Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 n˚ar ikke annet er oppgitt.
Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt opp p˚a en gruppe og grup- petiden er oppgitt i timeplanen. Det er selvsagt ogs˚a mulig ˚a spørre gruppeleder om oppgavene fra Kapittel P fra oppgavesettet Uke 33.
Oppgaver til seminaret 26/08 Appendiks I: 46, 53.
Avsnitt P.6: 7, 8
P˚a settet: S.1, S.2, S.3.
Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00:
• Seminar 1 ”Rask variant”, Aud. A, All´egaten 66, der oppgavene gjennomg˚as p˚a 1 time (og andre time brukes p˚a gjennomgang av oppgavene under “Mer dybde” fra oppgavesettet uken før);
• Seminar 2 ”Sakte variant”, Aud. B, All´egaten 66, der oppgavene gjennomg˚as p˚a 2 timer.
Fredag 26/08 vil det raske seminaret imidlertid kun g˚a 12:15-13:00, siden det ikke finnes noen ukesoppgaver under ”Mer dybde” fra forrige uke.
Oppgaver til gruppene uke 35
(Røde tall i parentes viser til utgave 7 av læreboken og er de samme som i utgave 6 n˚ar ikke annet er oppgitt.)
Løs disse først s˚a disse Mer dybde Appendiks I 5, 23, 34, 37, 51 10, 29, 41, 47, 55 57
Avsnitt P.6 3, 4 10, 11 23(17), 24(18), 25(19) P˚a settet G.1, G.2, G.3 G.4, G.5, G.6 G.7, G.8, G.9, G.10 Oppgavene underMer dybdevil behandles i 2. time av det raske seminaret 2/9.
Husk ogs˚a orakeltjenesten som g˚ar hver fredag etter seminarene, der dere kan f˚a hjelp til oppgaver og teori.
Obligatoriske oppgaver
Oppgavene 1 og 2 i Obligatorisk innlevering 1 (innleveringsfrist mandag 26/09).
1
OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-H02-Oppg. 1) La
z1 = 1 2
√2 +i1 2
√2, z2 =−1 2
√2 +i1 2
√2.
(a) Beregn z1+z2 ogz1/z2 og skriv løsningene p˚a formenx+iy.
Tegnz1, z2, z1+z2 ogz1/z2 i det komplekse planet.
(b) Skrivz1 p˚a polar form. Regn ut z14.
(c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z4+ 1 = 0.
OPPGAVE S.2 (Eksamen UiO) La z6=−1 være et komplekst tall med |z|= 1.
(a) Vis at z−1z+1 er rent imaginær.
(b) Hvilken kjent plangeometrisk setning er en konsekvens av (a).
OPPGAVE S.3
Vis ved hjelp av induksjon atn3−n er delelig p˚a 3 for alle naturlige tall n.
OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-H04-Oppg. 1) (a) Betrakt de to komplekse tallene
z =√
3 +i og w=√
2−i√ 2.
Regn utz+w ogz/w. Skriv z,w ogz/w p˚a polar form. Avmerk z,w,z+w ogz/w i det komplekse plan.
(b) Finn alle løsningene til
z3 = 8i.
OPPGAVE G.2
Løs ligningen iz3+ 8 = 0 ved ˚a bruke Oppgave G.1(b).
OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-H09-Oppg. 8)
OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-H00-Oppg. 4) (a) Skriv det komplekse tallet 2+2+5i√5i p˚a formena+bi.
(b) Finn et argument og absoluttverdien (modulus) til det komplekse tallet√ z = 3−3i. Hva blir z6?
(c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z10+ 2z5+ 2 = 0.
OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-V99-Oppg. 3b)
Løs ligningen z2+z = 1/4 og og merk av løsningene i det komplekse planet.
OPPGAVE G.6 (Bernoullis ulikhet) Vis ved hjelp av induksjon at for alle heltall n≥0 gjelder
(1 +x)n≥1 +nx for x≥ −1.
OPPGAVE G.7
Bruk Oppgave P.6.25(19) til ˚a konkludere at et polynom med reelle koeffisienter avodde grad alltid har en reell rot.
OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO) (a) Finn alle komplekse løsninger av ligningen
(1 +z)5 = (1−z)5, for eksempel uttrykt ved w=e2πi/5.
(b) Finn alle komplekse løsninger av ligningen (1 +z)n = (1−z)n, der n er et gitt naturlig tall.
(c) Vis at løsningene i (b) alle ligger p˚a en rett linje i det komplekse planet.
OPPGAVE G.9 (Eksamen UiO) Anta at w= 1+ti1−ti, der t er reell.
(a) Vis at n˚ar t varierer, s˚a liggerw p˚a en sirkel S i det komplekse plan.
(b) Vis at argumentvinkelen θ til w er bestemt ved tan(θ/2) =t.
OPPGAVE G.10
T˚arnet i Hanoi eller Brahmas T˚arn er et matematisk spill som sies ˚a ha blitt oppfunnet av den franske matematikeren ´Edouard Lucas i 1883. Spillet best˚ar av tre pinner og en rekke runde skiver med et hull i midten. Skivene er av varierende bredde, og kan plasseres i en hvilken som helst av de tre pinnene. Spillet starter med alle diskene plassert over en pinne, ordnet etter størrelse, med den minste øverst, som vist i figuren under.
Spillet g˚ar ut p˚a ˚a flytte alle skivene til en annen pinne, etter følgende regler:
• Bare ´en skive av gangen kan flyttes.
• Flyttingen foreg˚ar ved at den øverste skiven fra en av pinnene flyttes til en annen pinne og legges p˚a toppen av andre skiver som allerede er der.
• Ingen skive kan plasseres over en mindre skive.
Hensikten med spillet er ˚a f˚a flyttet alle skivene fra en pinne til en annen med s˚a f˚a flyttinger som mulig.
I denne oppgaven skal vi regne ut minste antall flyttinger F(n) n˚ar vi starter med n≥1 ringer.
(a) Vis at vi har F(n) = 2F(n−1) + 1 for n ≥ 2. (Dette kalles en rekursjons- formel.)
(b) Bruk formelen i (a) og matematisk induksjon til ˚a vise at F(n) = 2n−1.
(c) Spillet tar utgangspunkt i følgende gamle legende, som finnes i flere vari- anter: Ved jordens begynnelse plasserte guden Brahma tre stolper i et tempel i Benares i India, verdens midtpunkt. P˚a en av stolpene plasserte han 64 gullskiver, med den største nederst, og s˚a ble skivene mindre og mindre op- pover stolpen. Rundt ˚ar 3500 f.Kr. fikk munkene i byen i oppgave av guden
˚a flytte alle ringene fra en stolpe til en annen ved ˚a følge reglene gitt over.
N˚ar oppgaven var fullført skulle verden g˚a under og bli til støv.
Hvis vi antar at munkene klarer ˚a flytte en skive i sekundet og aldri gjør noen feil, hvor lang tid vil det da ta før verden g˚ar under?
Om dere ønsker, kan dere spille p˚a denne vevsiden
http://www.superkids.com/aweb/tools/logic/towers/
Fasit/hint p˚a neste side
Fasit og hint til oppgavene
For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://math.uib.no/adm/Eksamen/content/MAT111/index.html
Oppgave G.2: Hint: gang med i og flytt over, s˚a f˚ar du samme ligning som i Oppgave G.1(b).
Oppgave G.6: Se fullstendig løsningsforlag neste side.
Oppgave G.7: Oppgave P.6.25(19) sier at alle ikke-relle røtter forekommer i par (z og dens kompleks konjugertez). Faktorteoremet(Teorem 1 i P.6) gir at det m˚a forekomme minst ´en reell rot.
Oppgave G.8: (a) wwkk−1+1, k = 1,2,3,4,5. (b) wwknk−1
n+1, k = 1,2, . . . , n,wn=e2πi/n. Oppgave G.10. (a) Kall pinnen hvor de n skivene er forA og de to andre for B og C. Anta at vi vil flytte alle skivene fra A ogC. For ˚a flytte n skiver fra pinne A til pinne C, bruk følgende strategi:
• Flyttn−1 skiver fraAtilB. Dette etterlater ´en skive alene p˚aA, den største skiven.
• Flytt den største skiven fra A tilC.
• Flytt de n−1 skivene som er p˚a B over til C slik at de plasseres opp˚a den største skiven.
Overbevis deg selv om at dette er strategien med minst antall flyttinger og bruk dette til ˚a utlede formelen.
(c) Det ville ta munkene minst
264−1 = 18 446 744 073 709 551 615 sekunder,
som er ca. 580 milliarder ˚ar. Til sammenligning mener forskere at universet er mellom 12 og 16 milliarder ˚ar gammelt.
Løsningsforslag Oppgave G.6 Vi viser ulikheten
(1) (1 +x)n≥1 +nx for x≥ −1.
for alle heltall n ≥ 0 ved induksjon og kontrollerer først at den er riktig for n = 0.
Setter vi inn n= 0 i (1) f˚ar vi
1 = (1 +x)0 ≥(1 + 0·x) = 1 for x≥ −1, som er (˚apenbart) riktig.
Anta s˚a at ulikheten holder for et heltall k ≥0, dvs. vi antar at (2) (1 +x)k ≥1 +kx for x≥ −1.
Multipliserer vi begge sidene av (2) med x+ 1 (som er ikkenegatv sidenx≥ −1, f˚ar vi:
(1 +x)k+1 ≥(1 +kx)(1 +x) og ved hjelp av dette f˚ar vi:
(1 +x)k+1 ≥(1 +kx)(1 +x) = 1 + (k+ 1)x+kx2 ≥1 + (k+ 1)x,
som viser at (1) er riktig for n =k+ 1. Ved induksjon følger Bernoullis ulikhet for alle heltall n≥0.
LYKKE TIL!
Andreas Leopold Knutsen
