Nesta se¸c˜ao demonstraremos que se A ´e uma ´algebra estandarmente estratifi- cada, ent˜ao existe um A-m´odulo inclinante generalizado T associado a A, tal que F(△) ∩ Y(△) = add T . Mostraremos tamb´em que o anel de endomorfis- mos B = EndA(TA) ´e tamb´em uma K-´algebra estandarmente estratificada.
Mais ainda, mostraremos que EndB(T′) ´e Morita equivalente a A, onde T′ ´e
o B-m´odulo inclinante generalizado associado a B.
Os resultados apresentados nesta se¸c˜ao est˜ao contidos no trabalho de C. Xi, em [24], bem como [2] numa abordagem distinta.
Come¸camos ent˜ao definindo o que ´e um m´odulo inclinante generalizado. Defini¸c˜ao 3.5.1. 1. Seja A uma K-´algebra. Um A-m´odulo T ∈ mod A ´e dito um m´odulo inclinante generalizado se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(a) pd T < ∞;
(b) ExtiA(T, T ) = 0, para todo inteiro i ≥ 1;
(c) Existe uma seq¨uˆencia exata do tipo
0 → AA→ T0→ T1 → · · · → Ts→ 0,
com Ti ∈ add T , para i = 1, 2, . . . , s.
2. Dualmente, um A-m´odulo T ´e dito um A-m´odulo coinclinante gen-
eralizado se est˜ao satisfeitas as condi¸c˜oes:
(b) Exti
A(T, T ) = 0, para todo inteiro i ≥ 1;
(c) Existe uma seq¨uˆencia exata do tipo
0 → Ts→ · · · → T1→ T0 → D(AA) → 0,
com Ti ∈ add T , para i = 1, 2, . . . , s.
Antes de provarmos a existˆencia de um A-m´odulo inclinante generalizado especial, ligado a categoria F(△) quando A ´e uma ´algebra estandarmente estratificada, faremos algumas observa¸c˜oes e daremos destaque a algumas propriedades da subcategoria F(△) ∩ Y(△).
Observa¸c˜ao 3.5.2. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratificada. Ent˜ao: 1. A categoria Y(△) ∩ F(△) ´e auto-ortogonal, isto ´e, Exti
A(W, Y ) = 0,
∀ W, Y em Y(△) ∩ F(△) e ∀i ≥ 1.
2. Para cada X ∈ F(△), existe uma seq¨uˆencia exata 0 −→ X −→ W −→ X′−→ 0,
com W ∈ Y(△) ∩ F(△) e X′ ∈ F(△).
A primeira afirma¸c˜ao ´e um caso particular da Proposi¸c˜ao 3.4.17. A segunda afirma¸c˜a decorre da aplica¸c˜ao do Lema 2.1.9 com θ = △ e do fato de que F(△) ´e fechado por extens˜oes (Observa¸c˜ao 3.3.1).
Existe um resultado an´alogo ao ´ıtem (2) da observa¸c˜ao acima para a categoria Y(△), que enunciaremos no seguinte lema.
Lema 3.5.3. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratificada. Ent˜ao,
para cada Y ∈ Y(△), existe uma seq¨uˆencia exata 0 −→ Y′−→ W −→ Y −→ 0,
Demonstra¸c˜ao. Sejam Y ∈ Y(△) e γ : P → Y a sua cobertura projetiva em mod A. Como A ´e uma ´algebra estandarmente estratificada, em virtude do Corol´ario 3.3.6 e da Proposi¸c˜ao 3.4.2, P ∈ F(△). Portanto, como con- seq¨uˆencia do Corol´ario 3.4.5, temos que a seq¨uˆencia exata
0 −→ ker(γ) −→ P −→ Y −→ 0
est´a em F(△). De outro lado, em virtude do Lema 2.1.9, existe uma seq¨uˆencia exata da forma 0 −→ ker(γ) −→ Y′−→ X −→ 0, com Y′ ∈ Y(△) e
X ∈ F(△). Se ker(γ) −−−→ P y y Y′ −−−→ Z
´e o push-out de Y′ ←− ker(γ) −→ P , ent˜ao temos o seguinte diagrama co-
mutativo 0 0 y y 0 −−−→ ker(γ) −−−→ P −−−→ Y −−−→ 0 y y 0 −−−→ Y′ −−−→ Z −−−→ Y −−−→ 0 y y X X y y 0 0.
Desde que P, X ∈ F(△), Y, Y′ ∈ Y(△) e tais categorias s˜ao fechadas por
extens˜oes, pela Observa¸c˜ao 3.3.1 e a Proposi¸c˜ao 3.4.18, temos que Z esta em F(△) ∩ Y(△). Demonstramos pois que a seq¨uˆencia exata
0 −→ Y′−→ Z −→ Y −→ 0
Antes de proseguir para a prova de que para uma ´algebra estandar- mente estratificada A, com rela¸cˆao a seq¨uˆencia △, existe um A-m´odulo in- clinante generalizado T que determina os m´odulos Ext-injetivos em F(△), lembraremos alguns fatos gerais sobre m´odulos.
Se A ´e uma K-´algebra, pode-se provar (como “forma dual” `a efetu- ada na Propasi¸c˜ao 2.1, Cap. I, em [6]) que o funtor contravariante F = HomA( , TA) : mod A −→ B − mod quando restrito a subcategoria add (T )
estabelece uma equivalˆencia contravariante entre a subcategoria add(T ) de mod A e a subcategoria P(B) dos B-m´odulos projetivos `a esquerda de B.
Desta forma conclu´ımos que o posto de K0(B) = K0(EndA(T )) ´e igual
ao n´umero de somandos indecompon´ıveis, n˜ao isomorfos, de T .
Observa¸c˜ao 3.5.4. Vamos observar agora um importante fato sobre a teor´ıa inclinante, que pode ser encontrado em [22], Corol´ario 1 do Teorema 1.19, que ´e o seguinte: Seja A uma ´algebra artiniana e TA um A-m´odulo inclinante
generalizado. Ent˜ao o n´umero de classes de isomorfia dos A-m´odulos simples ´e igual ao n´umero de classes dos B-m´odulos simples, onde B = EndA(TA).
Estamos agora em condi¸c˜oes de enunciar um dos mais importantes resul- tados desta se¸c˜ao, que ´e o teorema abaixo.
Teorema 3.5.5. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratificada. Ent˜ao
existe um A-m´odulo inclinante generalizado T , ´unico a menos da multiplici- dade dos somandos diretos indecompon´ıveis, tal que add T = F(△) ∩ Y(△).
estratificada, ent˜ao pela Observa¸c˜ao 3.5.2 (2), existe uma seq¨uˆencia exata
0 −→ X−1−→ W0−→ X0−→ 0,
onde X−1 = X, W0 ∈ F(△) ∩ Y(△) e X0 ∈ F(△). Pela mesma raz˜ao, para
X0 ∈ F(△) existe uma seq¨uˆencia exata da forma
0 −→ X0−→ W1−→ X1−→ 0,
com W1 ∈ F(△) ∩ Y(△) e X1 ∈ F(△). Desta maneira constru´ımos n
seq¨uˆencias exatas da forma
ǫi = (0 −→ Xi−1−→ Wi−→ Xi−→ 0),
com Wi ∈ F(△)∩Y(△) e Xi−1e Xi em F(△), 0 ≤ i ≤ n. Aplicando o funtor
HomA(Xn−1, ) a cada seq¨uˆencia ǫi, i = 1, 2, . . . , n, obtemos a seq¨uˆencia
exata longa
Ext1A(Xn−1, Wi) −→ Ext1A(Xn−1, Xi) −→ Ext2A(Xn−1, Xi−1)
−→ Ext2A(Xn−1, Wi) −→ Ext2A(Xn−1, Xi) −→ Ext3A(Xn−1, Xi−1)
... ... ...
−→ ExtjA(Xn−1, Wi) −→ Ext j
A(Xn−1, Xi) −→ Extj+1A (Xn−1, Xi−1)
... ... ...
−→ Extn−1A (Xn−1, Wi) −→ Extn−1A (Xn−1, Xi) −→ ExtnA(Xn−1, Xi−1).
Como Wi ∈ F(△) ∩ Y(△) e Xi, Xi−1 ∈ F(△), pela Observa¸c˜ao 3.5.2 (1),
vale que ExtjA(Xn−1, Wi) = Extj+1A (Xn−1, Wi) = 0, para todo j ≥ 1. Portanto
ExtjA(Xn−1, Xi) ∼= Extj+1A (Xn−1, Xi−1) = 0, para todo j ≥ 1 e i = 1, 2, . . . , n.
Logo temos que
Desde que Xn−1 ∈ F(△), ent˜ao, em virtude do Corol´ario 3.4.14, pd Xn−1 ≤
n − 1 e logo Extn
A(Xn−1, X−1) ∼= Ext1A(Xn−1, Xn−2) = 0. Assim a seq¨uˆencia
exata
ǫn−1 = (0 −→ Xn−2−→ Wn−1−→ Xn−1−→ 0)
cinde, o que implica que Xn−2 ´e um somando direto de Wn−1 ∈ F(△)∩Y(△)
e, portanto, que Xn−2 ∈ F(△) ∩ Y(△).
Usando as seq¨uˆencias ǫiconstru´ımos uma nova seq¨uˆencia exata da seguinte
forma 0 //X−1 //W0 // W1 // W2 //· · · X0 == { { { { { { { { X1 == { { { { { { { { //Wn−2 // W′ n−1 //0. Xn−2 ;;v v v v v v v v v
Notemos que na seq¨uˆencia obtida
0 −→ X−1−→ W0−→ · · · −→ Wn−2−→ Wn−1′ −→ 0, (3.4)
tanto W′
n−1 = Xn−2 quanto Wi, para 0 ≤ i ≤ n − 2, est˜ao em F(△) ∩ Y(△).
At´e aqui temos constru´ıdo para cada X = X−1 ∈ F(△) uma seq¨uˆencia
do tipo (3.4). Em particular, como AA ∈ F(△) existe uma seq¨uˆencia da
forma
0 −→ AA−→ W0−→ · · · −→ Wn−2−→ Wn−1−→ 0, (3.5)
com Wi ∈ F(△) ∩ Y(△), para 0 ≤ i ≤ n − 1.
Seja o A-m´odulo T′ = ⊕n−1
i=0Wi. Como T′ ∈ F(△) ∩ Y(△), pelo Corol´ario
3.4.14 resulta que pd T′ ≤ n − 1. De outro lado, pela Observa¸c˜ao 3.5.2 (1),
temos que ExtjA(T′, T′) = 0, para todo j ≥ 1. Assim, junto com a seq¨uˆencia
Mostremos agora que F(△) ∩ Y(△) = add (T′). Pela constru¸c˜ao de T′ =
⊕n−1i=0Wi, com Wi ∈ F(△) ∩ Y(△), temos claramente que add (T′) ⊆ F(△) ∩
Y(△). Para a inclus˜ao contraria, seja M ∈ F(△) ∩ Y(△). ´E f´acil ver que T′
A⊕ MA ´e tamb´em um A-m´odulo inclinante generalizado. Assim, temos
pela Observa¸c˜ao 3.5.4 que o n´umero de B = EndA(T′)-m´odulos simples, ´e
igual ao n´umero de ¯B = EndA(T′ ⊕ M )-m´odulos simples, n˜ao isomorfos.
De outro lado este n´umero, pela observa¸c˜ao feita anteriormente ´e igual ao n´umero de somandos diretos de T′. Portanto M ∈ add (T′) e ets aprovado
que F(△) ∩ Y(△) = add (T′). finalmente observemos que se existir um A-
m´odulo inclinante generalizado T′′ tal que F(△) ∩ Y(△) = add (T′′), teremos
que eles tˆem os mesmos somandos diretos indecompon´ıveis e difierem na multiplicidade destes somandos.
A unicidade, a menos da multiplicidade, garantida pelo terema anterior motiva a seguinte defini¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 3.5.6. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratificada. O A-m´odulo inclinante generalizado T , com seus somandos diretos indecom-
pon´ıveis n˜ao isomorfos, de multiplicidade um, tal que F(△)∩Y(△) = add (T ) ´e denominado m´odulo inclinante caracter´ıstico associado a △.
O passo a seguir ´e demonstrar que o m´odulo inclinante caracter´ıstico de uma ´algebra quase-heredit´aria ´e tamb´em coinclinante. Para isto enunciare- mos uma s´erie de resultados e defini¸c˜oes que usaremos em tal demonstra¸c˜ao. Seja A uma K-´algebra. Denotamos por P<∞(A) e I<∞(A), respecti-
pd X < ∞ e pelos A-m´odulos Y tais que id Y < ∞. Com esta nota¸c˜ao, definimos a dimens˜ao projetiva finit´ıstica de A, que denotaremos por pf d A, como o supremo das dimens˜oes projetivas dos objetos de P<∞A, ou
seja, pf d A = sup{pd X : X ∈ P<∞(A)}.
Seguintes dois lemas foram provados em [5].
Proposi¸c˜ao 3.5.7. Seja A uma ´algebra tal que id AA< ∞ e que idAA < ∞.
Ent˜ao id AA = idAA e I<∞(A) = P<∞(A).
Proposi¸c˜ao 3.5.8. Se id AA < ∞, ent˜ao idAA < ∞ se, e somente se, a
dimens˜ao projetiva finit´ıstica de A ´e finita.
O teorema abaixo, cuja prova pode ser encontrada em [1], garante que a dimens˜ao projetiva finit´ıstica de uma ´algebra estandarmente estratificada ´e finita.
Teorema 3.5.9. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratificada. Ent˜ao pf d A ≤ 2n − 2, onde n ´e o posto de K0(A).
Por fim enunciamos uma proposi¸c˜ao que fornece uma condi¸c˜ao suficinte e necessaria para que o m´odulo inclinante caracter´ıstico seja tamb´em coin- clinante.
Proposi¸c˜ao 3.5.10. Sejam A uma K-´algebra estandarmente estratificada e T seu m´odulo inclinante caracter´ıstico associado. As seguintes condi¸c˜oes s˜ao
1. T ´e um A-m´odulo coinclinante generalizado.
2. id AA < ∞.
Demonstra¸c˜ao. Demonstremos que (1) implica (2). Suponhamos que T ´e um A-m´odulo coinclinante generalizado. Logo existe uma seq¨uˆencia exata
0 −→ Ts−→ Ts−1−→ · · · −→ T0−→ D(AA) −→ 0,
com Ti ∈ F(△) ∩ Y(△), 0 ≤ i ≤ s. Como cada Ti ∈ F(△), ent˜ao, pelo
Corol´ario 3.4.14, pd Ti < ∞ e, portanto, pd D(AA) < ∞, ou equivalentemente
id AA< ∞. Assim (1) implica (2) est´a provada.
Para mostrar que (2) implica (1), suponhamos que id AA < ∞. Ent˜ao
pd D(AA) = m < ∞. Desde que D(AA) ∈ Y(△), aplicando iteradamente o
Lema 3.5.3, como foi feito na prova do Teorema 3.5.5, obtemos uma fam´ılia (ǫi), i = 1, 2, . . . , m, de seq¨uˆencias exatas da forma:
ǫi = (0 −→ Yi−→ Wi−→ Yi−1−→ 0)
com Yi−1e Yi em Y(△), sendo Y−1 = D(AA), e Wi ∈ F(△)∩Y(△). Tamb´em
como na prova do Teorema 3.5.5, utilizando a Observa¸c˜ao 3.5.2, obtemos que a seq¨uˆencia ǫm cinde e que Ym−1 ∈ F(△) ∩ Y(△). Dessa forma, constru´ımos
a seq¨uˆencia exata
0 −→ Wm′ −→ Wm−1−→ · · · −→ W0−→ D(AA) −→ 0, (3.6)
onde Wm = Ym−1. Como Wm′ e cada Wiest˜ao em F(△)∩Y(△) = add T (Teo-
rema 3.5.5), resulta que a seq¨uˆencia em (3.6) e o fato de que Exti
A(T, T ) = 0,
da Defini¸c˜ao 3.5.1 (2) se verificam. Portanto, para mostrar que T ´e um A-m´odulo coinclinante basta verificar que id T < ∞. De um lado, como T ∈ F(△) ∩ Y(△) resulta do Corol´ario 3.4.14 que pd T < ∞, ou seja T ∈ P<∞(A). De outro lado, o Teorema 3.5.9 estabelece que a dimens˜ao
finit´ıstica de A ´e finita, o que junto com a hip´otese de que id A < ∞ re- sulta, pela Proposi¸c˜ao 3.5.8, em que P<∞(A) = I<∞(A), ou seja que T tem
dimens˜ao injetiva finita.
Corol´ario 3.5.11. Seja A uma K-´algebra quase-heredit´aria. Ent˜ao o A-
m´odulo inclinante caracter´ıstico associado T ´e tamb´em um A-m´odulo coin- clinante generalizado.
Demonstra¸c˜ao. Da Proposi¸c˜ao 3.4.13 (3) vem que id AA< ∞ e portanto
a Proposi¸c˜ao 3.5.10 garante a afirma¸c˜ao.
No Corol´ario 3.5.11 a condi¸c˜ao de que a ´algebra seja quase-heredit´aria ´e essencial. Para verificar isto temos o seguinte exemplo dado em [24].
Exemplo 3.5.12. Sejam K um corpo algebricamente fechado e a K-´algebra A = K[x, y]/hx, yi2. Como A ´e local, ent˜ao ela ´e estandarmente estratificada.
Notese que A ∼= KQ/I, onde Q ´e o carc´as
·1 β
gg
α
77
m´odulo projetivo P1 e ao m´odulo injetivo I1 s˜ao, respectivamente P1 : ·K3 ✔0 0 0 1 0 0 0 0 0 ✕ nn ✔0 0 0 0 0 0 1 0 0 ✕ 00 I1 : ·K 3 ✔1 0 0 0 0 0 0 0 0 ✕ . nn ✔1 0 0 0 0 0 0 0 0 ✕ 00
Claramente I1 ≇ P1. Assim temos que F(△) = add A e Y(△) = mod A.
Portanto F(△) ∩ Y(△) = F(△) = add A. Mas como A ´e local os m´odulos de dimens˜ao injetiva finita s˜ao os A-m´odulos injetivos. Desde que I1 ∈/
F(△) ∩ Y(△), ent˜ao n˜ao existe nenhum m´odulo de dimens˜ao injetiva finita em F(△) ∩ Y(△) e, portanto, n˜ao existe m´odulo coinclinante T tal que F(△) ∩ Y(△) = add T.
A seguinte proposi¸c˜ao garante a existˆencia de uma fam´ılia de sequˆencias exatas relacionadas com os m´odulos indecompon´ıveis de F(△) ∩ Y(△). Proposi¸c˜ao 3.5.13. Seja A uma K-´algebra estandarmente estratificada.
Ent˜ao, para cada 1 ≤ i ≤ n, existe uma seq¨uˆencia exata curta
0 −→ △i β(i)
−→ T (i) −→ X(i) −→ 0,
onde β(i) ´e uma Y(△)-aproxima¸c˜ao minimal `a esquerda de △i, X(i) ∈
F(△1, . . . , △i−1), T (i) ∈ F(△) ∩ Y(△) ´e indecompon´ıvel e F(△) ∩ Y(△) =
add(⊕n
i=1T (i)).
Demonstra¸c˜ao. Seja um i = 1, . . . , n fixado. Como Ext1A(△j, △i) = 0, para todo j ≥ i, ent˜ao pelo Lema 2.1.8 existe uma seq¨uˆencia exata curta
0 −→ △i β′
−→ T′(i)−→ Xπ′ ′(i) −→ 0,
com T′(i) ∈ Y(△) e X′(i) ∈ F(△
1, . . . , △i−1). Desde que △i e X′(i) est˜ao
em F(△), que ´e uma subcategoria fechada por extens˜oes (Observa¸c˜ao 3.3.1), temos tamb´em que T′(i) ∈ Y(△) ∩ F(△).
Por outro lado, pelo Teorema 2.4, Cap. 1 em [6], existe uma decomposi¸c˜ao de T′(i) = T (i) ⊕ T′′(i) e, em conseq¨uˆencia por ser π′ um epimorfismo, uma
decomposi¸c˜ao de X′(i) = X(i) ⊕ X′′(i) tal que a sequˆencia acima ´e reescrita
na forma: 0 ✲ ∆ i ✒ β(i) 0 ✓ ✲ T (i) ⊕ T′′(i) ✲ ✒ π(i) 0 0 π′′(i) ✓ X(i) ⊕ X′′(i) ✲ 0
onde β(i) ´e a vers˜ao minimal `a esquerda de β′(i). Consideremos ent˜ao a
sequˆencia exata:
0 −→ △i β(i)
−→ T (i)−→ X(i) −→ 0.π(i) (3.7) Uma vez que as categorias Y(△) e F(△) s˜ao fechadas por somandos diretos (Corol´ario 3.3.6) temos que T (i) ∈ Y(△) ∩ F(△) e X(i) ∈ F(△1, . . . , △i−1).
A verifica¸c˜ao de que β(i) ´e uma Y(△)-aproxima¸c˜ao `a esquerda de △i ´e de
forma dual `a feita na prova do Lema 2.1.5 e, por isso, a omitiremos aqui. Demonstremos ent˜ao que T (i) ´e indecompon´ıvel. Para tanto, vamos supor que T (i) = T1⊕ T2, com Tj 6= 0, para j = 1, 2. Se denotamos β(i) = (β1, β2)t
e π(i) = (π1, π2)T, onde βj : △i−→ Tj e πj : Tj−→ X(i), para j = 1, 2,
temos que βj 6= 0, para toda j = 1, 2, pois β(i) ´e minimal. De outro lado,
observemos que △i ∼= Im β(i) = {(t1, t2) ∈ T1 ⊕ T2 : −π1(t1) = π2(t2)}.
Portanto, temos o seguinte diagrama de pull-back: △i β1 // β2 T1 −π1 T2 π2 //X(i).
Como X(i) ∈ F(△1, . . . , △i−1), temos ent˜ao que HomA(△i, X(i)) = 0. Por-
tanto π1β1 = π2β2 = 0. Assim do fato de que −π1β1 = 0π2 = 0, re-
α : △i−→ △i tal que β1 = β1α e β2α = 0. Claramente α n˜ao ´e invert´ıvel e
como EndA(△i) ´e um local, (pois △i ´e um A-m´odulo indecomponivel) por-
tanto α ´e nilpotente. Indutivamente ´e f´acil ver que β1αm = β1, para qualquer
inteiro positivo m ≥ 1. Em particular, se m ´e igual ao ´ındice de nilpotˆencia de α ent˜ao β1 = 0, o qual contradiz o fato de que β1 6= 0. Portanto, T (i) ´e
indecompon´ıvel.
A seq¨uˆencia (3.7), garante que os fatores de composi¸c˜ao de T (i) s˜ao os fatores de composi¸c˜ao de △i e os de X(i) ∈ F(△1, . . . , △i−1), que s˜ao os simples Sj com j ≤ i, sendo que Si deve ocorrer pelo menos uma vez. Dessa
forma temos que para i 6= j, T (i) e T (j) s˜ao n˜ao isomorfos pois β ´e n˜ao nula. Assim os m´odulos T (i), 1 ≤ i ≤ n, s˜ao dois a dois n˜ao isomorfos. Em conseq¨uˆencia, obtemos pois que F(△) ∩ Y(△) = add(⊕n
i=1T (i)).
Nosso intuito agora ´e estudar o anel dos endomorfismos EndA(T ) do A-
m´odulo inclinante associado a uma ´algebra estandarmente estratificada A. Come¸camos com algumas observa¸c˜oes gerais.
Observa¸c˜ao 3.5.14. Relembraremos aqui alguns fatos bem conhecidos, cuja verifica¸c˜ao ´e bastante simples e por isso ser´a omitida, e que ser˜ao bem uteis para o lema a seguir.
1. Se A ´e um anel qualquer e T ´e um A-m´odulo `a direita, ent˜ao T admite uma estrutura de natural de B-m´odulo `a esquerda, onde B = EndA(T ),
que ´e dada por f.x := f (x), para f ∈ B e x ∈ T . Mas do que isso, T ´e um B-A-bim´odulo.
2. Se X ´e um A-m´odulo `a direita, ent˜ao HomA(XA,BTA) tem uma estru-
tura natural de B-m´odulo `a esquerda, dada por β ∗ f = β ◦ f, para todo β ∈ B e para todo f ∈ HomA(XA,BTA). Dessa forma podemos consid-
erar o grupo abeliano G = HomB(HomA(XA,BTA),BTA) sobre o qual
tamb´em ´e poss´ıvel definir uma estrutura de A-m´odulo `a direita, que ´e dada por (ψ ⊙α)(g) = ψ(g)α, para ψ ∈ G, α ∈ A e g ∈ HomA(XA, TA).
3. Sejam R e S dois an´eis quaisquier. Consideremos M um R-m´odulo `a esquerda, N um S-m´odulo `a direita e U um R − S bim´odulo. Ent˜ao
HomR(RM, HomS(NS,RUS)) ∼= HomS(NS, HomR(RM,RUS)),
como grupos abelianos.
Observa¸c˜ao 3.5.15. Sejam A uma K-´algebra estandarmente estratificada e T o A-m´odulo inclinante associado. Ent˜ao o funtor F = HomA( , T ) :
mod A −→ B mod ´e exato em F(△) (este fato ´e decorrˆencia imediata da Proposi¸c˜ao 3.4.17).
Para estabelecer algumas rela¸c˜oes entre os A-m´odulos de F(△) e as suas imagens a trav´es do funtor F em B mod, fixaremos antes algumas nota¸c˜oes. Consideremos △ = (△1, △2, . . . , △n) a seq¨uˆencia de m´odulos estandares (`a
direita) com rela¸c˜ao a qual A ´e estandarmente estratificada. Vamos deno- tar por △′i o B-m´odulo `a esquerda HomA(△n−i+1, T ) e por △′ a seq¨uˆencia
(△′1, △′2, . . . , △′n) de B-m´odulos `a esquerda.
Com estas nota¸c˜oes, temos o seguinte lema que relaciona os A-m´odulos em F(△) e as suas imagens em B mod pelo funtor F .
Lema 3.5.16. Sejam A uma K-´algebra estandarmente estratificada e T o A-
m´odulo inclinante caracter´ıstico associado. Consideremos a K-´algebra B =
EndA(T ). Ent˜ao:
1. Para cada X ∈ F(△), a fun¸c˜ao avalia¸c˜ao
eX : XA−→ HomB(HomA(XA,BTA),BT )
´e um isomorfismo de A-m´odulos (`a direita).
2. O funtor F = HomA( , T ) ´e uma equivalˆencia de categorias entre
F(△) e sua imagem F (F(△)), que ´e uma subcategoria de B − mod.
3. Para cada X ∈ F(△), sua imagem F (X) ∈ B mod admite uma △′- filtra¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao. Para a prova de (1) observemos que o isomorfismo vale para X = T . Ent˜ao para os somandos diretos de T , portanto para todos os m´odulos em add T .
Suponhamos que X ∈ F(△). Pela prova do Teorema 3.5.5, via a ob- serva¸c˜ao 3.5.2 (2), obtemos uma fam´ılia de seq¨uˆencias exatas {ǫi}n−1i=1, com
ǫ1 : ( 0 −→ X −→ T0−→ X0−→ 0) e ǫi : ( 0 −→ Xi−1−→ Ti−→ Xi−→ 0),
onde Ti ∈ F(△) ∩ Y(△) = add( T ) , Xn−1 = Tn−1 e Xi ∈ F(△), para
i = 0, 1, . . . , n − 1.
Consideramos a seq¨uˆencia ǫn−2. Se denotamos HomA(XA, TA) por X∗ e
aplicamos o funtor HomA( , T ) a ǫn−2, obtemos a seq¨uˆencia exata curta
0 −→ T∗
n−1−→ Tn−2∗ −→ Xn−3∗ −→ 0, pois o funtor HomA( , T ) ´e exato em
F(△) pela Observa¸c˜ao 3.5.15.
`a seq¨uˆencia acima, obtemos o seguinte diagrama comutativo 0 //Xn−3 // eXn−3 Tn−2 // eTn−2 Tn−1 // eTn−1 0 0 //X∗∗ n−3 //Tn−2∗∗ //Tn−1∗∗ .
Desde que eTn−2 e eTn−1 s˜ao isomorfismos, ent˜ao eXn−3 ´e tamb´em um isomor-
fismo. Usando o mesmo argumento repetidamente a cada uma das seq¨uˆencias ǫn−3, . . . , ǫ1, nesta ordem, obtemos atrav´es da seq¨uˆencia ǫ1 que eX ´e um iso-
morfismo, o que prova (1).
Para (2), basta provar que o funtor HomA( , TA) : mod A −→ B − mod
´e um funtor fiel e pleno de F(△) na subcategoria de B-mod formada pela sua imagem. Assim o que resta provar ´e que HomA(X, Y ) ∼= HomB(Y∗, X∗),
para quaisquer X, Y ∈ F(△) (como grupos abelianos).
Desde que BTA ´e um B − A-bim´odulo e que Y∗ e X∗ s˜ao B-m´odulos `a
esquerda, ent˜ao podemos aplicar a Observa¸c˜ao 3.5.14 escolhendo R = B, S = A, U =B TA, M = Y∗ e N = X, obtendo assim que
HomB(Y∗, X∗) = HomB(Y∗, HomA(X, T )) ∼= HomA(X, HomB(Y∗, T )),
mas, pela parte (1), temos que YA ∼= HomB(HomA(Y, T ), T )A, e portanto
conclu´ımos que HomB(Y∗, X∗) ∼= HomA(X, Y ) (como grupos abelianos).
Seja X ∈ F(△). Para provar (3) usaremos indu¸c˜ao sobre o n´umero de ele- mentos de Supp△(X) = {i ∈ {1, 2, . . . , n} : [X : △i] 6= 0}. Se |Supp△(X)| =
1, ent˜ao X ∼= △tj, para algum j ∈ {1, 2, . . . , n} e algum t ≥ 1. Portanto
HomA(X, T ) ∼= HomA(△tj, T ) ∼= (△ ′ n−j+1)t. Logo F (X) ∼= (△ ′ n−j+1)t tem uma △′-filtra¸c˜ao.
Suponhamos que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para todo A-m´odulo M ∈ F(△) tal que 1 ≤ |Supp△(M )| < m. Seja X ∈ F(△) tal que Supp△(X) =
{i1, i2, . . . , im}, com 2 ≤ m ≤ n, e im = max Supp△(X). Pela Observa¸c˜ao
3.3.4, existe um subm´odulo M ⊂ X tal que Supp△(X/M ) = {i1, i2, . . . , im−1}.
Temos assim que a seq¨uˆencia exata 0 −→ M −→ X −→ X/M −→ 0 est´a em F(△). Aplicando o funtor F nesta seq¨uˆencia, obtemos a seguinte seq¨uˆencia em B mod:
0 −→ F (X/M ) −→ F (X) −→ F (M ) ∼= (△′n−im+1)
t−→ 0.
Como |Supp△(X/M )| < m, ent˜ao, pela hip´otese de indu¸c˜ao, resulta que
F (X/M ) admite uma △′-filtra¸c˜ao, o que junto com a ultima seq¨uˆencia exata leva `a conclus˜ao de que F (X) tamb´em admite uma △′-filtra¸cˆao.
Com este lema e lembrando a observa¸c˜ao anterior de que HomA(T (i), T ),
i = 1, 2, . . . , n, onde T = ⊕n
i=1T (i) ´e o A-m´odulo inclinante caracter´ıstico,
s˜ao os representantes dos B-m´odulos projetivos `a esquerda, indecompon´ıveis, provaremos no teorema que segue que a ´algebra B = EndA(T ) ´e uma ´algebra
estandarmente estratificada com rela¸c˜ao `a ordem oposta na qual A o ´e. Proposi¸c˜ao 3.5.17. Sejam A uma ´algebra estandarmente estratificada, rela-
tiva `a seq¨uˆencia de A-m´odulos (`a direita) estandares △ = (△1, △2, . . . , △n)
e T = ⊕n
j=1T (j) o A-m´odulo inclinante caracter´ıstico. Ent˜ao a K-´algebra
B = EndA(T ) ´e uma ´algebra estandarmente estratificada com seq¨uˆencia
de B-m´odulos (`a esquerda) estandares △′ = (△′1, △′2, . . . , △′n), onde △ ′ i =
Demonstra¸c˜ao. Seja △ = (△1, △2, . . . , △n) a seq¨uˆencia de A-m´odulos
(`a dereita) estandares, relativa a uma ordem fixada, para qual A ´e uma ´algebra estandarmente estratificada. Para cada i = 1, 2, . . . , n, denotamos por P′(i) o B-m´odulo (`a esquerda) Hom
A(T (n − i + 1), T ), que segundo a
observa¸c˜ao feita apos do o Lema 3.5.16, ´e projetivo e indecompon´ıvel. Fix- emos a seq¨uˆencia do conjunto dos idempotentes, primitivos e ortogonais de B segundo a seq¨uˆencia ordenada dos B-m´odulos projetivos indecompon´ıveis (P1, P2, . . . , Pn). Mostremos que a seq¨uˆencia △′ = (△′1, △′2, . . . , △′n), onde
△′i = HomA(△n−i+1, T ) ´e a seq¨uˆencia de B-m´odulos (`a esquerda) estandares.
Ou seja, vamos mostrar que para cada i = 1, 2, . . . , n, △′i ´e o quociente de P′(i) pelo subm´odulo gerado pelas imagens dos B-homomorfismos de P′(j)
para P′(i), com j > i.
Primeiramente, para um i = 1, 2, . . . , n fixado, pela Proposi¸c˜ao 3.5.13, existe uma seq¨uˆencia exata em F(△)
0 −→ △i′
β(i′)
−→ T (i′) −→ X(i′) −→ 0,
onde i′ = n − i + 1, β(i′) ´e uma Y(△)-aproxim¸c˜ao minimal `a esquerda de
△i′ e X(i′) ∈ F(△1, △2, . . . , △i′−1); al´em disso, os fatores de composi¸c˜ao de
T (i′) s˜ao A-m´odulos simples S
m, com m ≤ i′ = n − i + 1. Aplicando o funtor
F = HomA( , T ) `a seq¨uˆencia exata acima e usando o fato de que F ´e exato
em F(△), obtemos a seguinte seq¨uˆencia exata em B mod:
0 −−−→ F (X(i′)) −−−→ P′(i) −−−−→ △F(β(i′)) ′
i −−−→ 0. (3.8)
Seja j > i e consideremos g ∈ HomA(P′(j), P′(i)) = HomA(F (T (j′), F (T (i′)),
e F (F(△)) ⊂ B mod (Lema3.5.16 (2)), temos que g = F (h), para algum h ∈ HomA(T (i′), T (j′). Da mesma forma como o observado para o ´ındice i′, a
Proposi¸c˜ao 3.5.13 garante que s fatores de composi¸c˜ao de T (j′) s˜ao simples S k,
com k ≤ j′ ≤ i′. Assim, pelo Lema 3.2.7, obtemos que Hom
A(△i′, T (j′)) = 0
e, portanto, a composta hβ(i′) = 0. Em consequˆencia temos que
HomA(hβ(i′), T ) = HomA(β(i′), T ) HomA(h, T ) = HomA(β(i′), T )g = 0,
e, portanto, que Im g ⊆ F (X(i′). A seq¨uˆencia exata (3.8) e este ultimo fato,
mostraram que △′i´e o m´aximo quociente de P′(i) com fatores de composi¸c˜ao
com ´ındice no m´aximo i. Portanto esta provado que △′ = (△′1, △′2, . . . , △′n),
onde △′
i = HomA(△n−i+1, T ) ´e a seq¨uˆencia de B-m´odulos (`a esquerda) es-
tandares.
Mostremmos por fim que BB ∈ F(△′). Como para cada i = 1, 2, . . . , n,
P′(i) = F (T (n − i + 1)) e T (n − i + 1) ∈ F(△) temos, pelo Lema 3.5.16 (3),
que P′(i) tem uma △′
-filtra¸c˜ao, ou seja P′(i) ∈ F(△′
). Logo BB ∈ F(△′) e
esta provado que B ´e estandarmente estratificada, com rela¸c˜ao `a seq¨uˆencia △′ de B-m´odulos `a esquerda.
O Teorema 3.5.17 garante que a ´algebra B = EndA(T ) ´e estandarmente
estratificada (`a esquerda) e, por seu lado, o Teorema 3.5.5 garante que existe um B-m´odulo (`a esquerda) inclinante caracter´ıstico BT′, ent˜ao surge a per-
gunta: a ´algebra dos endomorfismos de T′, A′ = End
A(T′), ´e equivalente `a
´algebra original A? antes para responder esta quest˜ao, necessitamos do lema que segue, que a exemplo do Lema 3.5.16, relaciona tamb´em a categoria F(△) e a sua imagem F (F(△)) em B mod, onde F ´e o funtor HomA( , T ).
Lema 3.5.18. Sejam A uma ´algebra estandarmente estratificada, T o m´odulo
inclinante caracter´ıstico associado e B = EndA(T ). Se X, Y ∈ F(△), ent˜ao
Ext1B(F (Y ), F (X)) ∼= Ext1A(X, Y ),
onde F (X) = HomA(X, T ).
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que X, Y ∈ F(△). Ent˜ao, pela Observa¸c˜ao 3.5.2 (2), existe uma seq¨uˆencia exata da forma 0 −→ Y −→ T0−→ Y0−→ 0,
com T0 ∈ F(△) ∩ Y(△) = add T e Y0 ∈ F(△). Aplicando o funtor
HomA( , T ), que ´e exato em F(△), obtemos a seq¨uˆencia exata
0 −→ F (Y0) −→ F (T0) −→ F (Y ) −→ 0.
Agora aplicando o funtor HomB( , F (X)) na anterior seq¨uˆencia obtemos
a seq¨uˆencia exata longa
· · · −→ HomB(F (T0), F (X)) −→ HomB(F (Y0), F (X)) −→ Ext1B(F (Y ), F (X))
−→ Ext1B(F (T0), F (X)) −→ · · · .
Notemos que Ext1B(F (T0), F (X)) = 0, pois F (T0) ´e um B-m´odulo proje-
tivo. Usando o Lema 3.5.16 (2) obtemos o seguinte diagrama comutativo
HomB(F (T0), F (X)) //HomB(F (Y0), F (X)) //Ext1B(F (Y ), F (X))
HomA(X, T0) //HomA(X, Y0) //Ext1A(X, Y ),
onde os dois primeiros homomorfismos verticais s˜ao isomorfismos. Pela pas- sagem aos con´ucleos, obtemos que Ext1B(F (Y ), F (X)) ∼= Ext1A(X, Y ).
Assim a resposta `a quest˜ao colocada anteriormente sobre a rela¸c˜ao entre as ´algebras EndB(T′) e a ´algebra A estandarmente estratificada original ´e
dada pelo seguinte teorema.
Teorema 3.5.19. Sejam A uma K-´algebra estandarmente estratificada, T
o A-m´odulo (`a diereita) inclinante caracter´ıstico associado. Seja T′ o B-
m´odulo (`a esquerda) inclinante caracter´ıstico associado `a ´algebra estandar- mente estratificada B = EndA(T ). Ent˜ao a K-´algebra EndB(T′) ´e Morita
equivalente a A (isto ´e mod A′ ´e equivalente a mod A).
Demonstra¸c˜ao. Como AA ´e um progerador basta provar que
A′ = End
B(T′) ∼= EndA(A) ∼= A.
Como A ´e estandarmente estratificada, pela Proposi¸c˜ao 3.4.2, Pi ∈ F(△),
para 1 ≤ i ≤ n, e portanto, pelo Lema 3.5.16 (3) o HomA(Pi, T ) = F (Pi) ∈
F(△′). De outro lado, pelo Lema 3.5.18, temos que Ext1B(F (Y ), F (Pi)) ∼=
Ext1A(Pi, Y ) = 0, para todo Y ∈ F(△), isto ´e, F (Pi) ∈ F(△′) ∩ Y(△′) =
add T′. Desde que P
i ´e um A-m´odulo indecompon´ıvel, o B-m´odulo F (Pi) ´e
tamb´em indecompon´ıvel; mais ainda, HomA(Pi, T ) ≇ HomA(Pj, T ), se i 6=
j. Como, pela Observa¸c˜ao 3.5.4, T′ tem n somandos indecompon´ıveis n˜ao
isomorfos, conclu´ımos que ⊕n
i=1F (Pi) ∼= T′. Assim temos que
A ∼= EndA(A) ∼= EndA( n
M
i=1
Pi) ∼= EndB(F (Pi)) ∼= EndB(T′).
Portanto EndB(T′) ∼= EndA(A) ∼= A, como quer´ıamos.
3.6
Algebras quase-heredit´´
arias
Nesta se¸c˜ao abordaremos duas caracteriza¸c˜oes diferentes das ´algebras quase- heredit´arias. A primeria corresponde a defini¸c˜ao original de tais ´algebras dada por Cline, Parshall e Scott em termos de ideais heredit´arios e cadeias de hereditariedade. Mostraremos que tal defini¸c˜ao ´e equivalente a dada na Se¸c˜ao 3.4. A segunda caracteriza¸c˜ao diz que as ´algebras quase-heredit´arias n˜ao s˜ao outras que as ´algebras estandarmente estratificadas de dimens˜ao global finita. Cabe resaltar que embora demonstra¸c˜oes destas caracteriza¸c˜oes existam na literatura as aqui apresentadas s˜ao originais.
Come¸camos definindo os conceitos de ideal heredit´ario e de cadeia de hereditariedade.
Defini¸c˜ao 3.6.1. Sejam A um anel e J um ideal bilateral e n˜ao nulo de A.
O ideal J chama-se heredit´ario se J2 = J, JradAJ = 0, e J considerado
como A m´odulo `a direita ´e projetivo.
Uma cadeia do tipo 0 = J0 ⊆ J1 ⊆ . . . ⊆ Jt−1 ⊆ Jt ⊆ . . . ⊆ Jm = A
de ideais de A tais que para 1 ≤ t ≤ m, Jt/Jt−1 ´e um ideal heredit´ario de
A/Jt−1 ´e chamada de cadeia de hereditariedade de A.
Todas as ´algebras semisimples tem uma cadeia de hereditariedade, basta tomar a cadeia de ideais 0 ⊆ A ⊆ A, o quociente A/0 ∼= A ´e um ideal de hereditariedade de A/0 ∼= A pois AA ´e projetivo, A2 = A e A(rad A)A = 0,
pois rad A = 0.
Para caracterizar as ´algebras quase-heredit´arias em termos das cadeias de hereditariedade usaremos o seguinte lema, cuja demonstra¸c˜ao pode ser
encontrada em [8].
Lema 3.6.2. Se A ´e uma ´algebra com cadeia de hereditariedade, ent˜ao os
idempotentes primitivos podem ser reordenados de tal forma que
0 ⊂ Ae1A ⊂ A(e1+ e2)A ⊂ . . . ⊂ A(e1 + e2+ . . . + en)A = A
´e uma cadeia de hereditariedade para A. Al´em disso, a ordem definida no lema anterior define uma ordem na qual ela ´e quase-heredit´aria.
Proposi¸c˜ao 3.6.3. A ´algebra A ´e quase-heredit´aria se, e somente se, tem
uma cadeia de hereditariedade.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que A ´e uma ´algebra quase-heredit´aria na ordem e = (e1, e2, ..., en). Usando a nota¸c˜ao adotada na Se¸c˜ao 3.3, demon-