OPPGAVESETT MAT111-H19 UKE 40
Oppgaver til seminaret 4/10 Avsn. 3.5: 15, 31, 53
Avsn. 3.6: 5 Avsn. 4.1: 7, 19 P˚a settet: S.1, S.2
Oppgaver til gruppene uke 41
Løs disse først s˚a disse Mer dybde Avsn. 3.5 3, 7, 16, 45, 49, 55 50
Avsn. 3.6 2
Avsn. 4.1 16, 17, 24 37
Avsn. 4.2 3, 15, 21, 22, 23 26, 27
Ch. Probl. Kap 3 1
P˚a settet G.1, G.2, G.3, G.4, G.8 G.5, G.6, G.7
Oppgavene underMer dybdebehandles i 2. time av det raske seminaret 11/10.
Merknad: Oppgavene nedenunder som ber om ˚a vurdere om den tilnærmede verdien man har funnet ved bruk av Newtons metode er for liten eller for stor, krever kunnskap om krumning av grafer fra begynnelsen av §4.5, som nevnt p˚a forelesning, klikk her for lysark fra forelesningene. Stoffet om krumning av grafer skal imidlertid være kjent fra skolen.
Obligatoriske oppgaver
Ingen nye oppgaver (men det kommer oppgaver som omhandler dette stoffet i Obligatorisk innlevering 3, som legges ut mandag 07/10). Husk innleveringsfristen for Obligatorisk innlevering 2mandag 07/10 kl. 14:00).
1
2 OPPGAVESETT MAT111-H19 UKE 40
OPPGAVE S.1 (Eksamen AVH)
(a) Ligningen xlnx= 1 har en eneste løsning, Gi en kort begrunnelse for denne p˚astanden.
(b) Løs ligningen i (a) numerisk ved hjelp av Newtons metode. Bruk x0 = 1,5 og stopp etter to trinn. Er løsningen for liten eller for stor?
OPPGAVE S.2 (Eksamen UiB-V10-Oppg.6-litt modifisert) La
g(x) = 5
x
10+ 1 x
. (a) Vis at √
10 er et fikspunkt til g.
(b) Bruk fikspunktiterasjon for ˚a finne en tilnærming til√
10 ved ˚a velgex0 = 5 og gjennomføre tre iterasjoner.
(c) Vil fikspunktiterasjon med startverdi x0 = 5 gi en tilnærming til √
10 som er s˚a nøyaktig vi vil, om vi bare utfører nok iterasjoner? Begrunn svaret.
OPPGAVE G.1 (Midtsemestereksamen UiB-H05-Oppg. 3)
En 5 meter lang stige er støttet opp mot en husvegg. Bunnen av stigen glir med en konstant fart 3/4 m/s. Hvor fort daler toppen av stigen idet den er 3 meter over bakken? (Lag en tegning. Kall avstanden mellom veggen og stigens bunn x(t), og avstanden mellom bakken og stigens topp y(t).)
OPPGAVE G.2 (Eksamen UiO) (a) Tegn grafen til funksjonenf(x) =e
√x−3. Forklar hvorforf m˚a ha nøyaktig ett nullpunkt i intervallet [1,2].
(b) Bruk Newtons metode ´en gang med x0 = 1 til ˚a finne en tilnærmet verdi for dette nullpunktet. Avgjør uten ˚a sette inn verdien i f om denne tilnærmede verdien er for stor eller for liten i forhold til den virkelige verdien.
OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-V14-Oppg. 2)
Gitt et tallx6= 0, laL(x) være den rette linjen gjennom origo som skjærer grafen y = sinx i punktet (x,sinx). La θ(x) være vinkelen mellom L(x) ogx-aksen. Hva er endringsraten til θ med hensyn p˚ax.
OPPGAVESETT MAT111-H19 UKE 40 3
OPPGAVE G.4
Finn en passende funksjon du kan bruke fikspunktiterasjon p˚a for ˚a finne en approksimert løsning p˚a ligningen
2x−sinx= 2.
Bruk fikspunktteoremet til ˚a finne et intervall løsningen ligger i og til ˚a vise at fikspunktiterasjonen konvergerer mot løsningen.
OPPGAVE G.5 (Eksamen NTNU) Vi skal løse ligningen x2−2 cosx= 0.
(a) Vis at ligningen har nøyaktig ´en løsning p˚a intervallet [0,2]. Har ligningen noen løsning utenfor dette intervallet?
(b) Bruk Newtons metode til ˚a finne løsningen p˚a intervallet [0,2] med tre desi- malers nøyaktighet. (Du skal begrunne hvorfor tre desimalers nøyaktighet er oppn˚add.)
OPPGAVE G.6 (Eksamen NTNU)
Pia er 1.50 meter høy og g˚ar rett mot en lyktestolpe som er 6 meter høy. (Hun g˚ar med en fart av 1.5 m/s. Hvor fort avtar lengden av skyggen hennes?
OPPGAVE G.7 (Eksamen NTNU) La K være kurven i planet gitt ved ligningen
x2y3+ (y+ 1)e−x =x+ 2.
(a) Finndy/dxi punktet (0,1). Finn ligningen for tangenten tilK i punktet (0,1) og bestem tangentens skjæringspunkt med x-aksen.
(b) Gjør rede for at K har nøyaktig ett skjæringspunkt med x-aksen. Bruk New- tons metode til ˚a finne x-koordinaten til dette skjæringspunktet med 2 riktige desi- maler.
OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO)
La f være en funksjon som er definert for alle x og som tilfredsstiller ligningen f(x+y) = f(x)·f(y) for alle x ogy.
(a) Anta at f0(0) eksisterer. Vis at da er f deriv´erbar for alle x.
(b) Finn alle slike f.
Fasit/hint p˚a neste side
4 OPPGAVESETT MAT111-H19 UKE 40
Fasit og hint til oppgavene
For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://org.uib.no/mi/eksamen/MAT111/
Oppgave G.2. (a) Hint: Se fasit Oppgave G.1 fra oppgavesett Uke 38, evt.
Oppgave G.5 nedenunder. (b)x1 = 6/e−1. For stor, siden f er (strengt) voksende (f0(x) = e
√x
2√
x > 0) og konveks/oppoverkrummet (f00(x) = e
√x
4x (1− √1x) >0) p˚a det gitte intervallet, slik at alle tangentene ligger under grafen til f.
Oppgave G.4. Bruk f.eks. g(x) = 1+12sinx, som oppfyller kriteriene ifikspunkt- teoremetp˚a [12,32]. For ˚a vise at kriteriene er oppfylt, kan man brukesekantsetningen og egenskapen at|g0(x)|=|12cosx| ≤ 12. (Se ogs˚a lysark fra forelesningog Example 2 i§4.2 i læreboken for et lignende problem.)
Oppgave G.5. (a) Funksjonen f(x) = x2−2 cosxer kontinuerlig med f(0)<0 ogf(2)>0 slik at eksistens av løsning følger avskjæringssetningen. Sidenf0(x)>0 for alle x > 0, er f strengt voksende og har dermed kun ett nullpunkt (eventuelt bruksekantsetning/Rolles teorem: to nullpunkter ville medført eksistens av et punkt der den deriverte er null). Daf er jevn, m˚af ha et nullpunkt ogs˚a p˚a [−2,0], slik at ligningen ogs˚a har løsning p˚a [−2,0]. (b) Medx0 = 0, finner vi x1 = 1,021885930, x2 = 1,021689970, x3 = 1,021689954 og det virker som at de tre første desimalene har stabilisert seg. Siden f(1,0215) < 0 og f(1,0225) > 0, betyr det at løsningen ligger i (1,0215, 1,0225), som betyr at løsningen er 1,022 med en nøyaktighet p˚a tre desimaler. (Se ogs˚a lysark fra forelesning for et lignende problem.)
Oppgave G.6. 0.5 m/s
Oppgave G.7. (a) dydx|(x=0,y=1) = 3; tangent y= 3x+ 1, skj.punkt (−1/3,0).
Oppgave G.8. f = 0 eller f =ekx for en k ∈R.
