Finn egenverdiene tilA, og bruk dem til å nnedet(A)ogtr(A)i hvert tilfelle:
a) A=
−1 0 0
0 −2 0
0 0 −1
b) A= 1 1
1 2
c) A=
3 0 1 0 4 0 1 0 5
1
Finn alle egenvektorene til matrisenA=
−1 0 0
0 −2 0
0 0 −1
.
2
Finn egenverdiene til matrisen A=
1 7 −2 0 s 0 1 1 4
Finn alle egenvektorene tilA nårs= 2.
3
Finn alle egenverdiene til matrisen
A=
7 4 −1 4 0 3 17 89
0 0 1 √
2
0 0 0 −2
En matrise som er null under diagonalen (slik som A) kalles øvre triangular.
Hva kan du si om egenverdiene til en triangulær matrise?
4
Avgjør om den kvadratiske formen Q(x) =xTAx er positiv (semi)denit eller negativ (semi)denit i hvert tilfelle:
a) A=
−1 0 0
0 −2 0
0 0 −1
b) A= 1 1
1 2
c) A=
3 0 1 0 4 0 1 0 5
5
Klassiser de kvadratiske formene som positiv (semi)denit, negativ (semi)denit eller indenit:
a) Q(x1, x2) =x1x2
b) Q(x1, x2, x3) =x21+ 4x1x2−x22+ 3x23 c) Q(x1, x2, x3) =x1x3−x22
6
LaAvære en symmetrisk2×2-matrise.
a) Vis atAer positiv denit hvis og bare hvisdet(A)>0ogtr(A)>0. b) Vis atAer indenit hvis og bare hvisdet(A)<0.
7
La A være en (ikke nødvendigvis kvadratisk) matrise, og la B =ATA. Vis at B er en kvadratisk, symmetrisk og positiv semidenit matrise. Vis også at hvis Aer en kvadratisk invertibel matrise, så erB positiv denit.
8
