Nesta se¸c˜ao introduziremos os conceitos de ´algebra estandarmente estrati-
ficada e ´algebra quase-heredit´aria. Demonstraremos que para as ´algebras
estandarmente estratificada os m´odulos em F(△) tˆem dimens˜ao projetiva finita. Provaremos tamb´em que as ´algebras quase-heredit´arias tem dimens˜ao global finita. Os resultados contidos aqui est˜ao em [15].
Primeiramente definiremos ´algebras estandarmente estratificadas.
Defini¸c˜ao 3.4.1. Sejam A uma K-´algebra, △ e ▽ as seq¨uˆencias dos m´odulos estandares e dos m´odulos coestandares, respectivamente, relativas a uma or- dem e = (e1, e2, ..., en) fixada dos idempotentes. Dizemos que A ´e uma
´
algebra estandarmente estratificada se AA ∈ F(△). Dizemos que A
´e uma ´algebra coestandarmente estratificada se DA ∈ F(▽) .
Uma caracterizac˜ao das ´algebras estandarmente estratificadas e das coe- standarmente estratificadas est´a expressa na proposi¸c˜ao abaixo.
Proposi¸c˜ao 3.4.2. Uma K-´algebra A ´e estandarmente estratificada se, e
somente se, todos os A-m´odulos projetivos indecompon´ıveis s˜ao △-filtrados. De forma dual, A ´e coestadarmente estratificada se, e somente se, todos os
A-m´odulos injetivos indecompon´ıveis est˜ao em F(▽).
Demonstra¸c˜ao. Seja A = e1A ⊕ e2A ⊕ . . . ⊕ enA uma decomposi¸c˜ao de A
como A-m´odulo `a direita, em m´odulos indecompon´ıveis.
Suponhamos que AA ∈ F(△). Ent˜ao, para cada i = 1, 2, . . . , n, o A-
diretos. Reciprocamente, suponhamos que todos os A-m´odulos projetivos indecompon´ıveis estejam em F(△). Consideremos a seq¨uˆencia 0 → P1 →
P1 ⊕ P2 → P2 → 0. Temos que P1 ⊕ P2 ∈ F(△), pois ´e F(△) ´e fechada
por extens˜oes. Da mesma forma, considerando a seq¨uˆencia 0 → P3 → P1⊕
P2⊕ P3 → P1⊕ P2 → 0, conclu´ımos que P1⊕ P2⊕ P3 ∈ F(△). Repetindo o
processo, podemos concluir que AA ∈ F(△). A demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao
dual ´e feita de forma an´aloga.
O exemplo a seguir mostra que a propriedade de uma ´algebra ser es- tandarmente estratificada depende da ordem fixada para os idempotentes. Exemplo 3.4.3. Seja A ∼= kQ/I onde I = hαβ, β2i e Q ´e o carc´as
1· α //·2 β
gg
Na ordem e1 = (e1, e2), temos △ = {△1 = S1, △2 = P2}, e que A n˜ao ´e
estandarmente estratificada, pois a ´unica cadeia de subm´odulos de P1 ´e 0 ⊂
radP1 = S2 ⊂ P1, que n˜ao ´e uma △-filtra¸c˜ao uma vez que S2/0 ∼= S2 ∈ △./
No entanto, na ordem e2 = (e2, e1), temos que △ = {△1 = P2, △2 = P1}, e
que A ∈ F(△), o que implica que A ´e estandarmente estratificada.
F. Advincula e E. Marcos caracterizaram em [18] as ´algebras que s˜ao estandarmente estratificadas para uma ordena¸c˜ao qualquer de um conjunto de idempotentes primitivos e ortogonais: elas s˜ao exatamente aquelas cujos ideais idempotentes s˜ao m´odulos projetivos.
Um outro problema interessante e mais dif´ıcil ´e o de caracterizar aquelas ´algebras que s˜ao estandarmente estratificadas numa ´unica ordem.
Vamos introduzir agora as defini¸c˜oes de subcategoria resolvente e corre- solvente em mod A.
Defini¸c˜ao 3.4.4. Dizemos que uma subcategoria X de mod A ´e resolvente
quando ´e fechada por extens˜oes, por n´ucleos de epimorfismos e cont´em todos os projetivos. Dualmente, uma subcategoria X de mod A ´e corresolvente quando ´e fechada por extens˜oes, por con´ucleos de monomorfismos e cont´em todos os injetivos.
Com a defini¸c˜ao acima, as Proposi¸c˜oes 3.3.10, 3.3.11 e 3.4.2 e mais o fato de que F(△) e F(▽) s˜ao subcategorias fechadas por extens˜oes (Observa¸c˜ao 3.3.1), obtemos o seguinte corol´ario.
Corol´ario 3.4.5. Sejam A uma K-´algebra, △ e ▽ as seq¨uˆencias de m´odulos estandares e coestandares, relativas a uma ordem e. Ent˜ao:
1. Se AA∈ F(△), ent˜ao F(△) ´e uma categoria resolvente em mod A.
2. Se DA ∈ F(▽), ent˜ao F(▽) ´e uma categoria coresolvente em mod A.
Introduziremos agora o conceito de seq¨uˆencia estandar Schurian, que ´e utilizada para definir ´as ´algebras quase-heredit´arias.
Defini¸c˜ao 3.4.6. Dizemos que a seq¨uˆencia △ = (△1, △2, . . . , △n) de m´odulos
estandares ´e Schurian se cada △i ´e Schurian ; isto ´e, se EndA(△i) ´e um
anel com divis˜ao para i = 1, 2, . . . , n. De forma analoga, dizemos que a seq¨uˆencia ▽ = (▽1, ▽2, . . . , ▽n) de m´odulos coestandares ´e Schurian se
Como temos trabalhado sempre no caso em que o corpo K ´e algebri- camente fechado, ent˜ao dizer que △i ´e Schurian ´e equivalente a dizer que
EndA(△i) ∼= K.
A proposi¸c˜ao seguinte fornece outras reformula¸c˜oes da defini¸c˜ao acima. Proposi¸c˜ao 3.4.7. Para i = 1, 2, . . . , n, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equiva-
lentes:
1. △i ´e Schurian.
2. EndA(△i) ∼= K.
3. eiAεi+1Aei = ei(rad A)ei.
4. [△i : Si] = 1.
Demonstra¸c˜ao. Pela observa¸c˜ao feita na defini¸c˜ao acima, temos que (1) ´e equivalente a (2). Observemos agora que da aplica¸c˜ao do funtor HomA( , △i)
`a seq¨uˆencia exata 0 −→ Ui−→ Pi−→ △i−→ 0, e da Proposi¸c˜ao 3.2.8 (2),
mais o fato de que HomA(Ui, △i) = 0, obtemos que EndA(△i) ∼= HomA(Pi, △i)
e, portanto, temos que
rad(EndA(△i)) ∼=
rad(eiAei) + eiAεi+1Aei
eiAεi+1Aei
.
Isto significa que EndA(△i) ∼= K se, e somente se, eiAεi+1Aei = ei(rad A)ei.
Logo (2) equivale a (3).
Para concluir mostraremos que (2) equivale a (4), o que ´e conseq¨uˆencia de que [△i : Si] = dimKHomA(Pi, △i) e de que HomA(Pi, △i) ∼= EndA(△i),
como foi visto acima.
Dualmente temos a seguinte proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 3.4.8. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:
1. △o
i (e portanto ▽i) ´e Schurian.
2. EndA(▽i) ∼= K.
3. [△o
i : Si] = [▽i : Si] = 1.
Obsevemos que, dada uma ordem e se △ ´e Schurian, ent˜ao △1 ∼= ▽1 ∼= S1.
Defini¸c˜ao 3.4.9. Dizemos A ´e uma ´algebra quase-heredit´aria se A ´e
uma ´algebra estandarmente estratificada e a seq¨uˆencia △ ´e Schurian.
Mostraremos agora um exemplo de uma ´algebra que numa dada or- dem e1 ´e quase-heredit´aria (e portanto estandarmente estratificada) e que
numa ordem e2 n˜ao ´e estandarmente estratificada (e portanto n˜ao ´e quase-
heredit´aria).
Exemplo 3.4.10. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A = KQ/I, onde Q ´e o carc´as
· 1 α1 −→ · 2 α2 −→ · 3 −→ · · · −→ ·n−1 αn−1 −→ · n e I = h αiαi+1 : i = 1, . . . , n − 1i.
Os A-m´odulos projetivos indecompon´ıveis s˜ao os m´odulos associados `as representa¸c˜oes P1 : · 0−→ ·0 −→ ·0 −→ · · · −→ ·0 −→ ·K Pi : ·−→ · · · −→ ·i idK −→ ·i+1 −→ · · · · · −→ ·, para 2 ≤ i ≤ n.
Logo para a ordem e1 = (1, 2, . . . , n) temos que △i = Si e, portanto, A ´e
quase-heredit´aria.
De outro lado, na ordem e2 = (n, 1, 2, . . . , n − 1) temos que △n = Sn e
△i = Pi, para 1 ≤ i ≤ n − 1. Como uma s´erie de composi¸c˜ao para Pn ´e
0 ⊂ rad Pn = Sn−1 ⊂ Pn e Sn−1 ∈ △, nesta ordem A n˜ao ´e estandarmente/
estratificada e, portanto, n˜ao ´e quase-heredit´aria.
Com o objetivo de estudar as dimens˜oes homol´ogicas dos m´odulos em F(△), no caso em que A ´e uma ´algebra estandarmente estratificada, vamos enunciar o seguinte lema que ´e bem conhecido e cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [3].
Lema 3.4.11. Seja 0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0 uma seq¨uˆencia exata em mod A. Ent˜ao:
1. pd Y ≤ max{pd X, pd Z}.
2. pd Z ≤ max{pd Y, 1 + pd X}.
Corol´ario 3.4.12. Sejam X, M1, M2, . . . , Mt uma fam´ılia de A-m´odulos de
comprimento finito. Se X ∈ F({M1, M2, . . . , Mt}). Ent˜ao
pd X ≤ max1≤i≤t{pd Mi}.
Demonstra¸c˜ao. Por indu¸c˜ao sobre o comprimento de X. Se ℓ(X) = 1, ent˜ao X = Mi, para algum j, 1 ≤ j ≤ t, e a afirma¸c˜ao ´e verdadeira.
Suponhamos que a afirma¸c˜ao ´e valida para os A-m´odulos de compri- mento menor do que m, m ≥ 2. Seja X ∈ F({M1, M2, . . . , Mt}) tal que
ℓ(X) = m. Ent˜ao existe um subm´odulo pr´oprio Y de X tal que Y ∈ F({M1, M2, . . . , Mt}) e que X/Y ∼= Mi, para algum i, 1 ≤ i ≤ t.
Considerando a seq¨uˆencia exata 0 −→ Y −→ X −→ Mi −→ 0, temos que
pd X ≤ max{pd Mi, pd Y },. Mas como ℓ(Y ) < m, pela hip´otese de indu¸c˜ao
segue que pd Y ≤ max1≤i≤t{pd Mi} e portanto pd X ≤ max1≤i≤t{pd Mi}.
Proposi¸c˜ao 3.4.13. Seja A uma K-´algebra quase-heredit´aria. Ent˜ao, para
cada i = 1, . . . , n, vale que :
1. pd △i ≤ n − i.
2. pd Si ≤ n + i − 2.
3. gldim A ≤ 2(n − 1).
Demonstra¸c˜ao. Como A ´e estandarmente estratificada, as Proposi¸c˜oes 3.4.2 e 3.3.10, garantem que a seq¨uˆencia exata 0 −→ Ui−→ Pi−→ △i −→ 0
est´a em F(△). De outro lado, pelo Lema 3.4.11 (2), temos pd △i ≤ 1 + pd Ui.
Al´em disso, de acordo com a Observa¸c˜ao 3.3.4, Ui = Pi(i+1) ´e filtrado por △j,
com j > i, logo, pelo Corol´ario 3.4.12, resulta que pd Ui ≤ max
j>i {△j}. Assim
pd △i ≤ 1 + max
j>i {pd △j} .
Para provar (1) faremos indu¸c˜ao regressiva sobre i. Para i = n, △n = Pn
e portanto pd △n = 0. Vamos supor que a desigualdade ´e verdadeira para
todos os inteiros t tais que m ≤ t ≤ n, com m > 0. Temos pois que pd △m−1 ≤ 1 + max
j>m−1{pd△j}
≤ 1 + max {0, n − (n − 1), n − (n − 2), . . . , n − m} = n − (m − 1),
com o que (1) est´a provado.
Para provar (2) consideremos a seq¨uˆencia exata
0 −→ Vi−→ △i −→ Si−→ 0, onde Vi = rad △i.
Do Lema 3.4.12 resulta que pd Si ≤ 1 + max {pd Vi, pd △i}. De outro lado,
pelo Lema 3.2.5, os fatores de composi¸c˜ao de △is˜ao Sj com j ≤ i . Como △i´e
Schurian, pela Proposi¸c˜ao 3.4.7, [△i : Si] = 1 e, em conseq¨uˆencia os fatores de
composi¸c˜ao de Vi s˜ao Sj com j < i. Portanto, pd Si ≤ 1+max
j<i {pd Sj, pd △i} .
Continuamos a prova usando uma indu¸c˜ao ascendente sobre i. Para i = 1, △1 = S1 e por (1) vale que pd △1 ≤ n − 1 = (n + 1) − 2, e a afirma¸c˜ao (2)
est´a verificada nesse caso.
Suponhamos que a desigualdade vale para os inteiros t tais que 0 < t ≤ m, com 2 ≤ m ≤ n. Ent˜ao pd Sm+1 ≤ 1 + max
t<m+1{pd St, pd △m+1}. Por (1) e pela
hip´otese de indu¸c˜ao, temos que pd Sm+1 ≤ 1 + max
t<m+1{n + t − 2, n − (m + 1)} ≤ 1 + n + (m − 2)
e (2) est´a provado.
Por fim, usando (2), temos gldim A = max
1≤i≤n{pd Si} ≤ 2n − 2 e (3) est´a
provado.
Observemos que na demonstra¸c˜ao da primeira parte da Proposi¸c˜ao 3.4.13 s´o usamos o fato de que A ´e uma ´algebra estandarmente estratificada. Assim temos a seguinte conseq¨uˆencia imediata.
Corol´ario 3.4.14. Sejam A uma ´algebra estandarmente estratificada e X ∈
Com a finalidade de mostrar que este limitante superior para a dimens˜ao global ´e o melhor poss´ıvel consideraremos o seguinte exemplo, que foi dado em [15] por Dlab.
Exemplo 3.4.15. Sejam K um corpo algebricamente fechado e A = KQ/I, onde Q ´e o carc´as
·1 α(1,2) // ·2 α(2,1) oo α(2,3) // ·3 α(3,4) // α(3,2) oo α ·4 (4,3) oo e I = h α(4,3)α(3,2), α(3,2)α(2,1), α(1,2)α(2,3), α(2,3)α(3,4), α(2,1)α(1,2), α(3,2)α(2,3), α(4,3)α(3,4) i.
Os A-m´odulos projetivos indecompon´ıveis s˜ao os m´odulos associados `as seguintes representa¸c˜oes: P1 : ·K2 (1,0) // ·K (0,1)oo t 0 // ·0 0 // 0 oo ·0, 0 oo P2 : ·K 0 // ·K2 0 oo (1,0) // ·K 0 // (0,1)t oo ·0, 0 oo P3 : ·0 0 // ·K 0 oo 0 // ·K2 (1,0) // (1,0) oo ·K, (0,1)t oo P4 : ·0 0 // ·0 0 oo 0 // ·K 0 // 0 oo ·K. 1K oo
A ´algebra A ´e quase-heredit´aria, pois △1 = S1, △4 = P4 e △2 e △3 s˜ao os
m´odulos associados `as representa¸c˜oes
△2 : ·K 0 // ·K 1K oo 0 // ·0 0 // 0 oo ·0, 0 oo △3 : ·0 0 // ·K 1K oo 0 // ·K 0 // 0 oo ·0, 0 oo
e claramente End(△i) ∼= K, para 1 ≤ i ≤ 4. Desde que, as seq¨uˆencias exatas
0 → P4→ P3→ P2→ P1→ S1→ 0,
0 → P4→ P3→ P2⊕ P1→ P1⊕ P4−→ P1⊕ P3→ P2→ S2→ 0,
0 → P4→ P3→ P2⊕ P4→ P1⊕ P3→ P2⊕ P4→ P3→ S3→ 0,
0 → P4→ P3→ P2⊕ P4→ P1⊕ P3→ P2⊕ P4→ P3→ P4→ S4→ 0
Nesta se¸c˜ao tamb´em estudaremos algumas novas propriedades das cate- gorias F(△) e F(▽) no caso em que A ´e uma ´algebra estandarmente estrat- ificada.
Para isso, vamos relembrar algumas categorias relacionadas com F(△) e F(▽), cujas nota¸c˜oes e propriedades foram exibidas no Cap´ıtulo 2, para F(θ).
Nesse caso, lembramos que Y(△) denota a subcategoria plena de mod A formada pelos objetos Y tais que Ext1A(△j, Y ) = 0, para j = 1, . . . , n. Mais ainda que W(▽) indica a subcategoria plena de mod A cujos objetos W s˜ao tais que Ext1A(W, ▽j) = 0, para j = 1, . . . , n.
Recordamos tamb´em a no¸c˜ao de m´odulos projetivos e injetivos relativos. Sejam C uma subcategoria de mod A e X um A-m´odulo em C. Dizemos que X ´e Ext-projetivo em C se Ext1A(X, Y ) = 0, para todo Y em C. De forma
dual, dizemos que X ´e Ext-injetivo em C se Ext1A(Y, X) = 0, para todo Y
em C.
Segundo as defini¸c˜oes relembradas acima, os m´odulos relativamente inje- tivos em F(△) s˜ao os elementos do conjunto Y(△) ∩ F(△) e os m´odulos rel- ativamente projetivos em F(▽) s˜ao os elementos do conjunto W(▽) ∩ F(▽). Proposi¸c˜ao 3.4.16. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratificada.
Ent˜ao os m´odulos Ext-projetivos de F(△) s˜ao os A-m´odulos projetivos.
Demonstra¸c˜ao. Como A ´e estandarmente estratificada, ent˜ao cada A- m´odulo projetivo est´a em F(△) e por isso ´e Ext-projetivo em F(△).
Seja M um A-m´odulo Ext-projetivo em F(△). Consideremos a seq¨uˆencia exata
Seja γ : X −→ X1 uma F(△)-aproxima¸c˜ao `a direita de X, que existe pois
F(△) ´e funtorialmente finita, conforme a Proposi¸c˜ao 3.3.7. Assim obtemos o seguinte diagrama comutativo
0 //X g // γ L f // M //0 0 //X1 //E //M //0, onde X g // γ L X1 //E
´e o push-out de X1 ← X → L. Como X1 ∈ F(△) e esta ´e uma categoria
fechada por extens˜oes, temos que a seq¨uˆencia exata 0 −→ X1−→ E −→ M −→ 0
cinde, e portanto a sequˆencia (3.3) tamb´em cinde. Portanto o m´odulo M ´e projetivo.
Proposi¸c˜ao 3.4.17. Seja A uma ´algebra estandarmente estratificada. Ent˜ao,
para cada i ≥ 1, ExtiA(X, Y ) = 0, ∀ X ∈ F(△), ∀ Y ∈ Y(△).
Demonstra¸c˜ao. Seja X ∈ F(△). Por defini¸c˜ao Ext1A(X, Y ) = 0, para todo Y ∈ Y(△ ). Suponhamos que, para todo j ≥ 2, os Extj−1A (X1, Y ) =
0, ∀X1 ∈ F(△) e ∀Y ∈ Y(△). Consideremos ent˜ao a seq¨uˆencia exata
0 −→ X1→ P γ
−→ X −→ 0, onde γ : P −→ X ´e a cobertura projetiva de X. Como A ´e estandarmente estratificada, pelo Corol´ario 3.4.5, temos que F(△) ´e resolvente e, por isso, a seq¨uˆencia acima est´a em F(△), ou seja X1 ∈ F(△).
outro lado, aplicando o funtor HomA( , Y ), com Y ∈ Y(△), `a referida
seq¨uˆencia obtemos a seq¨uˆencia exata longa
· · · → Ext1A(P, Y ) → Ext1A(X1, Y ) → Ext2A(X, Y ) → Ext 2
A(P, Y ) → · · · .
Como P ´e projetivo, ent˜ao Extj−1A (X1, Y ) ∼= ExtjA(X, Y ), para todo j ≥ 1.
Logo ExtjA(X, Y ) = 0, ∀j ≥ 1.
Proposi¸c˜ao 3.4.18. 1. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratifi- cada. Ent˜ao Y(△) ´e uma subcategoria corresolvente de mod A.
2. F(▽) ⊆ Y(△).
Demonstra¸c˜ao. Claramente, pela defini¸c˜ao, a categoria Y(△) cont´em to- dos os A-m´odulos injetivos. Mostremos Y(△) ´e fechada por extens˜oes. Para isso, seja 0 −→ Y1−→ Y −→ Y2−→ 0 uma seq¨uˆencia exata com Y1 e Y2 em
Y(△). Se aplicamos o funtor HomA(X, ), com X ∈ F(△), a ela, obtemos
a seq¨uˆencia exata longa
· · · −→ Ext1A(X, Y1) −→ Ext1A(X, Y ) −→ Ext1A(X, Y2) −→ · · · .
Como Ext1A(X, Y1) = Ext1A(X, Y2) = 0, ent˜ao Ext1A(X, Y ) = 0 e assim Y ∈
Y(△), ou seja Y(△) ´e realmente fechada por extens˜oes.
Para finalizar, resta provar que Y(△) ´e fechada por con´ucleos de monomor- fismos. Seja ent˜ao f : N −→ M um monomorfismo, com M e N em Y(△). Aplicando HomA(△i, ), a seq¨uencia exata 0 −→ M −→ N −→ C −→ 0, onde
C ´e o con´ucleo de f , obtemos seq¨uencia exata longa
Mas, pela proposi¸c˜ao 3.4.17 temos que Ext1A(△i, N ) = 0 = Ext2A(△i, M ).
Portanto Ext1A(△i, C) = 0, para cada 1 ≤ i ≤ n. Este ultimo fato mostra
que Y(△) ´e fechada por con´ucleos de monomorfismos. Logo pela Defini¸c˜ao 3.4.4, Y(△) ´e uma categoria corresolvente.
A afirma¸c˜ao 2 ´e uma conseq¨uˆencia da Proposi¸c˜ao 3.2.8, (4).
Dualmente temos o seguinte resultado.
Proposi¸c˜ao 3.4.19. 1. Seja A uma ´algebra coestandarmente estratificada. Ent˜ao W(▽) ´e uma subcategoria resolvente de mod A.
2. F(△) ⊆ W(▽).
As inclus˜oes das proposi¸c˜oes anteriores podem ser pr´oprias. Para ilustrar isto temos o seguinte exemplo, que foi apresentado em [24].
Exemplo 3.4.20. Para come¸car notemos que se uma ´algebra A ´e local de dimens˜ao finita, ent˜ao A ´e estandarmente estratificada, coestandarmente es- tratificada, F(△) = add A e F(▽) = add D(AA). Se, al´em de local, A
´e tamb´em autoinjetiva, como ´e o caso de A = K[x]/hx2i, ent˜ao F(△) =
F(▽) = add A. Nesta situa¸c˜ao temos que Y(△) = W(▽) = mod A e por- tanto as inclus˜oes F(△) ⊂ W(▽) e F(▽) ⊂ Y(△) s˜ao pr´oprias.