden ( AC , DE ) aan male
kanderen gelyk bebben , zullen de andere overeenkomſtige zyden ook aan malkanderen gelyk zyn .
B Stellende , dat
BC grooter is als
GᏀ FE ; zo laat van
BC een deel CG FE genomen , en AG getrok C D
A
ken worden . Dan E
is in de Driehoe ken ACG , en DEF , AC = DE , CG = EF , en de hoek CEE ( Stell .); derhalven de hoek CAG= D ( Ax. 10. ) ; maar de hoek D is = CAB ( Stell.) ; by ge volg CAĞ = CAB ( Ax . 1.) ; dat onmogelyk is ( Ax . 2.) .
COROLLA RIU M.
Hier uit volgt , dat alle gelykhoekige Driehoeken welke twee overeenkomſtige zyden gelyk hebben , ook aan malkanderen gelyk zyn ( Ax. 10.).
; THEOREMA XVI.'
Als twee regtboekige Drieboeken (ABC , DEF ) , bebben de gelyke Hypothenuſen ( AC , DF ), twee andere zy den (BC , É F ) gelyk bebben ; zullen ook de overige zy.
den ( AB , DE ) gelyk , en de beide Drieboeken , in alle opzigten , even groot zyn .
F Neem , in het verlengde van AB , BG = DE , en laat G C getrokken worden . In de
A B
DE , BC = EF , ( Stell. ) en de hoek CBG = E ( Ax . +
С
GD
( 1 ) Eucl. 26 , 1. B.
( 19) I. Boek (' A% . 7. ) , dienvolgens de GD , en CG
= DF ( Ax . 10 .) = AC ( Stell.) . Derhalven , dewyl den Driehoek ACG gelykbeenig is , zal de hoek G , of D , = A zyn ( 12.1 . ) ; en by gevolg ook de hoek F =ACB ( Cor . 1. vin ' 10. 1. ) . Nadien nu de Drie hoeken ABC , en DEF wederzyds gelykhoekig zyn , en AC = DF hebben , żyn dezelve , in alle opzigten , gelyk ( Cor, van 15. 1. ) .
THEOREMA XVII .
Als van twee Drieboeken (ABC , DEF) twee zyden ( AB , BC ) van den éénen , gelyk zyn aan twee zyden (DE , EF ) van den anderen , en dat ook de boeken ( A en D ) , over twee gelyke zyden ( BC , E F ) ſtaande , dan malkanderen gelyk zyn , dan zyn de beide Drieboeken , in alle opzigten , even groot.
V
BВ
be
А. C D I
C G f H
Laat BG en EH Perpendiculair op AC en DF zyn . Dewyl de hoek AGB = DHE ( AX. 7.) , A = D ( Stelle ) , en de zyde AB = DE is ( Stell . ) , zal ook BG = EH zyn ( 15. 1.) ; en om dat BCSEF is ( 15. J.) , zullen de hoeken GCB , HFE ook aan malkanderen gelyk zyn ( 16. 1. ) ; derhalven zyn de Driehoeken ABC en DE F wederzyds gelykhoekig ( Cor. i . van 10 , 1. ) , enli hebben de zyden & B en De gelyk ; by gevolg zyn de zelve , in alle opzigten , even groot. ( Cor. van 15.1. ).
Het bewys is het zelfde , wanneer beide de hoeken AcB , en DfE ſtomp zyn , als in de Driehoeken ABC, DEŠ. Want, indien Bc ( = BC = EF ) = Ef is , en dat de hoeken GcB , en Hfe , als vooren , gelyk żyn , zullen ook de hoeken AcB , en DfE gelyk zyn (1.1 . en Ax . 5. 1. ).
[ B2 ] THEO
I. BOEK . ( 20 )
THEOREMA XVIII. (mo
Als twee boeken ( A en C ) van een Drieboek (ABC) gelyk zyn , zullen ook de zyden ( BC , AB ) , over deeze boe ken ſtaande , aan malkanderen gelyk zyn.
B
Laat BD den hoek ABC in twee gelyke deelen ſnyden , en A C in D ontmoeten . Dewyl dan de Driehoeken ABD , CBD ge . lykhoekig zyn ( Cor. I. van 10. 1. ), en beide B D gemeen hebben , zo is ook AB = BC ( 15. 1.) .
D с
THEOREMA XIX . ( n)
Twee zyden (AB , BC ) van een Drieboek ( ABC ) zyn , te ſaamen genomen , grooter als de derde zyde (AĆ).
D Verleng de_ zyde AB ';
maak BD = BC , en trek CD . De hoeken D en B. DCB zyn gelyk ( 12. 1.) ; derhalven moet de hoek ACD , welke grooter is als de hoek DCB ( Ax . 2. ) , ook grooter zyn als de hoek D ; en by gevolg ,
A С moet AD ( of AB + BC )
grooter zyn als AC ( Cor , van 13. 1. ) .
THEOREMA XX .
Van alle regte lynen (NA , NB , NC ) vallende uit een gegeeven punt ( N ) op eene oneindige regte lyn ( PQ) , is die (NA ) de kleinſte , welke Perpendiculair op de zelve ſtaat; en van de overige , is die (NB) , welke bet naaſt by de Perpendiculair is , kleinder als eenige ande re (NC ) , opeen grooter afſtand .
Want ,
( m ) Eucl. 6. 1. B. ( ~ ) Eucl , 20. 1. B.
( 28 ) 1. BOEK
, .
N
Want BAN een regte hoek zynde ( Stell. ) , zal A BN een
ſcherpe hoek zyn ( Cor.4 . oan 10. 1. ) , en derhalven is AN
JBŃ ( Cor. van 13. 1. ).
P
CB A B Q
Wederom , als NB en NC beide aan de zelfde zyde van de Perpendiculair N A zvn ; dan is CBN D als een regte hoek ( Cor . van 9. 1. ) CBCN ( Cor.4 . van 10. 1. ), en by gevolg NC ONB .
· Als Ñ B aan de tegengeſtelde zyde van de Perpendicu . lair naar NC is ; zo laat , in AC , het deel AB = AB genomen worden , dan zullen de beide lynen NB , NB gelyk zyn ( Ax . 10 .) ; en derhalven zal NC , welke, door het voorgaande , grooter als de eene is , ook grooter als de andere zyn .
THEOREMA XXI. (0 )
· boeken ( B , D ) , van een Parallelogram ( ABCD ) zyn gelyk ; en de Diagonaal ( AC ) deelt bet Parallelogram
in twee gelyke deelen .
D Want AB , DC , en AD ,
BC parallel zynde ( Def.24 .) ,
is de hoek BACDCA
( 7. 1. ) , en BCADAC ( 2. 1.) ; derhalven zyn de ge lykhoekige Driehoeken ABC ,
A BÅDC ( Cor . I. van 10. 1. ) ,
welke AC gemeen hebben , in alle opzigten gelyk ( 15. r . ) .
COROLLARIUM
Als een hoek ( B ) van een Parallelogram een regte hoek is , zullen ook de drie , andere hoeken regt zyn ; want ( 0 ) Eucl. 34. 1. B.
[ B 3 ]
1. BOER . ( 28- )
want D , B zynde , is een regte hoek ; en BCD is
= B , en DAB = D , volgens Tbeorema v .
THE OR EM A XXII.
Bene vierzydige Figuur ( ABCD ) , welkers overſtaande szyden gelyk zyn , is een Parallelogram . ( Zie de voor gaande Figuur ).
Laat den Diagonaal AC getrokken worden ; dan , de wyl de Driehoeken ABC , ADC wederzyds gelykzy zydig zyn ( Stell .) ; zullen zy ook wederzyds gelykhoe kig zyn ( 14. 1. ) ; by gevolg zal AB parallel met DC , en A D miet B C zyn ( 8. 1.) .
C. THEOREMA XXIII. (0 )
De lynen ( AD , BC ) , welke de twee overeenkomſtige ein . den , van twee gelyke en parallele lynen ( AB , DC ) Saamenvoegen , zyn ook gelyk en parallel.
D с Laat den Diagonaal B D ge
trokken worden . Dewyl AB en DC parallel zyn ( Stell . ) is de hoek ABD SCDB ( 7. 1.) ; derhalven , om dat
A B BA = DC ( Stell .) , en BD
gemeen is , zullen de overi.
ge zyden en hoeken ook wederzyds gelyk ( Ax. 10. ) ; en by gevolg A D parallel met BC zyn ( 8. 1. ).
THE O RE MA XXIV.
Als in een der zyden ( AB ) van een Drieboek ( ABC ) , uit drie punten ( D , E , F ) , op gelyke afſtanden (DE, ÉF ) , Lynen ( DKI , EH , FG ) parallel met den Baſis ge trokken worden , zullen de deelen ( KH , HG ) welke door dezelve van de andere lyn ( BC ) afgeſneden worden, gók aan malkanderen gelyk zyn .
B Laat L HI parallel met A B zyn , ſnydende FG , en DK in L en l.
1 Dan , dewyl de Driehoeken GHL , K I IHK , de hoek G HL - KHÍ Xu ( 3. 1. ) , GLH = I ( 7.1. ) , en G4 HL EEF ? ( 24.1. ) = ED A
C ( Stell .) = HI ( 21.1 . ) hebben , zal ook GHHK zyn ( 15.1. ).
CO . ( P ) Eucl. 33. 1. B ,
A F F I
( 23 ) 1. BOEK .
COROLLARIU M I.
Hier uit blykt , dat , zo een der zyden van een Driehoek in een willekeurig getal gelyke deelen gedeeld wordt , en uit de punten van deeling lynen parallel met den Ba Jas getrokken worden , ſnydende de andere zyde' , dezel ve ook in het zelve getal gelyke deelen zal gedeeld zyn,
COROLLARIUM II ,
Als twee lynen EH , FG , ſnydende de zyden van een Driehoek , te ſaamen parallel zyn , en een ander lyn DK zodanig getrokken wordt , dat dezelve ED = EF , en HK = # Ğ maakt , zal deeze lyn DK parallel met de twee eerſte zyn .
THEOREMA XXV .
Als in de zyden van een Vierkant ( ABCD ) , even ver van de dier boekpunten , vier andere punten ( E , F , G , H ) genomen worden , zal de Figuur( EFGH) , uit de ſaamenvoeging van deeze punten voortkomende , ook een vierkant zyn .
D с Want , dewyl de lynen AB , BC, CD , DA gelyk zyn ( Def. 20. ) , als F ook de deelen AE , BF , CG , DH (Stell.) , moeten de overige deelen ÈB , CF , DG , AH ook gelyk zya H
( Ax . s . ); en om dat alle de hoe A B ken A , B , C , D gelyk zyn ( At.7 .) , zullen de zyden EH , EF, FG ,GH ook gelyk zyn ( Ax. 10. ) , en de hoek AEH = BFE ( Ax . 10. ). Derhalven , dewyl de hoek AEF = Btos BFE is ( 9.1. ) , zo laat van deezé , de gelyke hoeken AEHEBFE getrokken worden , dan zal er overbly ven HEF = B ( Ax . s. ) een regte noek ( Def. 26.).
Door de zelve reden ( of door Tbeorema 22. , en het Co roll, van Theorema 21.) zullen de drie overige hoeken regt zyn .
Einde van bet Eerste BOEK .
[ B 4 ] GRON
GROND E N
! DER
MEET KUNST .
T W E E DE BOEK .
BEPAALINGEN . ( Definitiones . )
: A
Ls in een Parallelogram ABCD twee regte ly . nen EF , HI , parallel met de zyden getrokken worden , zodanig , dat zy den Diagonaal in het zelfde punt G ſnyden ; zal het Paral
D F
lelogram in vier andere Paralle logrammen verdeeld zyn ; waar G
I
van die GA , GC , door wel .
H ken den Diagonaal niet gaat ,
A
B complementen , of vervulſels , ge noemd worden ; en de beide an dere IE , FH , worden gezegd om den Diagonaal te ſtaan . с 2. Ieder Regthoek ( Rectangulum ) wordt gezegd , onder de twee reg te lynen AB , BC , de Bahis en А B hoogte derzelve , begreepen te
worden .
Den Regtboek , begreepen onder twee regte lynen A B en BC , wordt gemeenelyk , kortbeidsbalven , door OAB . B C aangetoond ; en als de Figuur een vierkant is, Jebryſt
! men voor de letteren , die de zyde uitdrukken , bet teken 0 ; dus beteekent O AB bet vier kant , dat op de lyn AB gemaakt wordt.
THEOREMA I.
De Regtboeken ( AC , EG) onder gelyke lynen begreepen , zyn gelyk
Want ,
( 25 )
II . Boek : Want ,
D CH laat
de Diagonaalen BD , FH ge trokken wor
B E
A
F
den : dan , de . wyl AB = EF , AD = EH , en de hoek AGE is ( Stell .) , zyn de Driehoeken ADB , EHF gelyk ( Ax . jo . ) . Op dezelve wyze blykt , dat de Driehoeken BCD , FGH gelyk zyn . Derhalven is de geheele Regt hoek ABCD ook gelyk aan de geheele Regtheek EF GH ( Ax. 4. 1.).
THEOREMA II. (9 )
Alle Parallelogrammen (ABDC , ÚDFE ) , die op de zelfde Balis ( BD ) , en tuſſchen de zelfde parallele lynen (AF , B D ) ſtaan , zyn gelyk.
А , C. E Want , aangezien de hoek
DFEBEA ( Cor. I. van 7.
1. ) , en DCPBAC ( Cor.
1. van 7.1 . ) is , zyn de Drie hoeken FCD , en EAB ge B
lykhoekig ( Cor . 1. van 10. 1.) , dien volgens ook gelyk ( 15. 1. ) , om dat DF = BE is (21. 1. ); indien men derhalven FCD = EAB van de geheele Figuur AB DF aftrekt , zal ' er overblyven ABDC = EBDF ( Ax. 5. ) .
COROLLARIUM I. ( r )
Hier door zyn alle Driehoeken BAD , BFD , die op de zelfde Baſis , en tuffchen de zelfde parallele lynen ſtaan , ook aan malkanderen gelyk , om dat zy de helf ten van haare reſpective Parallelogrammen zyn ( 21. 1. ) .
COROLLARIUM II .
Hier uit blykt nog , dat alle Parallelogrammen , of Driehoeken , hoe genaamd , welkers Bajes en hoogten ge
DD
en
1
( 9 ) Eucl. 35. 1. B. (r ) Eucl. 37. I. B..
1 [ B 5 ]
II. BOEK ( 26 )
!
1
gelyk zyn , onder elkanderen gelyk zyn ; om dat alle zodanige Parallelogrammen gelyk zyn aan Regthoeken , die op de zelfde Baſis , en tuſſchen de zelfde parallele lynen , ſtaan ; en deeze laatſte , volgens de voorgaande Propoſitie , gelyk zyn.
THEOREMA III . ( 8)
De Complementen ( AF , FD ) van een Parallelogram (AD ) zyn gelyk .
A , B Want de geheele Driehoek
ABC gelyk zynde aan de
HН I geheele Driehoek BDC ( 21 .
F
1. en Def . 1. ) , en de deelen BEF , CFG wederzyds ge
C D lyk aan de deelen BFI , CFH
G
( 21. 1. ) , moeten de overige deelen AF , FD ook gelyk zyn ( AX. 5. I. B. ).
THEOREMA IV. (t )
Als een regte lyn (AB ) , naar welgevallen , in twee dee . len ( AC , BC ) gedeeld wordt , zal bet vierkant der beele lyn , gelyk zyn , aan de vierkanten van de beide dee
· len , met twee regtboeken onder de zelf de deelen , te faa men genomen .
I D
Laat ABDE het vierkant van H AB , en CBGH dat van B C zyn ;
F G
en laat GH en CH verlengd wor den , tot dat zy de zyden van het vierkant ABDE in F en I ontmoe
A B ten .
C
Trek van de gelyke grootheden CI, FG ( 21. 1. ) de gelyke grootheden CH en GH , zo blyft 'er overig HI EHF ( Ax . 5. 1. ). Dewyl nu alle de hoeken van de Figuur regte hoeken zyn ( Cor . van 21. I. ) , is FI een viera
( s ) Eucl. 43. 5. B. ( 1) Eucl. 4. 2. B.
ن سی
( 37 ) II. BO 1 vierkant ( Def. 26. 1.) op HF ( AC ) , en AH , HD zyn gelyk twee 'Regihoeken van B C en AC ( 1. 2. ) ; maar AD = BH HE + AH + HD , of OAB = 0 BCHOAC + 2DAC.BC ( Ax. 3. 1. ).
COROL L A RIU M. 1 .
Hier uit volgt , dat het vierkant van een lyn gelyk is , aan viermaal het vierkant van de halve lyn .
COROLLA RIUM II .
Als twee vierkanten gelyk zyn , moeten haare zyden ook gelyk zyn ; om dat ongelyke lynen BA , BC geen gelyke vierkanten hebben ..
COROLLARIUM III. -- ( )
Indien een lyn , na welgevallen , in twee deelen gedeeld wordt ; 20 is den Regiboek van de gebeele lyn , en bet eene deel , zo groot als den Regtboek der deelen , met nog bet vierkant van dat eene deel .
Want ' , DED , EI OAB.AC ) = OEI.ID
= DAC.BC) + oeiCOAC ) ; of D AB.BC COAC.CB + OBC , volgens Axioma 3 .
THE OR EMA . V. ( 0 )
Het verſchil der vierkanten (ABDF , ACGH ) van twee ongelyke lynen ( AB , AC ) , is gelyk aan den Regtboek.
van de fom , en bet verſchil der zelfde lynen .
F E D Neem , in het verlengde van DB , BK = AC ; laat IK parallel met DF getrokken , en CG na beide H G zyden verlengd worden , tot dat zy DF en IK , in E er I ontmoet ; dan is het blykbaar , dat EK een А A
Regthoek is ( Cor. van 21. 1. ) , wel
C B
kers Baſis I ( CB ( 21. 1.) = het verſchil der gegeevene lynen AB , AC is ; en welkers hoogteKD ,om 1
K dat BDOBA (Def. 24.1 , en BK - AC
1
1
(u) Eucl. ĉ . 2 . ( 0) Eucl. s . 2. B.
" .
II : Boek :
( 28 )
У = AC is [ Stell.) , de fom van de zelfde lynen uitmaakt;
maar deeze O EK is = DEBOIB ( Ax . 3. ) = DEB + QEH (om dat DeH = OIB is ( 1. 2.) ]
= OAD - DAG ,
THEOREMA. VI . ( w )
In alle regtboekige Drieboeken ( ABC ) : is bet Quadraat , of Vierkant , op de Hypothenuſa (AC) beſcbreeven , ge.
lyk aan beide de vierkanten , die op de zyden (AB , BC ) om den regten boek beſcbreeven zyn .
D A Laat de zyden der vierkan
ten BD , BF verlengd wor den , zo dat zy in G en E te
K ! ſaamen komen ; neem in de
ІВ zelve LG en If ieder gelyk AD ( of AB ) ; en trek Cí, IL , en LA .
L
Nadien ABH , en KBC regte ( 2. 1. ) , en gelyke ( Ax , G H I F 4. ) lynen zyn , zullen DG , EF , DE , en GF alle onder malkanderen gelyk zyn ( 21. 1.); en om dat de hoeken D , E , F , en G alle regt zyn ( Stell. en 5. 1. ) , zalDE FG een Quadraat, of Vierkant, zyn , en by gevolg is ACIL ook een Vierkant ( 25. 1. ). Indien nu van het DEG , de vier gelyke (Ax . 10. ) Driehoeken AEC , CFI , IGL , LDA afgetrokken worden , zal 'er het vierkant Al overblyven ; en als men van het zelfde o EG , de twee gelyke ( 1. 2. ) Parallelogrammen E B , BG aftrekt , zullen 'er de beide vierkanten BD , en BF overblyven . Nu zyn deeze Parallelogrammen EB , BG gelyk aan de vier Driehoeken AEC , CFI , IGL , LDA , om dat het Parallelogram E B twee zulke Dries hoeken uitmaakt ( 21. 1. ) ; by gevolg , is hetDAI = OBD + OBF ( ÀX. s .) .
CO .
( W ) Eucl. 47. 1. B.
--
( 29 ) II. Boek :
COROLLA RIU M.
Hier uit volgt , dat het Vierkant op elk der zyden , welke den regten hoek beſluiten , gelyk is aan het ver
ſchil der Vierkanten , van de Hypotbenufa en de andere zyde ( Ax . s .) ; of gelyk aan een Regthoek , begreepen onder de som en het verſchil van de Hypotbenuſa , en de andere zyde (s . 2. ) .
THEOREMA VIL.
In alle Drieboeken ( ABC ) is bet verſchil der vierkanten van twee zyden ( AB , BC ) gelyk aan bet verfcbil der Vierkanten oan de beide afſtanden ( AD , DC ), beſloten tu [ſcben de einden der Baſis (AC ) , en de Perpendicu lair (BD ) van den Drieboek .
B B
2
А. F
FEDC A E C D
Want , nadien OAB = OBD + OAD , en ABC OBD + OCD is ( volgens de voorgaande Prop. ) , zo is het blykbaar , dat het verſchil van OAB en OB C ge lyk zal zyn aan het verſchil , tuſſchen OBD + OAD , en OBD + OCD ( AX.5 .) , of tuſſchen OAD , en o CD ( Ax. 6.), als men het gemeene OBD aan beide zyden aftrekt .
COROLLARIU M I.
Aangezien den Regthoek onder de ſom en het ver ſchil , van twee ongelyke lynen , aan het verſchil van derzelver vierkanten gelyk is ( s . 2.) , zo volgt ; dathet verſchil der vierkanten , of den Regthoek onder de ſom en het verſchil , van twee zyden eenes Driehoeks , ge lyk is aan den Regthoek , onder de fom en het verſchil der afſtanden , beſoten tuſſchen den Perpendiculair , en
de twee einden van den Baſis.
COROL LA RIU M II.
Hier uit volgt nog , dat bet verſchil der Vierkanten , of den
II. BOEK .
( 30 )
den Regtboek onder de som en bet Verſchil, van twee zylen eens Drieboeks, gelyk is aan tweemaal den Regt boek , onder de gebeele Baſis , en den afſtand des perpen ,
diculairs tot bet midden der Baſis.
Want , laat E het midden der Baſis zyn , en EF E D gemaakt worden ; dan , dewyl Af = DC is ( Ax . 5. ) , zal het verſchil , dat A D meer als DC is , of AF , ( in Fig . 1 . ) = DF = 2DE zyn ; derhalvenis den Regt hoek onder de ſom en het verſchil van AD en CD FOAB - OBC ( 7. 2 . ) ] = 2AC.de . We.
derom ( in Fig . 2. ) AD + CD = AD + AF ( Ax. 4. ) FD = 2ED , en AD - CD = AC zynde , zo volgt ; dat OAB - OBC = 20 AB.DE is ( 7.2 ) .
THEOREMA VIII . ( x )
Het vierkant van eene zyde ( A C ) eens Drieboeks (ABC) , is zo veel grooter , of kleinder , dan de Som der Vierkan ten van den Baſis (AB ) , en de andere zyde (BC ) , als den dubbelen Regtboek onder de gebeele Baſis (AB ) , en de afſtand ( BD) des Perpendiculairs van de boek ( B ) over de eerſtgemelde zyde ; dat is , grooter , als de per pendiculair buiten de gemelde boek valt ( als in Fig . 1. ) ; maar kleinder , als dezelve aan de tegengeſtelde zyde vált ( als in Fig ; 2. en 3. ) .
C
J 3
А DA
2
DE B DI
ΑΙ B
E B E
F G H I
FIG H I F G H
" Laat het vierkant ABHF , op den Baſis AB , in twee ge (3 ) Eucl. 12. en 13. 2. B.
1
( 31 ) II . BOEK
1 gelyke Regthoeken EF en EH ( 1.2. ), door de lyn EG , 1
gedeeld worden , ſnydende A B in E ; en laat de perpen diculair CD voortgetrokken worden , tot dat zy FH ,
of derzelver verlengde , in I ontmoet .
In Fig. 1. OAC - OBC = DEI( Cor. 2. van 7 . 2 . ) = 2DEH + 2 BI ( Ax . 3 ) = AH (DAB ) + 2OB1 ( 2OAB.BD ) ; derhalven , als van de eerſte en laatſte deezer gelyke grootheden , OAB getrokken wordt, zal ' er overblyven OAC - OBC - O'AB , of O AC min DBC en A B faamen genomen , 2
AB.B D ( Ax . 5.).
In Fig . 2. en 3. OBCOAC = 2DEI ( Cor. 2 . dan 7.1.) = 2BI -- 23B G ( At. 3.) = 2 AB . BD - DAB ; en dus , als men by de eerſte en laatſte deezer gelyke grootheden QAB- vergaart , is de Som DAB + OBCOAC = 2D AB.BD ( Ax . 4.).
OBC =
THE OR EMA IX .
1
Het dubbeld van bet vierkant eener lyn ( BE ) , 'uit den top eens Drieboeks ( ABC ) tot bet midden van den Baſis ge trokken , meer bet dubbeld van bet vierkant der balve Baſis ( AE ) , is gelyk aan de vierkanten van de beide beenen ( AB , BC) , te ſaamen genomen .
B Want , laat BD perpendicu . lair op AC zyn ; dan , ver mits ( door de voorgaande Pro poſitie ) O AB zo veel grooter is , dan de Som der beide vier kanten OAE en OBE , of OCE en O BE , als den dub .
A ED C belen Regthoek AE.ED , of
2DCE.ED ; en dat ook BC den zelfden dubbelen Regthoek kleinder is als de
zelf
1
II. BOEK . ( 32 )
zelfde Som ; zo is openbaar , dat beide DAC , en BC ſaamen genomen , aan deeze Som , twee maalen ge . nomen , gelyk moet zyn ; dewyl het overtreffende aan de eene zyde , het ontbreekende aan de andere zyde evenaart .
THE O R E M A X.
2
De beide Diagonaalen ( AC , BD ) van een Parallelogram ( ABCD ) Snyden malkanderen ieder in twee gelyke dee len ; en de Som van baare vierkanten , is gelyk aan de Som der vierkanten , van alle de vier Zyden des Paralle . lograms.
D C Want , dewyl de Driehoeken
AEB , DEC gelykhoekig zyn EE
( 3. en 7.1 . ) , en AB = DC'is ( 21. I. ) , zo is ook AE = CE , AА
en BE = DE ( 15.1. ). Ver B
der is 2 O AE + 2DED = 0 AD + OCD ( 9.2 . ) , en neemende hier van het twee vouw.l , zo komt 4 QAECOAC ( 4 . 2 . ) ] + 40ED (ODB ) = OAD + OBCHOCD + CAB ( AX. 4 . en 21. 1. ) .
Einde van bet TWEEDE Boek .
- 1
GRON
1
G R O N D EN DER
MEET KUNST.
DER DE BO E K.
BEPAALÍNGEN . ( Definitiones . )
: E
D 1 . en regte lyn AB , door het Centrum F van een Cirkel gaande , en weder
C E zyds aan den omtrek eindi
F gende , wordt Diameter , of
А BВ Middellyn , genoemd .
2. Een boog van een Cirkel , is een deel van den om trek , als CDE .
G 3. De Pees , chorda ( ſubtenſa ) van een boog CDE , is een regte lyn CE , welke de einde van dien boog faa .
menvoegt.
4. Een halven Cirkel is een Figuur , begreepen onder een Diameter , en ieder deel van den omtrek , dat door dien Diameter afgeſneeden wordt .
5. De afſnyding van een Cirkel , of een Segment ( Seg mentum Circuli ) , is een Figuur , begreepen onder een
boog CDE , en zyn pees CE .
6. De uitſneede , of een Sector van een Cirkel , is een Figuur , begreepen onder twee regte lynen FA , FG , uit het Centruin tot den omtrek getrokken ; en de boog AG tuſſchen dezelye beſloten . Als deeze twee lynen FA , FG perpendiculair op malkanderen ſtaan ,
wordt den Sector een Quadrant genoemd.
[ C ]
7. Een
1
III. Boek .
( 34 ) B
7. Een hoek ABC wordt ge zegd in een Segment van een Cirkel ABCA te ſtaan , als het hoekpunt B in den omtrek is , en de regte ly . С nen BA , BC , welke den hoek maaken , door de ein den der pees AC , van het Segment , gaan .
8. Een hoek ABC in den omtrek , begreepen door twee regte lynen BA , BC , welke een boog van den Cira kel beſluiten , wordt gezegd op dien boog te ſtaan .
A B
9. Een regte lyn AB wordt gezegd den Cirkel te raaken , wanneer dezelve door een punt C in den omtrek getrok ken zynde , niets van den
Cirkel affnydt.
10. Twee Cirkelen (HIK , LIM ) worden gezegd mal kanderen te raaken , als de omtrekken van beide door een punt ( 1 ) gaan , en nogthans malkanderen niet ſny
den .
M
I
H L
K M
H K
11. Twee Cirkelen , in het zelfde vlak , worden gezegd el.
( 35 ) III. BOEK .
: elkanderen te ſnyden , als zy gedeeltelyk binnen , en gedeeltelyk buiten malkanderen vallen ; of als haare omtrekken malkanderen ſnyden .
12. Een regte lyn wordt gezegd tot een Cirkel toege palt , of in dezelve beſchreeven te zyn , als derzelver uiteinden in den omtrek des Cirkels vallen .
13. Een regtlynige Figuur wordt gezegd in een Cirkel beſchreeven te zyn , als alle haare hoeken , in den
omtrek des Cirkels vallen .
14. Een Cirkel wordt gezegd om eene regtlynige Figuur beſchreeven te zyn , als den omtrek des Cirkels door alle de hoeken van die Figuur loopt.
15. Een regtlynige Figuur wordt gezegd om een Cirkel beſchreeven te zyn , als alle de zyden derzelve den Cirkel raaken .
16. Een Cirkel wordt gezegd in een regtlynige Figuur beſchreeven te zyn , als dezelve door alle de zyden van de regtlynige Figuur geraakt wordt.
17. Een regtlynige Figuur wordt gezegd in een regtly , nige Figuur beſchreeven te zyn , als alle de hoeken van de eerſte in de zyden van de laatſtevallen,
Τ Η Ε Ο R Ε Μ Α Ι.
Als de zyden (AB , BC , CD , & c . ) van een Veelboek , in een Cirkel beſchreven , gelyk zyn , zullen de boeken ( AOB , BOC , COD , & c.) in bet Centrum des. Cir.
kels , over dezelve ſtaande , ook gelykzyn .
В.
А
Want, dewylA 0 , BO , CO D. & c , aan malkanderen gelyk zyn ( Def. 33. 1. ) , als ook AB, BC , ČD , & c . , zyn de Driehoeken AOB , E BOC , COD , & c. weder zydsvan gelyke zyden be greepen ; en derhalven zyn F alle de hoeken A OB,BOC, COD &c . aan inalkanderen gelyk ( 14. 1. ).
H
[ C 2 ] THEO .
III . BOEK .
( 36 )
THEOREMA II . ( y )
Een Pees van een Cirkel ( AB ) , valt gebeel binnen dezel ve ; en een perpendiculair (CD ) , uit bet Centrum des Cirkels op dezelve getrokken , deelt dezelve in twee gelyke deelen .
}
С
Laat C , A , en C , B faamen gevoegd , en door een willekeu rig punt E , in de pees AB , de regte lyn CEF getrokken wor B den , ontmoetende den omtrek
in F.
А E ! D
FF
Dewyl CA = CB is ( Def . 33. 1. ) , zo blykt klaar , dat deeze gelyke lynen aan verſchillende zyden , van den perpendiculair CD zyn ( 20. 1. ) . En dus , om dat CECA , of CF , is ( 20.1.) , zal het punt E , waar men het ook in de lyn AB neemt , en by gevolg ook de lyn A B zelve , binnen den Cirkel vallen Ax, 2. ) .
Daarenboven , dewyl de Driehoeken ACD , BCD , de zyde CA = CB , en CD gemeen hebben , zal AD
DB zyn ( 16. 1.) .
COROLLARIU M.
Als een lyn een pees regthoekig in twee gelyke dee . len ſnydt, gaat deeze lyn door het Centrum des Cirkels .
THEOREMA III. ( 2 )
Twee peefen ( AB , DE) , die even ver van bet Centrum ( C ) eens Cirkels ſtaan , zyn aan malkanderen gelyk .
Laat
(y) Eucl. 3. 3. B. ( ) Encl. 14. 3. B.
( 37 ) III. Boek . Laat de perpendiculairs CF , CG getrokken , en C , B , als
Α , D
ook C , E ſaamengevoegd wor den . Dewyl nu CF = CG ( Stell. ), CB = CE ( Def. 33. 1. ) , F G en F , G beide regte hoeken zyn ( Conſtr. ) , zo is ook BF = EG ( 16. 1. ) , en by gevolg AB = 2 BF ( 2.3. ) = 2EG ( Ax . 4. )
в Е
= DE ( 2.3. ).
THEOREMA IV . ( a )
De boek ( BCD in bet Centrum eens Cirkels , is het dub . beld van de boek (BAD ) in den omtrek , als beide de boeken op de zelfde boog (BD ) ſtaan .
2 3
А ,
С
1
B D B
B D
Laat , in het tweede , en derde Geval , den Diameter ACE getrokken worden , dan is
In bet eerſte geval , daar AB door het Centrum gaat , de hoek BCD = A + D ( 0.1. ) = 2A ( 12. 1. ) .
In het tweede Goval , de hoek BCE = 2BAE (door Geval 1. ) , waar by DCE = 2DAE vergaarende , heeft men de hoek BCD = 2BAD ( Ax . 4. ) .
In bet derde Geval , de hoek BCE = 2BAE ( door Geval 1. ) , waarvan DCE = 2 DAE aftrekkende , blyft 'er de hoek BCD = 2BAD ( Ax . 5. ) .
THE OREMA V.V. (6 )
De boeken (BAD , BED) , die in bet zelfde Segment ( BA ( a ) Eucl. 20. 3. B. ( 6 ) Eucl . 21. 3. B.
[ C3 ]
TIL. Boek .
( 38 )
C
( BAED ) eens Cirkels ſtaan , zyn onder malkanderen ge 2 lyk.
Geval I. Indien bet Segment А
grooter als een balven Cirkel is . Trek , uit het Centrum C , de ſtraalen C B en CD ; dan , ver mits de hoeken BAD , en BED ieder de halve hoek BCD
B D
zyn ( 4. 3. ) , moeten dezelve ook noodzaakelyk aan malkan deren gelyk zyn ( Ax . 1. ) . A GEVAL II. Indien het Segment
kleinder als een balven Cirkel is . G
Laat G het punt zyn , daar de
B D
lynen BE , en AD malkanderen C ſnyden . Dewyl dan in de Drie . hoeken ABG , en EDG , de hoek AGB = EGD ( 3. 1. ) , en ABG = EDG is ) door Gea val 1. ) , zo is ook de hoek BAD
= BED ( Cor. I. van 10. 1. ) .
THEOREM A VI.
Alle boeken ( C , D ) in omtrekken van gelyke Cirkels , op gelyke peefen (AB , EF ) ſtaande, zyn aan malkanderen gelyk . En de peefen van gelyke boeken , in de omtrekken van gelyke Cirkels , zyn ook aan malkanderen gelyk .
С Laat uit de
middelpunten P , en , de ſtraalen DPA , PB , QE , OF getrokken worden .
А ) BE F
1. Stell. Nadien AB = E F ( Stell . ), en AP = BP ( Def. 33. 1 .) = EQ = FQ is ( Stell .) : zo is ook de hoek P = 0 ( 14. I. ) , en by gevolg de hoek
C [ = * P ( 4 . 3.) = ; Q ] = D .
2. Stell . Dewyl C = D is , zo is ook P = Q (4. 3. ) , 9
P Q
en
( 39 ) III. BOEK . en om dat PA = QE , en PB = QF is ( Stell. ) , zal ook AB = EF zyn ( Ax . 10. ) .
COROLLARIU M.
Hier uit volgt , dat alle hoeken in den omtrek , die op gelyke peeſen van den zelfden Cirkel ſtaan , gelyk zyn .
THEOREMA VII . (C )
De boek ( ABC ) in een balven Cirkel , is een regte boek . B Laat den Diameter BED ge
trokken worden ,
Dewyl de hoek ABE = ! AED , en CBEZCE Dis А c ( 4.3.) , zo is derhalven A BE
E
+ CBE ( = ABC ) = de helft van AED en CED ( Ax . 4 . ) = de helft van twee regte hoeken ( 1.1 . ) = één regte D
hoek .
THEORE MA VIII. ( d )
De boek ( ABC ) beſloten door een raaklyn van den Cirkel , en een pees ( BA ) , die uit bet punt van aanraaking ( B ) getrokken wordt , is gelyk aan de boek (BEA) in bet overbandfcbe Segment,
Laat den Diameter BGF getrokken , en E , F faa mengevoegd worden .
B De lyn DC geheel boven den
D с
Cirkel vallende ( Def . 9.3 .) , is GB de kortfte lyn , die uit het Centrum G tot dezelve kan ge trokken worden ( Def. 33. 1. en Ax. 2. ) ; en derhalven is GBC А een regte hoek ( 20. 1.) : maar FEB is ook een regte hoek ( 7. 3. ) ; dienvolgens , indien van deeze gelyke hoeken , de E
gelyke hoeken FBA , FEA ( 5.3 .) ( C ) Euch. 31. 3. B. ( d ) Eucl. 32. 3. B.
[ C4 ]
III. Boek .
( 40 )
( 5. 3. ) afgetrokken worden , zal ' er overblyven de hoek ČBA = BE A ( Ax . 5.) .
THEOREMA IX . ( e )
De topboek ( ABC ) van een ſcbeef boekige Drieboek ( ACB ), in een Cirkel beſcbreeven , is zo veel grooter , of klein der dan een regte boek , als de boek (CAD ) , begreepen onder den Balis ( AC ) , en den Diameter ( AD ) , die van bet einde der Baſis getrokken wordt .
B B
А. С
Cс
J 2
Want , DB getrokken zynde , zal ABD een regte hoek zyn ( 7. 3.) en de hock CAD = CBD ( 5.3 );
derhalven is , in bet eerſte Geval , de hoek ABC een regte hoek + CAD ( AX . 4. ) ; en , in bet tweede Geval , de hoek ABC = een regte hoek — CAD ( Ax. 5. ) .
THEORE M A X. ( f )
Als van een Vierboek ( ABCD ) , in een Cirkel beſchree ven , ééne zyde ( AD ) buiten den Cirkel verlengt wordt , zal de uitwendige boek (EDC ) gelyk zyn aan de over ſtaande inwendige boek (ABC ).
E , Laat den Diameter A F getrok ken , en BF en DF ſaamenge.
voegd worden ; dan , dewyl de
D hoek ABF een regte hoek
ADF ) = EDF is ( 7.3 .) , als F mede de hoek CBFS CDF ( 5 : 3 ) , om dat zy beide op de AА B zelfde boog CF ſtaan ; zullen nok de overige hoeken ABC'en EDC gelyk zyn ( Ax. s . ) .
CO . G
(e) Eucl . 31. 3. B. c ) Eucl, 22. 3. B.
( 41 ) III, BOEK.
COROLLARIU M.
Hier uit volgt , dat de overſtaande hoeken ABC , ADC van een vierzydige Figuur , in een Cirkel bea ſchreeven , te ſaamen gelyk zyn aan twee regte hoeken . Want , dewyl ABC = EDC is , zo is derhalven de hoek ABC + ADC =EDC + ADC ( Ax . 4. ) = twee regte hoeken ( 1. 1. ) .
THEOREMA XI . ( 8 )
Als twee lynen ( AB , DE ) , die met baare einden den om . trek ſtooten , malkanderen binnen een Cirkel Snyden , is den Regtboek , begreepen onder de beide deelen ( AF , FB) der eene , gelyk aan den Regtboek , begreepen onder de beide deelen ( DF , FE ) der andere.
A H
E A E
G F D !
BВ
D С
om
C.
2
B G
Geval I. Als een der lynen ( AB ) door het Centrum C gaat ; zo laat CG perpendiculair op de andere DE getrokken , en C , D ſaamengevoegd worden .
Dewyl GE = GD is ( 2. 3. ) zo blykt klaar , dat EF gelyk is aan het verſchil der deelen DG , en GF ( Ax . s . ) : maar den regthoek onder de fom en het verſchil van twee zyden CD , CF , eens Driehoeks DCF , is ge lyk aan den regthoek onder de geheele Baſis DF , en het verſchil der beide deelen , die door den perpendiculair afgeſneeden worden ( Cor . I. van 7. 2. ) ; dewyl nu de ſom der beide zyden CD , CFCB * CF) = BF , en haar verſchil ( CA - CF ) = AF is , zo is der halven ook den regthoek , begreepen onder BF en AF , gelyk aan den regthoek begreepen onder DF en FE.
GE ( g ) Eucl. 35. 3. B.
[ cs ]
III. BOEK .
( 42 )
Geval II. Als geene der beide lynen door het Cena trum gaat , zo laat den Diameter HFG getrokken wore den ; dan is , door bet voorgaande Gedal , AF , BF
DGF.HF = ODF.EF.
THEORE MA XIL ( b)
Als van twee punten ( A , B ) in den omtrek eens Cirkels , twee lynen (AF , BF ) getrokken worden , welke , den Cirkel doorſnydende , buiten dezelve ſaamenkomen ; dan is den regtboek , begreepen onder de gebeele ( AF ) en bet uitwendige deel ( CF ) der eene lyn , gelyk den regtboek , begreepen onder de geheele ( BF ) , en bet uitwendige deel ( DF ) der andere lyn .
F Laat door het Centrum E , de lyn FH getrokken worden , ont moetende den omtrek in I en H ; laat E G perpendiculair op BF zyn , D
C I en B , E ſaamengevoegd worden . Dan is ( door Cor . J. van 7. 2. ) Kк
den regihoek , begreepen onder G FHCEFE + BE ) en FIC
FE - BE ) , = den regthoek ,
A begreepen onder BF en DF. Op
de zelve wyze is O FH.FI B DAF.CF; derhalven DAF .
CF = OBF.DF ( Ax. 1. ). : H
COROLLARIU M.
Indien FK een raaklyn in K is , en de Straal E K ge . trokken wordt ; dan , dewyl FH = de ſom van FE en EK . en FI = haar verſchil is ; zo volgt , dat OFK
= OFH , FI ( Cor , van 6. 2. ) = OAF.CF is.
THEORE MA XIII.
Indien uit bet Centrum ( C ) eens Cirkels , tot een punt ( D ) in een pees ( AB ) , een lyn ( CD ) getrokken wordt;
dan is bet vierkant van die lyn , met den regtboek , be gree E
( b ) Eucl. 36 en 37. 3. B.
1
( 43 )
! III . BOEKI
F den .
4 greepen onder de beide deelen der pees , te ſaamen geno
men , gelyk aan het vierkant , dat op de ſtraal van dien Cirkel gemaakt wordt.
Laat EDF een ander pees zyn , perpendiculair op CD , en D laat C , E ſaamengevoegd wore Dewyl DF = DE is ( 2.3 .) B zal ODE = ODE.DF ( 1.2.)
CС -ODA , D B zyn ( 11. 3.)
Vergaarende nu by deeze gely ke grootheden het ODC , dan is OCE = ODA.DB + 9 Dc ( c . 2.) .
COROLLARIU M.
Hier uit volgt , dat het vierkant van een lyn (DC ) , getrokken uit een willekeurig punt , in den Baſis van een gelykbeenigen Driehoek (ACB ) , tot de overſtaan.
de hoeken , te faamen met den regthoek van de deelen der Basis , gelyk is aan het vierkant , dat op een der beenen , of gelyke zyden , des Driehoeks gemaaktwordt.
THE ORE MA XIV .
De regtboeken , begreepen onder overeenkomſtige zyden van gelykhoekige Drieboeken ( ABC , DEF ) , beurtelings genomen , zyn gelyk.
B Wy zeggen ,
E indien de hoek
A - D BE., enCris , zal
G CС
D
F DAC.DE DAB.DF zyn .
Laat in het ver lengde van CA , AG = DE ge H
nomen worden ; laat GBC den omtrek eens Cirkels zyn , gaande door de drie punten C , B , G , welke het verlengde van BA in H ſnydt; en laat ĠH ſaamengevoegd worden .
Dewyl de hoek HC (5.3.) F ( Stell. ) , HAG -САВ .
1
>
III. BOEK . ( 44 )
"
= CAB ( 3. 1.) = D ( Stell.), en AG = DE is , zo is ook AHSDF ( 15. 1. ) ; en derhalven DAB.DE AB.AH ( 1. 2.) = OAC.AG ( 11.3 .) = OAC . DE ( 1. 2. ).
SCHOL I U M.
Tot Bewys van dit Theorema wierdt vereiſcht , om door drie gegeeven punten een Cirkel te trekken . Het blykt klaar , dat deeze drie punten niet in een zelfde regtelyn kunnen zyn , om dat alle de punten van een omtrek , even verre van een zelfdepunt , te weeten het Centrum , of middelpunt , moeten afſtaan .
Als men dan deeze drie punten , twee aan twee , of aan drie peefen voegt , welke drie boogen van deezen omtrek onderſteunen ; zo zal men het middelpunt in de tuſſchenſnyding van twee lynen vinden , die twee van deeze drie peelen perpendiculair , en op de helft zullen ſnyden .
Want , volgens Tbeorema 2. Boek 3 , gaat ieder van deeze perpendiculairs door het middelpunt heen . Zo is dan het Centrum het punt , hetwelk aan hen gemeen is . In te gendeel , zo deezedrie punten in een zelfde lyn ſton den , zouden de perpendiculairs , ' evenwydig zynde , nooit tot malkanderen kunnen komen (4. i . ) .
THE OR EMA XV .
Den regtboek onder de twee opſtaande zyden ( AB , BC ) van een Drieboek (ABC ) is gelyk aan den regtboek on der de perpendiculair (BD ) , uit den top-boek tot den Baſis getrokken , en den Diameter ( BE ) des omgeſcbrec.
oen Cirkels .
BВ Want , C , E ſaamengevoegd zynde , zullen de hoeken A en E gelyk ( 5.3 ) , en ADB , ECB beide regte hoeken zyn
D C
( Stell. en 7.3 . ) ; by gevolg zyn
F de Driehoeken ADB,EC B ge
lykhoekig ( Cor. 1. van 10. 1. ) : en derhalven , om dat AB , EB ; BD , BC overeenkom . ftige zyden zyn , die over ge lyke Α ,
E
( 45 ) III . Boek . Iyke hoeken ſtaan , zal den regthoek van AB en BC , begreepen onder de eerſte en laatſte derzelve , gelyk zyn aan den regthoek van EB en BD , die onder de beide andere begreepen is ( 14. 3. ) .
THEOREMA XVI.
1 Het vierkant van een lyn ( BD ) , welke een der boeken ( B )
van een Drieboek ( ABC ) in twee gelyke deelen ſnydt , en tot op de overſtaande zyde (AC ) getrokken wordt , te faamen met den regtboek ( AD , DC ) , onder de beide deelen van die zyde , is gelyk aan den regtboek der beide
zyden , welke de voorgeſtelde boek inſluiten.
B
Laat B D verlengt worden tot dat dezelve den omtrek eens Cirkels , door de punten A , B , C beſchreeven ( Scbolium van 14. 3. ) , in E ontmoet; en De hoeken E en C , ſtaande D
op het zelfde Segment AB , zyn gelyk ( 5. 3.) ; en ABÉ is gelyk DBC ( Stell .) ; der . halven zyn de Driehoeken AEB , DBC gelykhoekig ( Cor, I. van 10. 1. ) ; en AB , BD ; BE , BC overeenkomſtige zyden , die over gely . ke hoeken ſtaan : by gevolg OAB.BC = OID.BE ( 14. 3 . ) = OBD + DBD.DE ( Cor . 3. van 4. 2. ). Maar den OBD.DE is = OAD.DC ( 11.3 . ) ; by gevolg OBD + DAD.DC = AB.BC ( AX . 4. ) .
THE O R E M A XVII . A
Den regtboek der beide Diagonaalen (AC , BD ) van een vier boek (ABCD ) , in een Cirkel beſcbreeven , is gelyk aan de Som der beide regtboeken (AB , DC , en AD , BC ) , onder de overſtaande zyden begreepen .
Laat
III. BOEK . ( 46 )
AА
Laat CE getrokken word D
den , maakende de hoek BCE CС
= DCA , en ſnydende BD in E.
EE
Dewyl de hoek CBE B DAC ( s . 3. ) , en BCE
DCA is ( Conſtr . ) , zyn de Driehoeken BCE , ACD ge lykhoekig ( Cor . 1. van 10. I. ) ; en om dat BC , AC ; en BE , AD overeenkomſtige zyden zyn , zullen de regthoeken BC.AD , en AC.BE gelyk zyn ( 14.3. ).
Wederom , nadien , de hoek DCE = BCA ( AX .4.) , en CDE = CAB is ( s . 3. ) , zyn de Driehoeken DCE . en CAB ook gelykhoekig ; en by gevolg , om dat CD . AC , en DE , AB overeenkomſtige zyden zyn , zo is DAB.DC = OAC.DE ( 14. 3. ) ; vergaarende hier by BC.ADOAC.BE ( als boven beweezen is ) dan heeft men OAB.DC + BC . AD = OAC . DE + AC.BE = DAC.BD ( Cor. 3. van 4. 2. ) .
THEOREMA XVIII,
Als de Straal eens Cirkels , zodanig in twee deelen gedeeld wordt , dat den regtboek onder de gebeele Straal, en bet eene deel , gelyk zy aan betvierkant van 't andere deel ; dan zal dit laatſte deel gelyk zyn aan de zyde ( CD ) van een regelmaatigen Tienboek ( ABCDEF & c . ) , in den Cirkel beſcbreeven ; en die lyn , welkers vierkant gelyk is aan de beide vierkanten van de gebeele , en van bet zelf de deel , zal gelyk zyn aan de zyde ( AC ) van een regel.
maatigen Vyf boek , in de zelfde Cirkel beſcbreeven . 9
Trek
( 47 ) III. Boek . D Trek de Straalen 0 A , OC , OD , OF ; als ook E de lyn AD , ſnydende OC in G ; en laat AH perpendiculair op OG B
F zyn . O
Dewyl , in den Drie . hoek ODG , de hoek COD [ = DOF ( s . 3. ) = OAD ( 4. 3. ) ] SODA is. ( 12. 1. ) ; zo is dezelve gelykbeenig ( 18. I. ) ; daarenboven , ver mits in den Driehoek AOG , de hoek AGO [ = GDO + DOG ( 0.1.) = 2DOC ( 12. 1 .) ] = AOC is , zo is dezelve ook gelykbeenig ( 18. 1. ) ; en op dezelve.wy.
ze ook den Driehoek CDG , dewyl , de hoek CGDE AGO (3. 1. ) , en CDG ( CDA) = FAD zynde ( Cor . van 0.3.) , de Driehoeken AOG , CDG gelykhoekig zyn . Derhalven , aangezien CD , A0 ; CG , GO 0 vereenkomſtige zyden zyn ; is OCG.AO ( OCG . CO ) = 0CD.GO ( 14. 3.) = OGO , om dat GO GD = DC is ( 18. 1. ) : waar door het eerſte deel der Propoſitie openbaar is .
Wederom , dewyl AG = AO is , zal HG = HO zyn ( 16. 1. ) ; en dus , om dat GC het verſchil der dee len HO en HC is , heeft men ( door Cor . I. van 7. 2. ) DAC - DA0 = OCO.CG = OOG ( als boven );
en by gevolg AC = OA0 + 00G ( Ax . 4. ) .
Einde van bet DERDE BOEK .
GRON . /
G R O N D EN DER
MEETKUNST.
VIER DE BO E K.
BEPAALINGEN . ( Definitiones . )
" R
EDEN ( Ratio) is de betrekking , welke twee ge lykſoortige grootheden , ten opzigte der veel . heid , tot malkanderen hebben .
De maat , of veelbeid , van een Reden beſtaat eigentlyk bier in , dat men zoekt , wat deel , of deelen , de eerſte be.
paalde grootbeid , die men de voorgaande ( Antecedens ) noemt , van deandere is , die volgende ( Conſequens ) ge
noemd wordt .
2. Drie Grootheden A , B , C , worden gezegd propor tionaal , of evenredig , te zyn , als de reden van de eerſte A tot de tweede B , de zelfde is , als die van de tweede B tot de derde C.
3. Vier Grootheden A , B , C , D , worden proportio naal , of evenredig genoemd , als de reden van de eer : ſte A tot de tweede B , de zelfde is , als de reden van de derde C tot de vierde D.
Om aan te toonen , dat vier Grootbeden A , B , C , D proportionaal zyn , Scbryft men dezelve doorgaans op dee ze wyze , A : B :: C : D ; bet geen dus geleezen wordt, als A is tot B zo is C tot D. Docb wanneer drie Grootbeden A , B , C proportionaal zyn , wordt de middelſte nog eens berbaald , en men ſcbryft dezelve aldus , A : B :: B : C . 4 . Van drie evenredige Grootheden , wordt de middel .
ſte gezegd , een Midden - evenredige tuſſchen de beide andere te zyn ; en de laatſte een Derde.evenredige tot de eerſte en tweede.
5. Van
1
( 49 ) IV . Boek . 5. Van vier evenredige Grootheden , wordt de laatſte
gezegd een Vierde - evenredige tot de drie andere , vol gens hunnen rang genomen , te zyn .
6. Grootheden worden gezegd geduurig evenredig , of in eene geduurige evenredigheid , te zyn , wanneer de eerſte is tot de tweede , als de tweede tot de dere de , als de derde tot de vierde , als de vierde tot de vyfde , en zo vervolgens.
7. In een rei van geduurig evenredige Grootheden zegt men , dat de reden van de eerſte en derde , dubbeld is tot die van de eerſte en tweede ; en dat de reden van de eerſte en vierde , driedubbeld is tot die van de eerſte en tweede .
8. Een getal van grootheden , A , B , C , D gegeeven , of voorgeſteld zynde , zegt men ; dat de reden van de eerſte (A) tot de laatſte ( D ), ſaamengeſteld is uit de redens van de eerſte tot de tweede , van de tweede tot de derde , en zo vervolgens , tot de laatſte toe . 9. Reden van gelykheid , is die , welke gelyke groothe .
den tot malkanderen hebben .
Hier by dient aangemerkt te worden , dat reden van gelykheid , en gelykheid van redens geenszins een zelfde betekenis hebben : dewyl twee of meer redens gelyk kunnen zyn , niet tegenſtaande de vergelekene Grootbeden alle onge lýk bevonden worden . Dus is de reden van 2 tot i gelyk aan de reden van 0 tot 3 ( vermits 2 bet dubbeld van 1 , 6 bet dubbeld van 3 is ) , nogtbans zyn geene der vier ge tallen gelyk.
10. Omgekeerde reden is , wanneer de voorgaande de volgende , en de volgende de voorgaande gemaakt wordt.
Dus, indien 2 : 1 :: 6 : 3 is , dan is omgekeerd 1 : 2 ::
en
3 : 0 .
11. Verwiſſelende reden is , wanneer de voorgaande met de voorgaande , en de volgende met de volgende verge leken wordt.
Als , indien 2 : 1 :: 6 : 3 is , dan zal door verwiſſeling zyn 2 : 6 :: 1 : 3
12. Saamengeſtelde reden is , wanneer de voorgaande en volgende , als eene grootheid genomen , met de vol . gende , of met de voorgaande , vergeleken worden .
[ D ' ] Dus ,
