TREBALL DE FI DE MÀSTER
APRENENTATGE BASAT EN PROBLEMES:
UNA METODOLOGIA PER FER-TE PENSAR
Guillem Llodrà Bisellach
Màster Universitari en Formació del Professorat
(Especialitat de Matemàtiques)
Centre d’Estudis de Postgrau
Any Acadèmic 2020-21
APRENENTATGE BASAT EN PROBLEMES: UNA METODOLOGIA PER FER-TE PENSAR
Guillem Llodrà Bisellach
Treball de Fi de Màster
Centre d’Estudis de Postgrau Universitat de les Illes Balears
Any Acadèmic 2020-21
Paraules clau del treball:
Aprenentatge basat en problemes, proposta didàctica, geometria, material manipulatiu.
Tutora: Cristina Olivares García
Resum
En el present treball es pretén incorporar de manera efectiva la metodologia d'aprenentatge basat en problemes (ABPr). El document estarà organitzat en quatre blocs principals. En el primer apartat, justificació, es troba el perquè ens centrem en la metodologia ABPr. En el segon apartat, estat de la qüestió, s’analitza el paper que té l’ABPr dins el currículum de les Illes Balears i altres currículums, a més es farà una comparativa amb altres metodologies. En el tercer apartat, s’elabora una proposta didàctica centrada en el bloc de geometria de 2n d’ESO. En aquest apartat els docents interessats trobaran tots els recursos i activitats necessàries per tractar aquesta metodologia dins l’aula.
Finalment, en el darrer apartat, s’exposen les conclusions finals del treball així com, els avantatges i inconvenients.
L’autor és conscient que dins l’aula no tothom té el mateix nivell de matemàtiques, per aquesta raó durant l'elaboració de la proposta didàctica s’ha tingut molt en compte el material manipulatiu, ja que perquè aquest aprenentatge sigui significatiu s’han d’enllaçar conceptes matemàtics amb objectes o experiències que ja coneixen. D’aquesta manera, es pretén engrescar al major percentatge d’alumnes que sigui possible.
Paraules clau:
Aprenentatge basat en problemes, proposta didàctica, geometria, material manipulatiu.
Índex
1-Objectius del treball 5
2-Introducció 5
3-Justificació de la proposta 6
4-Estat de la qüestió 7
4.1-Anàlisis curriculars de l’ABPr 7
4.1.1-El currículum de les Illes Balears 8
4.1.2-El currículum de Catalunya 8
4.1.3-National Council of Teachers of Mathematics 9
4.2-Aprenentatge basat en problemes 9
4.2.1-Avantatges i desavantatges 15
4.2.2-Pautes per resoldre problemes 17
4.3-Comparació amb altres metodologies 27
4.3.1-Aprenentatge basat en projectes (ABP) 27
4.3.2-Resolució de problemes 29
4.3.3-Metodologia tradicional 30
4.4-Recursos per atendre les dificultats d’aprenentatge 31
4.4.1-Base d’orientació 31
4.4.2-Scaffolding 33
4.4.3-Material manipulatiu 35
4.4.4-TIC 36
5-Proposta didàctica 37
5.1-Continguts 37
5.2-Competències 39
5.3-Objectius 40
5.4-Metodologia 41
5.5-Recursos didàctics. 43
5.6-Activitats proposades 46
5.6.1 Àrea i perímetre amb policubs 47
5.6.2-Construïm un tangram. 48
5.6.3-Galetes d’arròs. 49
5.6.4-El problema de les gallines. 52
5.6.5-Menjar crispetes 53
5.6.6-Patrons 55
5.7-Avaluació 57
5.8-Atenció a la diversitat 58
6-Conclusions 59
7-Referències bibliogràfiques 61
8-Annexos 65
Annex 1: Àrea i perímetre amb policubs. 65
Annex 2: Construïm el Tangram 69
Annex 2.1 Sessió 2 69
Annex 2.2 Sessió 3 73
Annex 2.3 Diari d’aula 77
Annex 3: Galetes d’arròs 78
Annex 3.1 Calculem el perímetre del cercle 78
Annex 3.2 L’àrea del cercle: 80
Annex 3.3 El sector circular 82
Annex 3.4: Diana autoavaluant 84
Annex 4: El problema del galliner 85
Annex 4.1 El problema 85
Annex 4.2 Base d’orientació: 86
Annex 4.3 Rúbrica: 87
Annex 5: Menjar crispetes 89
Annex 5.1 Problema amb 3 actes (Dan Meyer). 89
Annex 5.2: Base d’orientació 92
Annex 5.3 Rúbrica 94
Annex 6: Patrons 94
Annex 6.1: Diari d’aula 98
Annex 7: Organització de les activitats 99
Annex 8: Rúbrica carpeta d’aprenentatge 110
1-Objectius del treball
Durant aquest treball pretenem aconseguir els següents objectius:
● Investigar quin paper té la metodologia ABPr en el Currículum de les Balears i Catalunya.
● Proposar un conjunt d’activitats en les quals a part d’engrescar a l’alumnat, s’aconsegueixi escalar el coneixement a través de la reflexió i l'aparició de nous problemes.
● Evitar que la Geometria es redueixi a la memorització i aplicació de fórmules i es converteixi en un bloc on s’aprenen conceptes a través de la manipulació.
● Dur a la pràctica aquesta proposta didàctica per tal de veure els avantatges i inconvenients per així poder redactar una proposta de millora pels docents que vulguin aplicar-la dins l’aula.
2-Introducció
En el present treball es realitza una investigació sobre la metodologia de l’aprenentatge basat en problemes (ABPr) i s’elaboren un conjunt d’activitats per complementar l’estudi teòric realitzat.
A partir de les característiques ABPr s’ha reflexionat sobre quines eines es poden utilitzar per poder aplicar aquesta metodologia a les classes Matemàtiques de manera efectiva. L’objectiu de les eines resideix en aconseguir que els alumnes adquireixin l’habilitat de resoldre problemes, per això utilitzem recursos manipulatius i digitals; ara bé el més important és dotar al professor dels coneixements necessaris per poder ajudar als alumnes a resoldre problemes. Per aquesta raó esperem que la informació aportada sobre
les estratègies per resoldre problemes, la base d’orientació i el “scaffolding”
siguin útils pels docents interessats.
A partir del marc teòric, s’han realitzat un conjunt d’activitats per tal d’assolir els continguts de Geometria, sobretot conceptes relacionats amb àrea i volum, que trobem en el Currículum de les Illes Balears a 2n d’ESO. A més, algunes d’aquestes activitats s’han dut a terme dins l’aula per tal de veure com reaccionaven els alumnes i poder agafar experiència com a professor aplicant ABPr.
Gràcies a aquesta experiència s’ha pogut redactar una proposta de millora, obrint les portes a una futura extensió d’aquest treball. S’ha vist que l’ABPr es pot aplicar a les aules tot i que es necessita un període llarg de temps perquè els alumnes s’acostumin a aquesta nova metodologia. Els alumnes que presenten més dificultats són els alumnes que tendeixen a mecanitzar els problemes. Però fins i tot ells poden arribar a experimentar la satisfacció de descobrir la solució d’un problema amb el temps suficient.
3-Justificació de la proposta
El fet d’aprendre alguna cosa nova sempre és satisfactori, però el fet d’aconseguir superar un repte, almenys per mi, és encara més agradable.
Personalment quan més he après ha estat:
● Quan he treballat en solucionar un problema que m’interessava.
● Quan he reflexionat sobre un concepte.
● Quan he explicat un concepte/problema a un amic.
Com podeu veure els tres punts anteriors estan relacionats amb un aprenentatge actiu. Per tant, una vegada feta aquesta retrospecció calia contestar a les preguntes: “Com vull que siguin les més classes?”; “Realment els hi seran profitoses als alumnes?”
La resposta a les preguntes anteriors va ser l’ABPr ja que combinava una part
d’ajudar als alumnes a desenvolupar l’habilitat de resoldre problemes. Xerrant clar, el dia de demà ja sigui a la universitat o a la feina, és molt probable que necessitis saber disseccionar un problema per tal de treure les dades rellevants, analitzar-les i dissenyar un pla per arribar a una solució.
Contràriament del que certa gent pensa l’habilitat de resoldre problemes no és innata i com qualsevol habilitat es pot adquirir amb pràctica i esforç.
Per tal d’ajudar als alumnes a estimular aquesta habilitat vaig decidir documentar-me sobre quina investigació s’havia fet sobre ABPr, apuntar-me a un curs sobre resolució de problemes anomenat “Proyecto Newton” finançat pel Govern de les Illes Canàries i posteriorment elaborar una proposta didàctica que realitzaria durant les pràctiques. En el meu cas vaig escollir el bloc de Geometria de 2n d’ESO perquè podia realitzar les activitats proposades dues vegades, ja que hi havia dos grups (2n D i 2n F). A més, al ser dos grups diferents l’experiència podia ser molt enriquidora, ja que m’hauria d’adaptar a les necessitats de cada grup.
4-Estat de la qüestió
En aquest apartat es presenta el marc teòric del treball, el qual està format per quatre grans blocs. En el primer bloc explorem que diuen els distints currículums sobre l'ABPr. En el segon bloc expliquem les característiques de l'ABPr i un conjunt d'estratègies per resoldre problemes. En el tercer bloc comparem l'ABPr amb altres metodologies i finalment en el darrer bloc trobem els recursos que hem utilitzat per tal d'ajudar als alumnes a resoldre problemes.
4.1-Anàlisis curriculars de l’ABPr
Després de fer una lectura exhaustiva del currículum de les Illes Balears, el de Catalunya i el del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). S’ha fet una anàlisi curricular sobre quina importància i quines característiques de l’ABPr trobem en cada un dels anteriors currículums. Hem escollit el currículum de Catalunya al ser un dels més innovadors dins el territori espanyol i el NCTM,
4.1.1-El currículum de les Illes Balears
A l’igual que el present treball, el currículum de les Balears dóna importància a la resolució de problemes, ja que dels cinc blocs que configuren els continguts de l’assignatura dedica el primer bloc a com resoldre problemes. A més, tal com s’explica en l’apartat “Estructura del currículum” el primer bloc és la columna vertebral de tota l’assignatura ja que la resta de blocs (Nombres i Àlgebra, Geometria, Funcions i Estadística/Probabilitat) beuen directament dels continguts que es troben presents en el bloc 1.
Si ens fixem en les orientacions metodològiques que ens proporciona el currículum veurem que posa èmfasi en desenvolupar la competència matemàtica a partir de l’aprenentatge actiu i a partir de problemes que tinguin diverses solucions o sense solució on s’hagi d’analitzar quina és la informació útil. Aquestes són les característiques que trobarem en el següent apartat quan parlem d’ABPr.
A més, el bloc 1 del currículum conté gran part dels continguts que hem utilitzat per aconseguir dur l’ABPr a l’aula com per exemple: la planificació per resoldre problemes, les estratègies i la reflexió. Per tant, podem concloure que el currículum de les Illes Balears dóna molta importància als continguts que presentarem en aquest treball.
4.1.2-El currículum de Catalunya
El currículum de Catalunya es centre en 3 grans punts: les competències bàsiques, les orientacions per a l’avaluació i els continguts i criteris de cada curs, donant gran importància des del principi a desenvolupar habilitats com: la resolució de problemes, el raonament i la comunicació.
Aquest currículum exposa que una de les activitats més genuïnes de les matemàtiques és la resolució de problemes apostant pel disseny d’estratègies, per les reflexions, per la no disposició d’una resposta immediata i per enfrontar-se a una situació desconeguda a través d’un conjunt de dades dins
un context. Per tant, no només dóna importància a l’aprenentatge a través de problemes sinó que comparteix les característiques que un problema ABPr ha de tenir.
Al final totes les habilitats estan molt interrelacionades. Per aquesta raó encara que no es centrin en la resolució de problemes també hi podem trobar característiques que desenvoluparem en aquest treball com: el paper de guia del docent, els problemes en un context quotidià i la utilització de recursos manipulatius i tecnològics per explicar conceptes.
4.1.3-National Council of Teachers of Mathematics
Al igual que el currículum de Catalunya, el Natioanal Council of Teachers of Mathematics es centre amb cinc habilitats clau: resolució de problemes, raonament, comunicació, connexió i representació. En aquest cas, el currículum és encara més específic indicant que a les classes s’hauria de permetre: construir els conceptes a partir de resoldre problemes, poder aplicar diferents estratègies per resoldre problemes i solucionar problemes que puguin sortir durant les classes de matemàtiques, però també en altres contexts .
En definitiva, encara que cada currículum expressa les seves intencions d'una manera lleugerament diferent, tots tres coincideixen en el fet que s'ha d'estimular l'habilitat de resoldre problemes, ja sigui a través de construir conceptes, utilitzant recursos manipulatius/tecnològics o utilitzant estratègies de resolució de problemes.
4.2-Aprenentatge basat en problemes
L’aprenentatge basat en problemes (ABPr) és una metodologia pensada per crear un ambient dins classe en la qual els problemes impulsen el procés d’aprenentatge. Una vegada s’ha plantejat el problema, els estudiants l’interpreten, recolleixen la informació que consideren que és important i proposen heurístiques per identificar possibles solucions. Una vegada arribat
en aquest, punt s’avaluen les distintes solucions i es presenten unes conclusions (Roh, 2003).
La majoria de problemes ABPr es poden classificar en dues categories o ser una combinació d’ambdues:
● Resoldre un problema que sigui actual. El problema pot simular en certa manera la realitat o pot ser totalment autèntic, de manera que estigui present en el dia a dia de l’alumnat. El realment important és que els alumnes sentin que el problema és proper i els hi resulta interessant.
● Investigar una pregunta oberta. Les preguntes obertes permeten que hi hagi múltiples solucions, d’aquesta manera l’estudiant és capaç d’explorar i redescobrir per si mateix fórmules, conceptes o algoritmes.
Un exemple conegut de ABPr aplicat a matemàtiques és el problema dels quatre 4s. L’objectiu és combinar el nombre quatre 4s de diferents formes per obtenir tantes solucions com sigui possible utilitzant les quatre operacions bàsiques: sumar, restar, multiplicar, dividir i el parèntesi. Un possible exemple seria:
4+4+4 4 = 3.
Aquest problema representa molt bé alguna de les característiques que hem de trobar en un problema ABPr com la possibilitat de tenir més d’una solució o de tenir molta cura a l’hora de proposar solucions amb la informació recollida (Moursund, 2016). A més, ens permet treballar la diversitat, ja que és probable que alguns estudiants obtinguin més respostes que d’altres. Per tal que aquestes persones no s’avorreixin o desanimin a la resta podem desafiar-los a trobar totes les possibles solucions o proposar una variant com la concatenació:
444 4 = 3.
Una vegada entesa la idea general de la metodologia ABPr a través de la definició i l’exemple anterior, podem aprofundir sobre quins són els objectius
d’aquesta metodologia si estudiem el seu origen. Howard S. Barrows fou professor de neurologia de la Universitat de McMaster (Canadà) que s’adonà compte que l'ensenyament de Medicina necessitava un canvi. Barrows va veure que davant una situació real els seus alumnes no tenien l’habilitat de raonar com un professional qualificat. Tot i que la majoria tenien el coneixement necessari per realitzar una anàlisi físic i neurològic, a l’hora d’aplicar-ho a un pacient semblava que aquest coneixement desapareixia (Barrows & Tamblyn, 1980). Simplement, els estudiants es trobaven amb dificultats perquè a classe estudiaven pacients estàndards. El fet de no haver pogut aplicar els coneixements adquirits en situacions complexes o poc habituals bloquejava als estudiants. Durant l’elaboració del programa pilot Barrow va descobrir que una gran part dels estudiants actuaven com a màquines, simplement escrivien un diagnòstic partint de algun símptoma sense tenir en compte altres alternatives.
Tot això va desencadenar l’elaboració del currículum ABPr en el qual en lloc de presentar als estudiants informació descontextualitzada per mitjà de classes magistrals, es proposava als estudiants aprendre els conceptes a través de resoldre problemes clínics autèntics. Mentres els estudiants estaven investigant el problema, s’aprenia a identificar les deficiències del cas real i a trobar els seus propis recursos per tal de solucionar les deficiències. D’aquesta manera, els estudiants no tenien tants bloquejos i els seus raonaments s’assimilaven més als d’un professional qualificat.
No s’ha d’infravalorar la capacitat dels estudiants pensant que aquesta metodologia és massa complicada. El principal problema prové de què estan acostumats a una metodologia mecanicista i quan surten de la seva zona de confort tot pareix més difícil, tal com els hi passava als estudiants del senyor Barrows. L’estudi de Thomas et al. (1993) mostra com fins i tot els estudiants d’educació infantil poden resoldre una àmplia varietat de problemes a través d’estratègies com la modelització (veure4.2.2-Pautes per resoldre problemes).
Per tant, cal esperar que si dotem als estudiants de les eines suficients des de ben infants, a l’arribar a nivells superiors, no presentaran tants de bloquejos davant certes circumstàncies.
És molt important entendre des del principi que la metodologia ABPr no és simplement presentar un “problema” als estudiants i confiar que resoldran el problema a través de cercar informació per Internet i després ells mateixos regularan el coneixement col·laborant entre si. Si fos així, molts professors aconseguirien una jubilació prematura. La realitat és que tots els alumnes novels a l’ABPr requereixen suport per part del professor per desenvolupar les seves capacitats de resolució de problemes i les habilitats d’autoaprenentatge (Savery, 2006).
Per tal que els nostres alumnes desenvolupin l'habilitat de resoldre problemes utilitzarem recursos com la base d’orientació i el “scaffolding” (veure 4.4-Recursos per atendre les dificultats d’aprenentatge). A mesura que l’alumne millori aquests recursos s’aniran retirant de manera progressiva per tal de fomentar l’autonomia.
Ara bé, el terme ABPr des que ha anat agafat popularitat ha adquirit moltes definicions, donat que distintes institucions han adaptat la metodologia perquè s’ajustàs millor a la seva manera d’ensenyar (Stobel & van Barneveld, 2009).
Això és un indicador de què és convenient ser una mica flexibles amb les característiques que identifiquen a la metodologia ABPr, sobretot quan la volem adaptar a una nova matèria com matemàtiques. Però sí que s’ha d’anar alerta amb no diluir massa la definició, ja que s’arribarà un punt on pensarem que utilitzar problemes per tal d’ensenyar conceptes és ABPr1. Per aquesta raó tal com indica Barrow (2002) hi ha un total de quatre característiques claus per aquesta metodologia.
● Problemes poc definits, per tal d’estimular múltiples hipòtesis i distintes solucions. A la vegada aquests problemes estan dissenyats per tenir cert grau de profunditat donant lloc així a noves preguntes i nous camins per investigar. El fet que el problema tingui una estructura poc definida ajuda
1 El canal Unicoos de YouTube ha ajudat a molts alumnes a entendre conceptes de matemàtiques, de física i química a través de resoldre problemes, però això no significa que en
a millorar la capacitat de solucionar problemes, ja que en la vida real molt poques vegades et trobaràs amb problemes ben definits. Per desgràcia, a l’ESO predominen els problemes definits (veure Figura 1).
Figura 1: Problema ben definit. (Font: Jiménez, Albero & Cañas, 2020).
● Els estudiants han d’assumir la responsabilitat del seu propi aprenentatge, en altres paraules, l’aprenentatge es centre en l’estudiant.
Ells mateixos han d’esbrinar què és el que necessiten aprendre i trobar la informació adequada ja sigui a través de llibres, online o consultant amb altres persones. A més, han de ser capaços d’avaluar tant el seu procés d’aprenentatge com el dels seus companys. D’aquesta manera, l’alumnat aconsegueix ser conscient de tot el que ha après.
● Per aconseguir tot això, el rol del professor ha de canviar. El professor adopta un rol de guia que acompanya a l’estudiant en lloc de ser un savi que transmet el seu coneixement al costat de la pissarra. Inicialment, el professor guia a través de preguntes metacognitives als alumnes per tal que identifiquin quines passes han de seguir. De mica en mica, l’estudiant ha d’anar agafant autonomia i l’ajuda del professor s’ha d’anar atenuant.
● Els problemes que es treballen a classe s'han d'adaptar a les dificultats que els estudiants poden trobar durant la seva vida o la seva carrera. Es tracta de desenvolupar habilitats i competències que tindran valor el dia de demà en el món real.
A part de les indicacions de Barrow, altres característiques que podem tenir en compte sobretot a matemàtiques són les que aporten Moursund (2016) i l’Escola Pública Two Rivers (n.d.).
● El problema es pot solucionar de diverses maneres. Facilitant així que l'estudiant construeixi una comprensió més profunda dels conceptes, ja que haurà d'aplicar el coneixement que té en distints contexts. També és molt interessant que els problemes es puguin estendre com el problema anterior del quatre 4s, perquè així cadascú pot arribar al màxim de les seves possibilitats.
● Els problemes són fàcils d’entendre i poden ser entesos per un ampli nombre d’estudiants. A més de tenir múltiples solucions, també pot haver-hi distintes maneres de presentar el problema a través de taules, dibuixos, o materials manipulatius. Així s’ajuda a l’alumne a establir connexions entre diferents idees i veure que totes condueixen cap a la mateixa solució.
● No és fàcil trobar una solució de manera ràpida consultant Internet o un llibre. És a dir, els problemes no han de tenir una solució immediata sinó que han de presentar un repte pels estudiants.
● Combinar la metodologia amb treball cooperatiu és una gran idea.
Compartir idees i distints punts de vista pot ajudar a trobar una de les solucions del problema, a més Savery (2006) afirma que s’ha de fer una avaluació personal i dels companys una vegada finalitzada la unitat curricular per tal de reflexionar sobre els coneixements adquirits i els aspectes que s’han fet bé i malament.
● Una anàlisi final on es discuteix el que s’ha après i quins han estat els conceptes claus és essencial. Seguint aquesta direcció, l’avaluació ha de mesurar el progrés de l’estudiant cap als objectius marcats tant de coneixement com de competències per resoldre problemes.
Un dels principals objectius de l’ABPr és involucrar a l’alumne en un repte per així incentivar la curiositat per les matemàtiques i promoure la responsabilitat del seu propi aprenentatge (Sáenz, 2011). En altres paraules, el que volem aconseguir és que els alumnes pensin i demanin al professor com ho poden fer per resoldre el problema. Guiar als alumnes no serà un procés fàcil, però segur
que serà gratificant una vegada s'hagin assolit aquests objectius, ja que gràcies a tot l’esforç dedicat s’aconseguirà construir un aprenentatge de llarg termini.
El professor que aplica aquesta metodologia ha d’actuar com a guia/
facilitador/acompanyant i no com a un professor que simplement es limita a transmetre el coneixement a través de classes magistrals. A través dels problemes el professor ha d’ajudar als alumnes a identificar la informació important, seleccionar un bon camí per resoldre el problema i reflexionar sobre el que s’ha après.
Una de les habilitats bàsiques del professor consisteix a elaborar les preguntes que facilitaran l'aprenentatge durant el problema. Per altra banda, el professor tindrà com a tasca principal assegurar-se de què l'alumnat progressa cap als objectius establerts i identificar els possibles punts de millora (Sáenz, 2011).
Altres característiques que també hauria de tenir el professor són:
● Estar convençut que l’ABPr és un mètode efectiu per aconseguir un aprenentatge significatiu.
● Estar disposat a ajudar als alumnes i reconèixer que l’alumne és el principal responsable del seu aprenentatge.
● Capacitat per crear problemes amb una dificultat adient que s’adaptin als possibles interessos de l’alumnat i que serveixin per desenvolupar conceptes nous a partir dels coneixements previs.
Podeu trobar més informació sobre el rol del professor i com ajudar als estudiants en el llibre “The Tutorial Process” (Barrows, 1988).
4.2.1-Avantatges i desavantatges
Abans de començar amb un llistat dels avantatges i desavantatges volem recalcar que una de les majors virtuts de l'ABPr és que ensenya a dos nivells al mateix temps. Per una banda ensenya els coneixements necessaris i per altra banda treballa competències com: l'aprenentatge autònom, la resolució de problemes i la comunicació d'idees. Sovint aquesta virtut és utilitzada com a
això no és necessàriament veritat ja que si hi ha una bona planificació i el grup classe treballa adequadament a la llarga es podrà avançar més ràpidament, ja que els alumnes no presentaran tants bloquejos i seran més autònoms.
La resta d’avantatges es poden resumir en els següents punts:
● L'aprenentatge és més significatiu. Amb l’ABPr les típiques preguntes:
“per què he d’aprendre això?” o “saber això em servirà el dia de demà?”
es responen de manera més natural que amb les classes magistrals.
● Augmenta la motivació cap a l’assignatura i el percentatge d'assistència a classe (Vernon, 1995).
● Desenvolupament d’habilitats de pensament i d’aprenentatge. Gràcies a estar submergits en un ambient on constantment els alumnes s’han d’enfrontar a problemes. Els permet adquirir un pensament crític i adonar-se de quines estratègies els hi ajuden en el seu procés d’aprenentatge (Sáenz, 2011).
● L’estudiant és el protagonista, la qual cosa permet un aprenentatge actiu i una millor comprensió a llarg termini dels conceptes treballats (Wood, 2003).
La dificultat més gran es troba en la posada en marxa de la metodologia, ja que no hi ha la cultura suficient per saber si estàs aplicant l’ABPr correctament. Al final necessites entrar dins un cicle d’experimentar, reflexionar i seguir investigant per tal de poder treure tot el suc a aquesta metodologia. La resta de desavantatges es poden resumir en:
● Requereix més temps de preparació que les classes tradicionals, ja que la majoria de vegades necessitaràs adaptar un problema ja conegut a les característiques de l’ABPr per després cercar un material o elaborar una base d’orientació que ajudi a l’alumne a resoldre el problema.
● Resistència per part dels estudiants. Alguns estudiants prefereixen el mètode tradicional perquè no els requereix tant d’esforç, ja que saben que si es memoritzen un parell de fórmules aprovaran l'assignatura.
● Càrrega cognitiva alta. Sweller (2006) va publicar un estudi on mostrava que els alumnes tenien moltes dificultats a l’hora de bregar amb problemes poc definits i que era millor treballar a través d’exemples o problemes solucionats. Per aquesta raó, en el treball introduirem l’ABPr de manera gradual i ens ajudarem de recursos com la base d’orientació.
4.2.2-Pautes per resoldre problemes
Amb l'afany d'aconseguir que els nostres alumnes aconsegueixin adquirir l'habilitat de resoldre problemes, a part de plantejar problemes que siguin atractius hem de dotar a l'alumnat d'un conjunt d'eines que els faciliti el camí que s'ha de recórrer en tot procés de resolució d'un problema. En el present treball ens hem basat en els models de George Pólya (1957) i Miguel de Guzmán (2019).
Els dos autors estan d’acord a dir que hi ha dos fets fonamentals que han de conèixer els alumnes. El primer són les quatre fases que hi ha en tot problema:
Fase 1: Comprensió del problema.
Fase 2: Cercar un pla o estratègia.
Fase 3: Execució del pla o estratègia.
Fase 4: Revisió de la solució obtinguda.
El segon consisteix a dotar a l'alumnat amb un conjunt d'estratègies per tal que puguin enfrontar-se al problema amb garanties.
● Modelització.
● Prova-error.
● Representació de les dades.
● Eliminació.
● Cercar patrons i generalitzar.
● Marxa enrere.
● Simplificar.
A més de tot això, Miguel de Guzmán fa una aportació clau, afegint una fase 0, que consisteix en que l'alumne ha de començar el problema amb una actitud adequada caracteritzada per la tranquil·litat, la curiositat i la disposició a
probabilitats de bloqueig i eventualment abandonament augmenten dràsticament, per tant és de gran importància que com a professors comencem la classe amb actitud positiva i donar si fa falta cinc minuts perquè l'alumnat és tranquil·litzi.
Fase 1: Comprensió del problema.
Molts estudiants sovint es queden bloquejats simplement perquè no entenen el problema. Davant aquesta situació els autors anteriors recomanen que els estudiants responguin a preguntes com:
● Quines dades tens?
● Què et demana el problema?
● Pots fer un dibuix que contingui tota la informació anterior?
De manera situacional i en cas que les anteriors preguntes no siguin suficients es poden afegir preguntes com:
● Tenim suficient informació per trobar el problema? Quina dada ens falta?
Podem trobar aquesta dada a partir de la informació que ens dóna l’enunciat?
● Tenen les dades alguna relació entre si?
● Entens totes les paraules que hi ha a l’enunciat?
El professor haurà de seleccionar quines preguntes són més adequades per cada problema i l’alumne s’haurà d’esforçar a aconseguir aquest primer objectiu (contestar les preguntes).
Es pot donar el cas que l'alumne necessiti una mica més d'ajuda i que les preguntes anteriors no siguin suficients. En aquest cas, hem de detectar el que està causant confusió a l'alumne i posar-li un exemple més simple per tal que ell mateix pugui raonar.
Fase 2: Cercar un pla o estratègia.
Aquesta segona fase és la més difícil per la majoria d’estudiants ja que no hi ha unes normes establertes per escollir una estratègia. Tal com diu Pólya “el saber trobar l’estratègia apropiada, és una habilitat que s’adquireix a base de resoldre
suau, el fet d’aconseguir resoldre un problema farà que de cada vegada la fase 2 sigui més senzilla.
A més, per un mateix problema hi pot haver distintes estratègies possibles.
Forma part del procés d’aprenentatge de l’alumne escollir quina estratègia s’adapta millor a la naturalesa del problema.
Pólya destaca que ensenyar quina és l’estratègia a seguir no ajuda a l’estudiant; és el mateix estudiant qui ha de desenvolupar el seu propi pla a partir de la seva experiència o en el cas de què necessiti ajuda, a través de preguntes. Aquestes preguntes poden començar amb una visió general del problema i acabar amb una visió més particular (“How to solve it”, 2021).
Fase 3: Execució del pla o estratègia.
La fase 3 consisteix en aplicar les estratègies que hem seleccionat com adequades. En general, es necessita paciència i persistència, ja que és bastant habitual el fet de trobar alguna dificultat en el camí.
Tal com indica Guzmán en el seu llibre és important tenir en compte els següents suggeriments:
● Executar les estratègies seleccionades una o una.
● No desanimar-se davant la primera dificultat, però tampoc capficar-se si les coses es compliquen molt.
● Reflexionar sobre la validesa de cada passa.
Fase 4: Revisió de la solució obtinguda.
Sense cap dubte, és la fase més oblidada, ja que a més de comprovar que no hi hagi cap error, també es reflexiona sobre:
● L’existència d’un camí més simple per resoldre el problema.
● Pensar en les idees que han funcionat i les que no han funcionat.
● Reflexionar sobre en quins altres problemes podríem aplicar la mateixa estratègia.
Del conjunt d’estratègies presentades anteriorment, les més útils i que es poden aplicar a una major varietat de problemes són les anomenades estratègies bàsiques. Dins les estratègies bàsiques trobem: la modelització, la prova-error i finalment l’organització d’informació.
Figura 2: Pautes per resoldre problemes. (Font: Proyecto Newton).
Modelització:
Amb l’estratègia de modelització volem convertir tota la informació del problema a una estructura matemàtica manipulable. L’ús més estès d’aquesta estratègia la trobem dins el món de la computació on podem trobar des de models que prediuen la propagació d’un virus fins a models que prediuen el temps que farà els pròxims dies.
Per aplicar aquesta estratègia dins el món de l’educació secundària utilitzarem majoritàriament models amb material manipulatiu, tot i que també es poden utilitzar recursos digitals com Geogebra i Desmos. A partir d’aquest material aconseguirem desenvolupar la intuïció matemàtica i reproduir les condicions del problema per obtenir la solució. Un exemple d’aquesta estratègia la podem veure en el següent problema:
Figura 3: Problema de modelització. (Font: Proyecto Newton).
Per tal de solucionar el problema a través de la modelització podríem utilitzar un dibuix, però en aquesta ocasió utilitzarem un material manipulable que representen les caixes i els gots (dades de l’enunciat, Figura 2). Els policubs representaran als gots i les fulles de color representaran a les caixes, concretament les fulles verdes i taronges representen caixes de tres i cinc gots respectivament.
Una vegada l’alumne hagi arribat a la fase 3, començarà a executar l’estratègia a través de la manipulació del material fins a obtenir la solució. Gràcies al material l’alumne pot veure clarament que la combinació de la Figura 3a és incorrecte ja que hi ha un got que no té cap caixa. Reagrupant els gots que queden arribem a la conclusió que la combinació correcta és la que veiem a la Figura 3b.
Figura 4: (a) Incorrecte: 10 capses de cinc gots i 2 capses de tres gots. (b) Correcte: 9 capses de cinc gots i 4 capses de tres gots. (Font: Proyecto Newton).
Prova-error:
L'estratègia prova-error consisteix bàsicament a anar provant distintes hipòtesis fins a obtenir la solució correcta. Normalment utilitzarem aquesta estratègia quan estem davant un problema i no sabem de quin fil hem d'estirar, sigui perquè falta informació o perquè no tenim la intuïció matemàtica suficient per poder trobar el camí a seguir. Gràcies a fer successives proves podrem trobar la solució que satisfà les condicions del problema.
És una estratègia que és gairebé innata en certs estudiants, molts d’ells encaixen dins el perfil de l’alumnat treballador. Però, tenen l’inconvenient que els hi costa reflexionar i/o organitzar la informació. Com a conseqüència, han de fer més intents dels que realment són necessaris per arribar a solució.
La manera de solucionar l’inconvenient anterior consisteix a habituar a l’alumnat a dissenyar una taula simple on cada fila sigui un prova i les columnes descriuen la informació de l’enunciat. Si apliquem aquesta estratègia per resoldre el problema de la Figura 2a obtenim:
nº capses (5 gots) nº capses (3 gots) nº gots
Prova 1 12 0 60
Prova 2 11 1 58
Prova 3 10 2 56
Prova 4 9 3 54
Prova 5 9 4 57
Taula 1: Estratègia prova-error.
L'aspecte positiu de l'estratègia de prova-error és que cada hipòtesi indica si estàs apropant-te o allunyant-te de la solució, per tant t'ajuda a establir una millor hipòtesi per la següent prova. El lector perspicaç haurà vist que podem utilitzar més d'una estratègia a l'hora d'enfrontar-nos a un problema, fet que pot ser beneficiós per complementar els aspectes positius de cada estratègia.
Organització de la informació:
De les estratègies bàsiques és la que ens ajuda a solucionar la major quantitat de problemes. Per tal d’aplicar aquesta estratègia el que farem serà recollir tota la informació del problema i expressar-la de la manera més concisa possible en forma de diagrama. En aquesta ocasió un diagrama pot ser: una gràfica, un diagrama d’arbre, un codificat algebraic o unes taules com la taula de contingència entre d’altres.
Una vegada hem escollit el diagrama que utilitzarem l’anirem completant amb la informació que ens dóna el problema. Un exemple on s'utilitza aquesta estratègia és en el bloc de probabilitat.
Problema probabilitat:
S’han realitzat 2 tractaments experimentals per curar una malaltia sobre una mostra de 1500 persones. De les 900 persones que han realitzat el tractament amb l’empresa X hi ha 550 persones que no han estat curades.
En canvi, amb el tractament de l’empresa Y hi ha 200 persones que s’han curat.
Calcula la probabilitat que no s’hagi curat.
Curat No curat
Empresa X 350 550 900
Empresa Y 200 400 600
550 950 1500
Taula 2: Estratègia organització de la informació.
Com podem veure una vegada anotada la informació que ens aporta la taula és molt fàcil trobar la informació restant i conseqüentment solucionar el problema.
Al final es pot veure fàcilment que cada un d’aquests problemes es pot resoldre aplicant qualsevol d’aquestes estratègies bàsiques. Serà el propi alumne qui a través de la seva experiència escollirà l’estratègia que més li convingui en cada situació.
Amb les estratègies anteriors es podran resoldre gairebé tots els problemes que trobem dins l’educació secundària. Però en algunes circumstàncies hi ha problemes on gairebé sempre s’utilitzen una estratègia concreta. Les estratègies que s’utilitzen per resoldre un tipus de problema en concret les anomenem estratègies específiques.
Eliminació:
És una estratègia utilitzada majoritàriament en problemes de lògica. Moltes vegades utilitzarem una taula per tal d’organitzar la informació i així poder eliminar les solucions incorrectes.
Problema de lògica:
Na Maria, na Cristina, na Maite i n’Aina practiquen un únic esport: curling, snowboard, hockey i esquí.
- Na Maite i na Maria no fan snowboard.
- Na Maria no pràctica ni hockey ni esquí.
- Na Maite i na Cistina no fan esquí
Cercar patrons i generalitzar:
Aquesta estratègia s’aplica a problemes on hi ha una estructura que es repeteix, l’objectiu de l’aprenent és trobar el patró. Una vegada trobat el patró pot ser necessari saber generalitzar aquest patró de forma matemàtica per tal de calcular directament la solució.
Un exemple bonic d'aquesta estratègia el trobem en els nombres triangulars (Figura 4). Com podem veure el nombre de boles blaves va creixent: 1, 3, 6, 10, etc. Si ens demanen que trobem els següents dos nombres de la sèrie anterior bastarà trobar el patró. Però en canvi, si ens demanen que trobem quantes boles blaves tindria el triangle nº 100 convindrà trobar una fórmula que generalitzi el patró.
Figura 5: Nombres triangulars.
(Font: Bricofanàtics).
Marxa enrere:
La utilitzem en problemes on a partir de la situació final hem d’anar retrocedint fins a arribar a la situació inicial, seguint les condicions que ha establit el problema.
Problema:
La nostra calculadora només permet fer dues operacions multiplicar per 2 o restar 2. Actualment la calculadora té escrit el nombre 15. Sabries arribar al nombre 200 amb el mínim nombre d’operacions?
Per acabar, penso que una estratègia que sempre s’ha de tenir present sobretot davant els problemes més difícils, és l’estratègia de simplificació.
Aquesta estratègia no et resoldrà el problema, però sí que et pot donar la idea feliç que estaves cercant. L’estratègia de simplificació pertany al conjunt d’estratègies auxiliars, ja que són estratègies que no resolen el problema però sí que et guien cap a la solució.
Hi ha moltes maneres de simplificar un problema, però en general hi ha dues tècniques principals: separar el problema en subproblemes més simples i particularitzar.
Problema Combinatòria:
S’ha obtingut una planta heterozigota per 6 loci independents (AaBbCcDdEeFf). Quants de genotips distints es poden formar que siguin heterozigots per dos loci?
Tot i que aquesta estratègia no estarà present en les activitats de la proposta didàctica penso que és molt important destacar-la ja que com a professors la podem utilitzar moltes vegades per a ajudar als alumnes que tenen dificultats a l’hora de sortir d’un bloqueig.
4.3-Comparació amb altres metodologies
Una vegada coneixem quines són les característiques de la metodologia ABPr.
Realitzarem una comparació explicant quines són les diferències entre l’ABPr i altres metodologies per tal d’evitar confusions.
4.3.1-Aprenentatge basat en projectes (ABP)
Quan qualsevol persona vol documentar-se sobre la metodologia ABPr és molt senzill confondre l’aprenentatge basat en problemes (ABPr) amb l’aprenentatge basat en projectes (ABP). La realitat és que les dues metodologies tenen molts punts en comú fins i tot es pot considerar l’ABPr com un subtipus d’ABP. Tot i així, és necessari entendre com podem diferenciar ambdues metodologies. La manera més fàcil de diferenciar les dues metodologies és mirant el producte final.
Per una banda quan s’aplica ABP els estudiants han de realitzar un producte final. Un possible exemple seria dissenyar un estadi que tingui usos múltiples:
pista de voley, bàsquet, etc i a més pugui servir com a lloc per realitzar concerts. Per realitzar aquest projecte els estudiants hauran d’aplicar els coneixements de geometria com l’àrea, volum, perímetre i saber treballar amb escales ja que al final hauran d’entregar una maqueta a mà o un disseny digital utilitzant Google SketchUp o una altra eina (Staff, 2020). Depenent del projecte el producte final variarà, però el producte final sempre serà un objecte/model (com el cas anterior), un article o una presentació oral.
Per altra banda en l'ABPr és comença presentat un problema o pregunta als estudiants. La pregunta ha de tenir una certa profunditat i ha de servir per tal que els alumnes puguin aplicar el que ja saben i construir nou coneixement.
Durant la classe els alumnes hauran d'analitzar la informació, aportar idees i possibles solucions. Finalment, com que els problemes poden ser oberts, cap la possibilitat que hi hagi diverses respostes correctes, per tant, es posaran en
comú les distintes solucions i s'analitzaran de manera col·lectiva. Un possible problema seria:
“Donat que un tren parteix de Manacor i arriba a Son Servera. I un segon tren parteix de Cala Millor i arriba a Petra. Com podem estar segurs que els dos trens no es xocaran?”
Ja des de l'inici cal analitzar molt bé la informació, perquè el problema et dóna molta llibertat i cada interpretació pot conduir a respostes distintes. La idea del problema és treballar sistemes d’equacions per això ens haurem de posar d’acord per establir sobre un pla de coordenades on està cada ciutat. Alguns alumnes poden pensar que les línies que segueixen el tren no tenen perquè ser rectes i per tant seria una nova solució al problema. De la mateixa manera el problema es pot expandir donant una velocitat a cada tren i així podem calcular el moment en què impactaran. Durant tot aquest procés el professor tindrà un paper molt important que serà el saber conduir les propostes dels alumnes cap als conceptes matemàtics que volem treballar. Finalment amb Google Maps podem mirar si realment les dues línies de tren es tocarien.
Entre les similituds més destacables trobem que les dues metodologies aposten perquè l’alumne sigui el protagonista. Per aquesta raó, per tal que aquestes propostes tinguin èxit és fonamental que tant la manera de plantejar el tema com la seva elecció captin l'interès de l’alumnat. La motivació és fonamental (Gende, 2019) és per això que en mesura del possible ambdues cerquen connectar l’aprenentatge amb la realitat que envolta a l’alumnat.
La metodologia de treball també és molt similar perquè ambdues presenten un problema o un conjunt de problemes oberts. D'aquesta manera, els estudiants han d'analitzar, extreure informació del problema per després poder cercar informació rellevant al problema tal com succeeix en molts de problemes dins la vida adulta. D'aquesta manera, ambdues metodologies donen un mateix pes a l'aprenentatge de continguts i a l'aprenentatge de competències.
Afegida a la diferència anterior també podem distingir l’ABP per tenir una duració més llarga que l’ABPr. L’ABPr sol incloure un únic problema i el professor condueix la classe cap als punts a treballar, la seva duració pot variar entre 1-4 sessions. En canvi, en l’ABP els alumnes treballen en un projecte i per tant tenen un marge de temps més llarg que va des d’unes poques setmanes fins a 2-3 mesos, depenent del tipus de projecte. El fet que els projectes tinguin una duració més llarga dóna peu a treballar diverses matèries, però aquest fet no és exclusiu de l’ABP, ja que si hi ha temps suficient dins l’ABPr també es poden treballar contingut d’altres matèries, com a l’exemple dels trens on es veuen continguts de Física i Química.
4.3.2-Resolució de problemes
Una altra pregunta que pot sorgir és: quina diferència hi ha entre ABPr i simplement resoldre problemes? La diferència és realment molt subtil, però podríem definir la resolució de problemes com un procés on l'alumne ha de ser capaç de comprendre el problema i aplicar una de les estratègies que hem explicat anteriorment.
En canvi, l’ABPr és una mica més ric ja que a través d’un problema s'aconsegueix que l’alumne aprengui un concepte. A part d’això, també podem tenir en compte tots els factors que envolten l’ABPr com: el paper del professor i les característiques que solen tenir els problemes de la metodologia ABPr. Les característiques del problema poden ser: té diverses maneres de solucionar-se, es pot reflexionar sobre el problema i/o treure noves preguntes i el problema està poc definit. Aquestes característiques no són imprescindibles, el més important és que el problema permeti adquirir un ensenyament abans d’aconseguir resoldre el problema, però si a més es compleixen les característiques esmentades podríem dir que serà un problema d’ABPr més pur.
Aprofitaré aquest apartat per també comentar la diferència entre problema i exercici. Schoenfeld (1983) va indicar que un problema amb sentit matemàtic
incita a la recerca, ja que es desconeix la solució a priori. En canvi, un exercici pot ser resolt de manera rutinària a través d'algoritmes més o menys complicats però automatitzats. Tal com indica Pólya en tot problema hi ha d'haver una mica de descobriment. Cal puntualitzar que la definició de problema es relativitza segons a la persona que vagi dirigida, ja que el que pot ser una activitat rutinària per una persona pot resultar ser un odissea per una altra persona.
4.3.3-Metodologia tradicional
En la metodologia tradicional es comença la classe fent una exposició dels conceptes a treballar, seguit d'uns quants exemples resolts. Una vegada el professor ha acabat d'explicar, es presenta als estudiants un conjunt de problemes o exercicis que s'han de resoldre amb l'inconvenient que segurament només quedaran 10 minuts de classe i ja no tinguin ganes d'enfrontar-se al problema.
Amb la metodologia tradicional s'assumeix que els alumnes aprenen matemàtiques reforçant els coneixements a partir de la repetició individual dels processos presentats pel professor. Per tant la feina de l'alumne consisteix a repetir els procediments/algoritmes que ha explicat el professor i conèixer quins algoritmes utilitzar depenent de la temàtica del problema.
Finalment en algunes classes tradicionals treballen quasi exclusivament amb exercicis, deixant els veritables problemes en un racó. D’aquesta manera, l’alumne aprendrà a fer un tipus concret d’exercici i no adquirirà cap habilitat relacionada amb la resolució de problemes, ja que una vegada s’enfronti a un exercici una mica diferent es quedarà bloquejat i no sabrà com solucionar-ho.
En la següent taula trobareu més diferències entre les dues metodologies.
Aprenentatge tradicional ABPr El professor té un rol d’expert. El professor té un rol
d’acompanyador.
El professor organitza les classes com si fossin exposicions on ha de presentar un concepte.
El professor dissenya problemes reals per desenvolupar habilitats que els alumnes poden necessitar el dia de demà.
Els alumnes són receptors passius
de la informació. Els alumnes adquireixen informació a mesura que van treballant i demanant dubtes.
Els alumnes memoritzen i cerquen la resposta correcta per tal d’aprovar l’examen.
Els alumnes aprenen estratègies i reflexionen sobre les distintes maneres per arribar a la resposta correcta.
Taula 3: Comparació entre aprenentatge tradicional i ABPr.
4.4-Recursos per atendre les dificultats d’aprenentatge
Aconseguir que tothom aprengui a disfrutar de resoldre problemes, no és un camí fàcil i de ben segur no ho podríem aconseguir sense la utilització dels següents recursos. En aquest apartat expliquem quatre dels recursos que hem utilitzat durant la proposta per tal que els alumnes poguessin sortir de situacions de bloqueig i aprendre conceptes de maneres diferents.
4.4.1-Base d’orientació
Sanmartí (2010) defineix la base d’orientació com un instrument que resumeix de manera gràfica i ordenada les accions a realitzar. Per això el professor ha de desgranar molt bé les etapes o els conceptes que es volen treballar i planificar les passes que els alumnes han d’aconseguir resoldre amb èxit per tal d’aconseguir solucionar el problema. Per tant, podem entendre la base d’orientació com una seqüència resumida i ordenada d’accions que han estat pensades curosament per aconseguir resoldre un problema o tasca de manera satisfactòria (Villalonga i Deulofeu, 2015).
Tot i així no hem d’entendre la base d’orientació com un simple llistat d’instruccions a seguir. És més, donat que utilitzarem la base d’orientació per ajudar als alumnes a resoldre problemes integrarem en ella les quatre fases de resolució de problemes (veure 4.2.2-Pautes per resoldre problemes) i desglossarem cada una d’aquestes fases en un conjunt de preguntes per ajudar a fer el problema.
Abans de començar a utilitzar la base d’orientació el docent l’ha de presentar i llegir conjuntament per tal que els alumnes es familiaritzin amb aquest instrument. Una vegada s’ha introduït, els alumnes s’han d’enfrontar al problema per si mateixos seguint les passes indicades a la base d’orientació.
És important que s’utilitzi un vocabulari simple i comprensible per l’alumne.
Paraules com estratègia o algoritme solen ser desconegudes pels estudiants així que s’haurien de presentar abans de començar el problema.
Si heu realitzat alguna classe de problemes haureu comprovat que als alumnes els costa molt expressa els seus pensaments per tant, un requisit que ha de tenir la base d’orientació és que ajudi a verbalitzar. D’aquesta manera, s’afavoreix el procés d’aprenentatge ja que l’estudiant estarà obligat a reflexionar i comunicar el que sap d’una manera comprensible. Gràcies a aquesta verbalització l’alumne pot detectar buits de coneixement i prevenir errades.
Ara bé, tal com escriuen Villalonga i Deulofeu (2015) hi ha alumnes que es veuen beneficiats amb aquest instrument i altres que els hi crea confusió.
Alguns alumnes estan a favor ja que els ajuda a organitzar-se, saber per on han de començar i comprovant si han fet totes les passes o no poden identificar possibles errors. Altres alumnes ja tenen dins el seu cap una manera de fer els problemes i el fet de presentar-lis una base d'orientació els confon perquè hi ha més passes del que realment ells necessiten per resoldre el problema. Aquest fet es dóna tant amb alumnes que tenen un procés resolutiu adequat com amb alumnes que es pensen que tenen un procés resolutiu bo.
Per acabar, dir que no és fàcil dissenyar una bona base d'orientació i que és un procés que necessitarà de successives millores per adaptar-les al grup classe.
Una vegada s'ha implementat dins la classe és bona idea comentar amb els alumnes quines modificacions farien ells per millorar la base d'orientació. A través d'aquestes idees i l'anàlisi de les respostes que hauran donat en el problema es podrà redactar una nova versió de la base d'orientació.
4.4.2-Scaffolding
Una de les principals dificultats que troba qualsevol estudiant és que d’un dia per l’altre els problemes han passat de ser fàcil a difícils. Hi ha dues raons principals que originen aquest conflicte:
1. Els coneixements del principi del tema no s’han assolit amb suficient profunditat.
2. Els problemes que planteja el professor no estan en línia amb el que s’ha vist a classe.
La dificultat dels problemes ha d’augmentar progressivament de manera que l’aprenentatge estigui dividit en petits peces d’un trencaclosques. Cada problema col·locarà una peça, i només una vegada s’han realitzat tots els problemes es podrà veure el trencaclosques complet.
Si aquestes dificultats estan presents en les classes magistrals es poden agreujar si enfoquem la classe amb la metodologia ABPr ja que l’explicació que fa el docent és més breu que en una classe magistral. Per aquesta raó el docent ha de ser capaç de dissenyar un conjunt de passes per tal d’ajudar als alumnes a aplicar els seus coneixements i desenvolupar-los per aconseguir resoldre un problema que en un principi no haurien pogut resoldre per si mateixos.
L’ABPr sovint es relaciona amb la idea d’ajudar als individus a navegar per la Zona de Desenvolupament Pròxim de Vygotsky (Choo, 2012). Aquesta zona és la distància entre el nivell de Desenvolupament Real (l’alumne és capaç de
realitzar-lo per si mateix) i el nivell de Desenvolupament Potencial (l’alumne és capaç de realitzar-lo si té ajuda). El terme bastida o “scaffolding” en anglès és la metàfora utilitzada per descriure el procés de proporcionar a l’alumnat el conjunt de bastides suficients perquè aconsegueixi adquirir els coneixements que el professor s’ha proposat al principi de l’activitat. Una vegada aconsegueix l’objectiu les bastides són retirades de forma progressiva per tal de realitzar les tasques de manera autònoma (UNIR. 2020).
Tot i que les bastides són un recurs útil, hem de tenir present que els alumnes poden equivocar-se donat que no tenen suficient consciència meta-cognitiva per aplicar les bastides estratègicament (Simons i Klein, 2007). Land i Hannafin (1997) comenten que en alguns casos els estudiants interpreten incorrectament la informació, encara que tinguin bastides com eines digitals o material imprès.
Fet que obre la porta a més investigació sobre quin tipus de bastides poden ser més útils en l’ABPr.
Hi ha dos tipus de bastides en l’ABPr (Choo, 2012):
● Bastides suaus: Es refereix a les accions del professor durant la classe davant les necessitats dels alumnes.
● Bastides dures: Les bastides suaus depenen més de la interacció humana, en canvi les bastides dures són estructures més rígides que es poden anticipar si coneixem les dificultats que poden tenir els alumnes davant el problema que els hem assignat.
Dins les bastides suaus trobem:
● Influència del professor: Hi ha tres característiques que ajuden a que el professor aconsegueixi l’interès de l’estudiant. El professor ha de tenir un alt nivell de coneixement sobre el tema, conèixer molt bé el nivell de cada alumne i saber explicar els conceptes de manera que els estudiants ho puguin entendre fàcilment. Chng et al. (2011) afirma que els professsors que coneixen millor el nivell dels seus alumnes
aconsegueixen millors resultats que els professors que tenen una puntuació més alta en coneixements sobre el tema.
● Aprenentatge col·laboratiu en petit grup: Al formar un petit grup els alumnes poden compartir el que saben a fi de reduir la complexitat del problema.
● Preguntes: Consisteix a utilitzar preguntes que relacionin el problema amb conceptes previs que l’alumne ja té assolits.
Dins les bastides dures trobem:
● Fitxes: El propòsit de les fitxes és estimular a l’estudiant a pensar profundament sobre els objectius i conceptes que volem assolir.
● Tecnologia: A través d’applets, animacions o simulacions per ordinador es poden ensenyar conceptes concrets. La tecnologia és un recurs que sempre s’ha de tenir present ja que permet que els alumnes entenguin un concepte a través de medis diferents.
● Altres bastides: Hi ha altres bastides que poden ajudar a l’aprenentatge com vídeos o lectures que es podrien donar abans o després de la lliçó.
Així com exercicis per tal de donar l’oportunitat de revisar si han après els conceptes treballats.
Les fitxes de la sessió 2 i 3 (veure annex 2) estan dissenyades per dirigir l’atenció de l'estudiant cap a una propietat dels triangles que després serà rellevant per deduir l’àrea de figures com el triangle, el rombe i el polígon regular.
4.4.3-Material manipulatiu
La utilització de materials manipulatius és un camp molt estudiant en didàctica de les matemàtiques ja que tal com ens indica Alsina i Planas (2008) la manipulació no només és una manera de fer l’aprenentatge més divertit, sinó una manera més eficaç d’adquirir conceptes.
Tot i que les nostres classes estaran enfocades a pre-adolescents/adolescents veig molt adient recordar una frase de Maria Montessori: “El nen té la intel·ligència a les mans”. És a dir, tot el que es pot palpar a nivell sensorial arriba molt millor al cervell. Per tant, l’experimentació té un paper fonamental en el procés d’aprenentatge.
En la proposta didàctica s'han utilitzat materials manipulatius amb la finalitat d'estimular la intuïció, consolidar conceptes geomètrics i per descomptat passar una estona agradable fent matemàtiques. La quantitat de recursos manipulatius que es poden utilitzar en el bloc de geometria és enorme i és una pena no utilitzar aquests recursos, ja que de ben segur els alumnes oblidaran una classe magistral, però en canvi recordaran per sempre una classe amb un material.
Per acabar, Canals (1992) citat per Alsina (2008) comenta:
Si sabem proposar l'experimentació de forma adequada a cada edat, i a partir d’aquí fomentar el diàleg i les interaccions necessàries, el material, no serà un obstacle que ens faci perdre temps o dificulti l’abstracció, sinó que la facilitarà ja que fomentarà el descobriment i farà possible un aprenentatge sòlid i significatiu.
Tal com comenta Miguens (2016) el que realment és important no és el material en si, sinó l'estímul mental que té l’alumne quan té la possibilitat de tenir el material en les seves mans.
4.4.4-TIC
Les tecnologies de la informació (TIC) són tots els instruments que ens permeten processar i compartir informació a través de dispositius electrònics.
Avui en dia la tecnologia està present en tots els instants de la nostra vida. El creixement de la tecnologia ha estat exponencial en les darreres dècades i tot fa pensar que serà un sector rellevant en el futur.
Tant els materials manipulatius com les eines tecnològiques són recursos que poden ajudar a una millor comprensió de la geometria i altres blocs (Aubanell , 2015). Per tant, és convenient utilitzar aquestes eines tecnològiques no tan sols
per reduir considerablement la quantitat de mecanització que hi ha present en les classes tradicionals, sinó per presentar el temari d’una manera diferent i captar l'interès del major percentatge d’alumnes possible.
Entre els avantatges principals de les TIC hi ha:
● La personalització. Cada alumne té el seu propi ritme d’aprenentatge, amb les TIC és més fàcil automatitzar i adaptar les activitats per tal que alumnes de distint nivell puguin desenvolupar les seves habilitats.
● Accessibilitat. Avui en dia pots consultar la informació necessària en poc temps gràcies a tenir una connexió a Internet.
● Responsabilitat. Cada alumne és protagonista del seu propi aprenentatge. Pot consultar si la resposta és correcte a través d’aquestes eines, tot i que moltes vegades necessitarà l’ajuda del professor per entendre el perquè la seva solució no és correcte.
Per acabar, mencionar que la tecnologia igual que les matemàtiques estan per fer-nos la vida més fàcil. Per tant, és imprescindible que a classe es faci un bon ús i no sigui una simple eina de suport educatiu, sinó que juntament amb els alumnes l'eina TIC que utilitzem sigui el protagonista de la classe.
5-Proposta didàctica
Un cop hem investigat que és l’ABPr, les característiques que té i quins recursos utilitzar per tal que els alumnes puguin treure el màxim benefici d’aquesta metodologia, s’ha desenvolupat aquesta proposta didàctica.
5.1-Continguts
D’acord amb el Decret 34/2015 de 15 de maig, el qual estableix el currículum de l’Educació Secundària Obligatòria a seguir dins les Illes Balears, es divideix el temari de matemàtiques en 5 blocs amb l'avantatge que 1r i 2n d’ESO comparteixen el mateix currículum. Per tant resideix a elecció del centre els
En el nostre centre es va establir que a 1r d’ESO s’impartissin els continguts relacionats amb les propietats de les figures planes, càlcul d’angles, perpendicularitat, etc. En definitiva, els set primers punts que podem veure a la Figura 6. Destinant la resta de continguts a 2n d’ESO, en aquest cas abans de realitzar les activitats d’aquesta proposta didàctica els alumnes varen veure els continguts relacionats amb els triangles i els criteris de semblança.
En la Figura 6 s’han marcat tots els continguts que es treballaran en aquesta proposta didàctica. A més dels continguts del bloc 3 també es treballaran continguts del bloc 1 com:
● Planificació del procés de resolució de problemes.
● Estratègies i procediments posats en pràctica.
● Reflexió sobre els resultats.
● Pràctica dels processos de matematització i modelització.
Figura 6: Continguts del bloc de geometria. (Font: Currículum Illes Balears).
5.2-Competències
De les set competències bàsiques que apareixen a l’Ordre ECD/65/2015, de 21 de gener, en aquesta proposta didàctica ens hem centrat a destacar aquestes 4 competències:
● CPAA:Aprendre a aprendre
● CMCT: Competència matemàtica i competències bàsiques en ciència i tecnologia.
● CD:Competència digital.
● SIEE:Sentit de la iniciativa i esperit emprenedor.
A continuació s’estableixen els acompliments que s’han associat a cada competència.
Aprendre a aprendre:
Amb un apartat dedicat a pautes per resoldre problemes és evident que aquest treball està sobretot enfocat a la competència d'aprendre a aprendre. Aquesta competència inclou el metacognicisme i l’autoconfiança, ja que no només volem que els alumnes adquireixin els conceptes sinó que siguin capaços de decidir quin camí els ajuda a aprendre més (la tecnologia, fer preguntes, anar provant distintes estratègies).
Al llarg de les activitats presentarem atenció a l’evolució que han tingut els alumnes amb els següents acompliments:
● AA 1.2: És conscient de les errades i intenta esmentar-les.
● AA 1.11: És capaç de fer-se preguntes.
● AA 2.3: Fa servir estratègies d’aprenentatge diferents.
Competència matemàtica i competències bàsiques en ciència i tecnologia:
La competència matemàtica treballa el desenvolupament del pensament científic, per tal d’entendre certs aspectes de la vida quotidiana aplicant el raonament. Els acompliments que s’han escollit en aquesta ocasió són:
● CMCT 1.14: Analitza i comprèn l’enunciat dels problemes (dades, relacions entre les dades, context del problema).
● CMCT 1.17: Connecta conceptes matemàtics entre ells així com amb altres àrees i interessos personals.
Competència digital:
Per tal d’adquirir aquesta competència la persona ha de ser capaç d’utilitzar i/o adaptar-se a distintes aplicacions informàtiques, així com saber cercar informació i extreure el coneixement rellevant.
Els alumnes treballaran amb dues eines tecnològiques diferents (Geogebra i Desmos) per tal d’avaluar aquesta competència es tindrà en compte l’acompliment següent:
● CD 5.4:És capaç de trobar solucions adequades per resoldre problemes tècnics (en programari o maquinari) o de demanar ajuda quan no pot solucionar el problema.
Sentit de la iniciativa i esperit emprenedor:
Per assolir aquesta competència es requereixen d'habilitats com: la presa de decisions, la capacitat d'anàlisis i la capacitat de planificació. En aquesta ocasió ens centrarem únicament a analitzar si els alumnes tenen autonomia a través de l'acompliment:
● SIEE 1.14:Genera possibles solucions als problemes plantejats.
5.3-Objectius
Els objectius que ens plantegem durant la proposta didàctica són definits pels continguts i criteris d'avaluació del currículum de les Illes Balears així com les competències que volem treballar al llarg d'aquestes sis activitats.
En el següent llistat trobareu un resum dels objectius que s’han establert en
O1: Aprendre el significat de les fórmules de l’àrea del rectangle i del triangle.
O2: Calcular el perímetre i l’àrea d’un polígon i d’un cercle.
O3: Saber calcular l’àrea de certes figures sense necessitat d’una fórmula.
O4: Introduir les estratègies bàsiques de resolució de problemes a través de la modelització i l’organització d’informació en taules.
O5: Utilitzar eines tecnològiques per tal d’introduir conceptes de geometria.
O6: Resoldre problemes de la realitat utilitzant els coneixements que s’han après sobre el càlcul d’àrees, perímetres i volums.
O7: Interpretar i reflexionar sobre els resultats obtinguts.
5.4-Metodologia
La proposta didàctica consta de 12 sessions en les quals es treballaran les següents activitats:
Activitat 1: Àrea i perímetre amb policubs. Sessió 1.
Activitat 2: Construïm un tangram. Sessió 2 i 3.
Activitat 3: Galetes d’arròs. Sessió 4, 5 i 6.
Activitat 4: El problema del galliner. Sessió 7 i 8.
Activitat 5: Menjar crispetes. Sessió 9 i 10.
Activitat 6: Patrons. Sessió 11 i 12.
Abans de descriure les activitats i els recursos que utilitzarem durant la proposta didàctica desenvoluparem la metodologia utilitzada.
Com hem comentat abans, les activitats anteriors s’han realitzat després d’una unitat didàctica dedicada a proporcionalitat i triangles. En ella s’han treballat conceptes com la semblança de triangles, proporcionalitat, angles, el Teorema de Tales i el Teorema de Pitàgores.
Per tal de canviar un poc la dinàmica i no saturar-los amb triangles, dediquem la primera sessió a aprendre els conceptes d'àrea i perímetre amb l'ajuda dels
l'àrea de triangle d'una manera intuïtiva gràcies a la construcció del Tangram.
La idea d'aquesta segona sessió és aprendre quin és el significat de l'àrea del triangle i familiaritzar als alumnes amb la idea que una àrea complicada es pot descompondre en àrees simples a través de jugar amb el Tangram.
La gran majoria de sessions estan pensades sota les afirmacions següents.
● S’aprenen més matemàtiques treballant activament sobre un problema que escoltant passivament al professor. Per tant, dedicarem uns deu minuts a presentar l’activitat. Una vegada presentada l’activitat demanarem a un alumne a l’atzar que expliqui l’activitat. Així aconseguirem veure si han entès l’activitat i s’habituaran a estar atents a la presentació de l’activitat ja que si no els hauran d’explicar l’activitat.
● Les fitxes que hem entregat han de servir com a referència per a futurs problemes. De poc serveix presentar un concepte de manera innovadora, si després no utilitzem el que hem après en el futur. Per tant, s'intentarà en mesura del possible que els coneixements adquirits en una sessió s’utilitzin en les següents sessions. Quan un alumne no recordi una fórmula, en lloc de dir-li la fórmula li indicarem a quina fitxa ho ha de cercar. L’objectiu és que s'acostumi a cercar la informació i que de mica en mica consolidin el que han après, sense haver de memoritzar totes les fórmules el dia abans de l’examen.
Totes les activitats estan pensades perquè es puguin realitzar de manera individual. Però es permet als alumnes xerrar entre ells i compartir idees per tal de potenciar el treball cooperatiu. Depenent del funcionament de la classe el professor ha de saber estimar si la classe funcionarà millor individualment o formant grups de 2-4 alumnes.
Una “rule of thumb” seguida per l’autor a l’hora de decidir si fer grups o no, consisteix en pensar si hi haurà molts d’alumnes que tinguin els mateixos dubtes provocant així que el professor hagi de respondre la mateixa pregunta moltes vegades. Si aquest és el cas, abans de començar l’activitat agruparia als alumnes en grups heterogenis (alumnes de diferent nivell) aconseguint
