Oppgaver til seminaret 11/11 Avsn. 6.1: 19, 31
Avsn. 7.9: 9, 17, 22 P˚a settet: S.1, S.2
Oppgaver til gruppene uke 46
Løs disse først s˚a disse Mer dybde Avsn. 6.1 4, 5, 29 8, 13, 33 36, 38
Avsn. 7.9 4(∗), 6, 11, 18 19, 21, 28
P˚a settet G.1, G.2, G.3, G.4 G.5, G.6, G.7, G.8
(∗) Mangel i fasit: Som nevnt p˚a forelesning, s˚a har de konstante løsningene p˚a separable differensialligninger ved en feil falt ut av lærebokens eldre utgaver, ogs˚a i fasiten. F.eks. mangler løsningen y(x) = 0 i Oppgave 7.9.4 i løsningsmanualens eldre utgaver.
Oppgavene underMer dybdebehandles i 2. time av det raske seminaret 18/11.
Obligatoriske oppgaver
Oppgavene 6, 7 og 8 iObligatorisk innlevering 3(innleveringsfrist mandag 21/11).
1
OPPGAVE S.1 (Eksamen UiO)
(a) Vis (uten ˚a derivere høyresiden) at dersom a og k er to tall forskjellig fra 0, s˚a er
Z
ektsinat dt= ekt
a2+k2(ksinat−acosat) +C (b) Vis at uttrykket i (a) kan skrives som
Z
ektsinat dt= ekt
√a2+k2 sin(at+φ) +C for en passende vinkel φ.
(c) Et firma planlegger ˚a bygge en demning over en elv. Vanntilførselen i elven varierer med ˚arstidene, men firmaet ansl˚ar at dersom vi m˚aler tiden i m˚aneder og vannmassene i millioner kubikkmeter, vil vanntilførselen per m˚aned være
20 + 10 sin π
6t
.
Vann slippes ut av demningen i en mengde som er proporsjonal med den totale vannmengden i demningen, og proporsjonalitetsfaktoren er 1/2. Hvisy(t) er vann- mengden i demningen ved tiden t, vis at
y0(t) + 1
2y(t) = 20 + 10 sinπ 6t
. Finn løsningen y(t) n˚ary(0) = 0.
(d) Demningen er tom ved tiden t = 0. Firmaet ønsker ˚a være sikre p˚a at demningen aldri oversvømmes. Hvor stor m˚a kapasiteten være?
OPPGAVE S.2 (Eksamen NTNU)
Et firma dyrker og selger en bestemt bakteriekultur. Bakteriekulturen vokser med en rate som er proporsjonal (proporsjonalitetsfaktor k) med bakteriemengden til enhver tid, og fordobler seg i løpet av ett døgn.
(a) Finn proporsjonalitesfaktoren k.
N˚ar bakteriemengden har n˚add et visst niv˚a M0 kg, begynner en ˚a høste 10 kg pr.
døgn. Høstingen antas ˚a foreg˚a kontinuerlig og med konstant rate.
(b) Still opp differensialligningen som bakteriemengdenM =M(t) oppfyller et- ter at høstingen er begynt, og finnM(t) n˚ar en antar at høstingen starter ved tident = 0, dvs. M(0) =M0. Hvor stor m˚aM0 være for at bakteriemengden skal holde seg konstant?
OPPGAVE G.1 (Eksamen UiO)
Et svømmebasseng er fylt med 1 000 000 liter badevann som inneholder 0,004 % klor m˚alt i volum per volumenhet. Eieren synes klorprosenten er for høy og begynner derfor ˚a tappe ut 50 000 liter per dag samtidig som bassenget fylles opp med 50 000 liter per dag nytt badevann som kun inneholder 0,001% klor. Vi antar her at blandingen vann/klor hele tiden er perfekt.
Lay(t) betegne antall liter klor som finnes i badevannet ved tident(m˚alt i dager), der vi settert= 0 n˚ar prosessen begynner. Forklar hvorforytilnærmet er en løsning av differensialligningen
y0+ 1 20y= 1
2,
og regn ut hvor lang tid det tar før klorprosenten er nede i 0,003%.
OPPGAVE G.2 (Eksamen UiO)
10 millioner tonn søppel blir ved tiden t = 0 deponert p˚a en midlertidig la- gringsplass. Søppelet inneholder 200000 tonn av et skadelig stoff som brytes med en jevn fart av 5% per ˚ar.
(a) La y(t) være prosentandelen av skadelig stoff i søppelet etter t˚ar. Forklar hvorfor
y0(t) =−0.05y(t), y(0) = 2 og vis at y(t) = 2e−0.05t.
(b) Søppelet blir overført til en permanent lagringsplass med en jevn fart av 1/2 million tonn per ˚ar. P˚a den nye lagringsplassen blir søppelet behandlet slik at det skadelige stoffet brytes ned med en fart av 10% per ˚ar. Laz(t) være antall millioner skadelig stoff p˚a den nye lagringsplassen etter t˚ar. Forklar hvorfor
z0(t) =−0.1z(t) + 0.01e−0.05t, z(0) = 0.
(c) Vis at z(t) = 15e−0.05t− 15e−0.1t.
OPPGAVE G.3 (Eksamen NTNU)
Forskere har over flere ˚ar foretatt tellinger av en hvalart og har utfra tellingene lagt fram forslag til fangstkvoter. Dersom forslaget blir fulgt, vil hvalbestanden ved tidspunktet t etter fangststart endre seg med en rate som er proporsjonal med produktet av hvalbestanden P(t) og e−αt, hvor α er en positiv konstant.
Skriv opp differensialligningen som hvalbestandenP(t) oppfyller etter at fangsten har startet, og løs denne med initialbetingelsen P(0) =P0.
Vis at n˚art → ∞nærmer hvalbestanden seg en konstant.
OPPGAVE G.4 (Eksamen NTNU)
En 250 liters tank inneholder 200 liter saltlake med en konsentrasjon p˚a 100 gram salt per liter. Fra tiden t = 0 strømmer en annen saltlake med konsentrasjon 200 gram salt per liter inn i tanken med en hastighet p˚a 3 liter per minutt. Samtidig lekker tanken med en konstant hastighet p˚a 2 liter per minutt. Vi antar at væsken i tanken blandes øyeblikkelig, slik at saltlaken som renner ut til enhver tid har samme konsentrasjon som laken i resten av tanken.
(a) La s(t) være antall gram salt i tanken og t være tiden i minutter. Begrunn kort at s tilfredstiller differensiallikningen
ds
dt = 600− 2s 200 +t.
(b) Hvor mange minutter tar det fylle tanken, og hvor mye salt er det i tanken p˚a det tidspunktet?
OPPGAVE G.5 (Eksamen NTNU)
En boreplattform slepes med hastighet av 10 km/timen idet slepewiren ryker.
Plattformen siger videre, bent fram. Anta at intet gjøres for ˚a stoppe den, men at hastigheten avtar med en rate som er proporsjonal med kvadratet av hastigheten til enhver tid. Etter 5 minutter er hastigheten sunket til 8 km/timen. Hvor lang tid tar det før hastigheten er sunket til 0,5 km/timen?
Hvor lang strekning har da plattformen drevet?
OPPGAVE G.6 (Eksamen UiO)
Finn alle funksjonery=f(x) med følgende egenskap: LaP være et vilk˚arlig punkt p˚a grafen tilf ogTP tangentlinjen til f i punktet P. Da deles det rette linjestykket mellomTP’s skjæringspunkter med koordinataksene p˚a midten av punktetP.
OPPGAVE G.7 (Eksamen NTNU)
I en innsjø er det en fiskebestand som p˚a grunn av en lekkasje fra en nærliggende fabrikk sluttet ˚a formere seg ved tidspunktet t = 0. M˚alinger viser at endringen i fiskebestanden pr. tidsenhet etter dette er omvendt proporsjonal med kvadratroten av fiskebestanden.
Det var 900 fisk i innsjøen da utslippet skjedde, og en m˚aling etter 657 dager viste at det da var 441 levende fisk i innsjøen. Hvor mange dager vil det ta før all fisk er død?
OPPGAVE G.8
I denne oppgaven studerer vi en bakteriekultur i en næringsoppløsning p˚a en plate.
Bakteriene formerer seg med en hastighet som er proporsjonal med antall bakterier til enhver tid. Langs ytterkanten av kulturen er temperaturen imidlertid litt for lav, slik at det dør bakterier med en hastighet som er proporsjonal med kvadratroten av antall bakterier til enhver tid. La oss kalle de to proporsjonalitetskonstantene for k ogl, henholdsvis, med k >0 og l > 0.
(a) Still opp differensialligningen som modellerer antallet bakterier y(t) som funksjon av tiden.
(b) Lay0 være antallet bakterier ved tiden t= 0. Vis hvordan vi kan utlede fra differensialligningen vi fant i (a) at vi har
py(t) =√ y0− l
k
e12kt+ l k
(c) Vurd´er hva som skjer med bakteriekulturen i hvert av de tre tilfellene (i) √
y0 > kl. (ii) √
y0 = kl. (iii) √
y0 < kl.
Fasit/hint p˚a neste side
Fasit og hint til oppgavene Oppgave S.1. (c)y(t) = 40 + 10
(π6)2+14 1
2sin π6t
− π6 cos π6t
+ π60π2+9 −40 e−2t. (d) Minst 53,8 milllioner kubikkmeter.
Oppgave S.2.(a) k = ln 2. (b) dMdt = kM −10, M(t) = ln 210 +
M0 − ln 210 2t, M0 = ln 210.
Oppgave G.1. 20 ln32 sekunder.
Oppgave G.3. dPdt = ke−αtP(t), der k er proporsjonalitetskonstanten. P(t) = P0eαk(1−e−αt).
Oppgave G.4. 37200 gram. [Generell løsning p˚a diffligningen ers(t) = 200(200+
t) + (200+t)C 2. Bruk at s(0) = 200·100 = 20000.]
Oppgave G.5. 6 timer og 20 min, 103 ln 20 ≈9,99 (km).
Oppgave G.6. y= Cx Oppgave G.7. 1000 dager.
Oppgave G.8. (a) dydt =ky−l√ y.
LYKKE TIL!
Andreas Leopold Knutsen
