O leitor vê o instrumento musical abaixo? Chama6se monocórdio. Certamente, o leitor deve achá6lo bastante tosco. Entretanto, foi através desse instrumento que os pitagóricos começaram a estabelecer as primeiras relações entre Matemática e Música de que se tem conhecimento no Ocidente, assim como as primeiras bases da escala musical. Justiça seja feita, acredita6se que as relações matemáticas entre as medidas dos instrumentos musicais e os sons produzidos por eles já eram conhecidas no Oriente, todavia, foi Pitágoras de Samos quem entrou para a História como pioneiro nesse ramo. Atribui6se ao filósofo pré6clássico a invenção do monocórdio, cujo objetivo era encontrar razões de números inteiros que correspondessem a certos intervalos sonoros, além da relação entre o comprimento de uma corda e o som produzido por ela.
Pitágoras observou que, quando a corda é pressionada pela metade e tocada em seguida, o som obtido era uma oitava acima do som produzido pela corda inteira. Quando o comprimento da corda é reduzido a ⅔ do original, o som ouvido é uma quinta acima, e quando o
comprimento da corda é reduzido a ¾, uma quarta acima. Em seguida, associou os intervalos musicais por ele descobertos às consonâncias perfeitas, que produzem as notas musicais mais agudas dos intervalos musicais por ele estudados, sendo que a corda inteira produz o som mais grave. Todos esses intervalos entoavam de uma maneira natural, portanto, era interessante afinar os instrumentos musicais de maneira a relacioná6los. Os pitagóricos estabeleceram a oitava como base de sua escala musical, a partir daí tentando relacionar um “alfabeto musical” que se relacionasse a essa oitava através de escalas ascendentes e descendentes de quintas. Esse último problema, porém, não foi resolvido de maneira satisfatória pelos pitagóricos. De qualquer forma, suas idéias a respeito da música foram decisivas para o desenvolvimento da música ocidental até o final da Idade Média, quando seu modelo sofreu mudanças e acréscimos mais drásticos, permanecendo, de qualquer forma, como base do modelo de escalas musicais moderno.
Mas não pense o leitor que antes do Renascimento não surgiram modelos divergentes. Um deles foi o de Arquitas de Tarento, que lançou as bases da acústica moderna. Arquitas pensou que as consonâncias eram na verdade dois ou três sons simultâneos que eram ouvidos como um único som, o que transfere parte do problema para o sujeito. Além disso, atribui as diferenças de tom dos sons à sua velocidade e ao seu fluxo, no ar; quanto mais rápido e forte um movimento, mais agudo o som produzido. Ele também reparou que era possível obter as mesmas notas de cordas de instrumentos de comprimento, tensão e estruturas diferentes. Tal pensar desviou seus estudos de acústica da estrutura do instrumento em si para as particularidades de como era produzido o som e de como ele se propagava no meio. Também é importante mencionar que ele obteve uma série harmônica correspondente à atual. Contudo, o trabalho de Arquitas só foi retomado na Idade Moderna, com os estudos de acústica desenvolvidos nessa época.
Atualmente, sabe6se que uma nota que está uma oitava acima de outra vibra com duas vezes a freqüência dessa outra. Por exemplo, se a
nota La2 vibra com uma freqüência de 220Hz, a nota La3 vibra com uma freqüência de 440Hz. Podemos dividir os intervalos musicais que compõe uma oitava em doze, sendo que o décimo terceiro intervalo a partir de uma oitava já é a oitava seguinte. As freqüências das notas que compõem esses intervalos variam de acordo com uma PG cuja razão é
0594631 ,
1
2
12 1≈ . Por exemplo, se a nota La2 vibra com uma freqüência de 220Hz, a nota La3 vibra com uma freqüência de 440Hz.
Tanto a história da música quanto os fatos matemáticos e físicos relacionados a ela são muito mais extensos e fascinantes do que o que foi tratado aqui. Isto é apenas o começo que, por falta de espaço, não podemos desenvolver. Para o leitor interessado, indicamos os seguintes sítios eletrônicos onde pesquisar mais informações, os quais foram usados como fontes para este artigo:
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http://members.tripod.com/caraipora/assuntos.htm; http://www.somatematica.com.br/mundo/musica.php; http://cmup.fc.up.pt/cmup/musmat/MatMus_99.pdf
A experiência da Turma 304 na construção de um monocórdio
Nas fotos apresentadas, estão alguns alunos da turma 304 manipulando um monocórdio feito por eles e pelo professor Vieira. Resolveram fazer sua própria experiência com o instrumento e, assim, o construíram usando um paralelepípedo de madeira (obtido de um pé de mesa), alguns pregos, um fio de ` e um pedaço menor de madeira, móvel, usado para ajustar o monocórdio.
Em um primeiro momento, os alunos tentaram afinar o monocórdio de várias maneiras, mas não obtiveram som nenhum quando o tocavam. Então, o professor sugeriu que o tocassem com a base apoiada em uma cadeira; para a surpresa de todos, o monocórdio passou a produzir som.
Isso foi motivo de uma discussão entre os alunos, que chegaram à conclusão que era possível ouvir o som do monocórdio apoiado na cadeira graças a um fenômeno físico chamado “ressonância”.
Ressonância é um fenômeno físico pelo qual um sistema vibra na mesma freqüência que outro. Por exemplo: em um violão, ao tocarmos uma das cordas, ela vibra com uma freqüência '; o corpo do violão vibra na mesma freqüência que a corda, funcionando como uma câmara de ressonância.
Qual a vantagem de usar uma câmara de ressonância? Para responder a essa pergunta, é necessário lembrar o leitor que as ondas de som são ondas mecânicas (que se propagam por um meio físico) e têm três características que as definem: sua altura, sua intensidade e seu timbre.
O timbre de um som é a característica que nos permite identificar sua fonte, está relacionado com o padrão da onda sonora, ou seja, o “formato” da onda sonora. Assim, se ouvíssemos uma nota de violino e uma nota de piano exatamente na mesma freqüência e na mesma altura, seríamos capazes de distingui6las por causa de seu timbre.
A altura de um som está relacionada à sua freqüência: quanto maior a freqüência da onda sonora, mais agudo o som, quanto menor a freqüência, mais grave o som.
Finalmente, a característica que nos interessa no momento: a intensidade do som. A intensidade de um som está relacionada à quantidade de energia que sua onda carrega – quanto mais energia a onda carregar, maior sua intensidade. Em termos práticos, isso equivale ao do som; assim, toda vez que o leitor aumenta o volume de seu televisor ou de seu aparelho de som, está fazendo com que esses eletrodomésticos emitam sons de maior intensidade.
Mas como podemos relacionar isso com ressonância? Simples: uma corda, ao vibrar, faz com que o ar a sua volta vibre em ressonância, produzindo uma onda sonora de determinada intensidade. Quando essa corda vibra na mesma freqüência que uma câmara de ressonância, a vibração que esses dois objetos produzem no ar é muito maior, isto é, mais intensa. Ou seja, somar a vibração da câmara a da corda é como aumentar o volume.
O leitor já deve ter percebido o que foi feito com o som do monocórdio quando apoiaram o instrumento na cadeira: aumentaram seu volume usando a cadeira como uma câmara de ressonância. Em seguida, ligaram o monocórdio a duas caixas de som, que também funcionam como câmaras de ressonância, e obtiveram sons ainda mais nítidos.
Instrumentos de corda tradicionais, como violinos, violas violoncelos e até pianos, usam seus corpos (a armação de madeira) como caixas de ressonância. Já instrumentos elétricos, como guitarras, baixos e teclados, usam caixas de som como câmara de ressonância, por isso podem ter corpos mais “esbeltos”.
Depois de descobrir tudo isso, o monocórdio foi devidamente afinado pelos alunos, ligado na caixa de som e tocado! Assim, a Turma 304 descobriu como se faz um instrumento de corda, e muito, muito mais.
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