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O professor organizou o seu curso conforme a tabela 4.

O pesquisador35 e sua auxiliar de campo assistiram às aulas relativas aos tópicos de limites, derivadas e integrais. Devido à falta de disponibilidade de tempo, não assistimos às primeiras aulas, acerca do tema funções.

Em geral, observamos que as aulas são conduzidas pelo professor de forma tranquila, utilizando um tom de voz moderado. Ele geralmente perguntava aos alunos se compreenderam a explicação, porém, a participação era pequena. Observamos que cerca de dez alunos costumavam fazer perguntas ou comentários.

As aulas tinham como foco o professor e o quadro-negro. Os alunos sempre se sentavam em fila, copiavam o que ele escrevia no quadro e, em alguns momentos, dialogavam com o professor quando ele fazia perguntas.

35

Quando mencionarmos professor neste capítulo estamos nos referindo ao professor regente da turma. O

Tabela 4 – Planejamento da disciplina de Cálculo I.

Em quase todas as aulas observadas, identificamos alguns alunos que dormiam (três a cinco) e outros que saíam e entravam na sala com frequência. Algumas vezes, passavam-se

vários minutos com alunos fora de sala. Essa atitude está ligada a uma visão de que no Ensino Superior a resolução das listas de exercícios é o mais importante, a teoria dada em aula parece não atrair os alunos (LACHINI, 2001).

O professor verificava a presença dos alunos, fazendo a chamada em todas as aulas e nem sempre no mesmo horário. Normalmente, ele esperava um momento adequado entre as explicações, e, em alguns dias, deixava para os momentos finais da aula. Também observamos que alunos esperavam a chamada para abandonar a aula. Durante várias aulas a que assistimos, de três a cinco alunos foram embora após a chamada.

Outro aspecto a ser considerado é o fato de todos os alunos serem repetentes. Isso parece ter causado uma diferença na frequência entre as aulas dos conteúdos de limites, continuidade e integrais. Os alunos demonstravam mais familiaridade com os conteúdos de limites e derivadas (pelo menos no aspecto procedimental) do que com integrais. Segundo os alunos, isso se explica pelo fato de que, muitas vezes, o abandono da disciplina acontece antes do estudo das integrais.

Ao desenvolver o conteúdo, o professor sempre reservava um tempo para que os alunos fossem instigados e chegassem a formular conjecturas. Em vários momentos, o professor fazia perguntas buscando a participação dos alunos. Contudo, poucos se arriscavam a enunciar, ainda que com suas palavras, alguma definição. Em várias aulas, quase não se ouvia a voz dos alunos. Outra postura do professor era não responder diretamente às perguntas feitas. Normalmente, ele estimulava os alunos a refletir sobre a situação apresentada, conduzindo-os à resposta. Por exemplo, numa aula sobre limites, um aluno sugere que se faça uma determinada substituição, e o professor realiza o procedimento sugerido, permitindo que o aluno verificasse que não iria funcionar. Em aulas sobre aplicações da derivada o professor, a partir de perguntas, orientava os alunos na adequada interpretação do que deveria ser feito.

Exemplo de episódio em uma aula sobre aplicações da derivada:

O professor apresenta a seguinte questão: “Uma lata cilíndrica e feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata”.

E, um diálogo acontece: Prof. : A lata tem que formato? Aluno 1: cilíndrico.

Prof. : Como se calcula área total de um cilindro? Aluno 2: + 2

Prof. : Ou seja, a área depende do raio e da altura do cilindro.

Como a área depende de r e h e os alunos ainda não sabem derivar função que tenha mais de uma variável, torna-se necessário recorrer a formula do volume do cilindro e isolar r ou h. Logo o professor optou em isolar o r neste formula, ou seja,

Isolando r, temos

Substituindo h na formula da área total do cilindro, temos + 2

Prof.: O que fazer agora? Aluno 3: derivar!!!

Prof. : Queremos minimizar, devemos então encontrar o ponto de mínimo , logo

Logo

E agora como saber se é ponto de mínimo?

Aluno 4: Basta saber se a derivada segunda de A no ponto for maior que zero. Prof.: Isso mesmo, logo [ele escreve no quadro]

, logo e ponto de mínimo.

Prof. : Finalmente, encontramos a dimensão de , onde

O professor ressaltou que, neste exercício, a derivada segunda foi fundamental para confirmar que era ponto de mínimo.

Ele também teve o cuidado de explicitar e justificar todas as passagens de um procedimento. Todavia, notamos que certos tópicos de Matemática do Ensino Fundamental e Médio, esquecidos pelos alunos, fazem falta na compreensão de várias passagens importantes em questões do Cálculo.

Numa aula em que estava corrigindo a primeira prova, o professor comentou que muitos erraram o gráfico da função . Eles esqueceram que

. Na mesma prova, a dúvida mais comum foi em uma questão que pedia o domínio da função

.

A resolução feita pelos alunos seguia: .

A partir deste ponto, muitos fizeram . Então, o professor mostrou o erro da análise de , discutindo a resolução da inequação . O conceito de módulo não é de domínio dos alunos. Em outras aulas também apareceu dificuldade com o conceito de módulo. Uma questão de uma lista pedia para mostrar que:

e

O professor perguntou aos alunos o significado de , ninguém respondeu corretamente. Um aluno citou desigualdade triangular. Devido à dificuldade no conceito, ele mostrou o exemplo , que os alunos souberam calcular, mas não tinham a compreensão de módulo como distância.

O professor, sempre que possível, utilizava recursos como esboços, esquemas e, principalmente, gráficos em suas explicações. Observamos que ele utilizava, na maioria das aulas, apenas o quadro e o giz para apresentar as representações.

O conceito de limite foi introduzido a partir do gráfico da função

. Um aluno reconheceu a curva e outro utilizou um gesto com a mão para expressar o formato do gráfico. A seguir, discutiu limites infinitos usando o gráfico da função

e aproveitando para comentar sobre deslocamento de gráfico.

Em uma das aulas o professor enunciou o “Teorema do Confronto36_{” e utilizou a} interpretação geométrica para explicar e justificar o teorema. Contudo, na resolução dos exemplos (um deles foi calcular ) não fez referência aos gráficos, utilizando apenas os aspectos algébricos. É claro que, neste momento, seria complicado discutir o gráfico desse tipo de função, mas vemos aqui que, em um ambiente informatizado, várias funções poderiam ser exploradas para se mostrar situações que sugerem o uso do teorema dado. No laboratório, procuramos explorar um pouco mais este teorema, buscando visualizar alguns casos (Ver: Quarta Atividade).

36 _{“Se quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e}

Este último episódio é apenas um dentre vários no qual a presença de um software aumenta a possibilidade de exploração de conceitos e teoremas. O professor parecia concordar que o recurso visual é fundamental nesse processo de aprendizagem. Na aula sobre teoremas de limite, ao falar de assíntotas, ele declarou aos alunos: “Se vocês pensarem no gráfico, vocês não erram” e “Tenham sempre um gráfico na mente. O gráfico ajuda muito nessa hora”. Em outra aula, sobre derivadas, foi feito no quadro um esboço de uma curva e uma secante passando por dois pontos P e Q. O ponto Q é deslocado em direção a P e novas secantes são traçadas. O professor afirmou “Q é o nosso ponto móvel”. Mas, no quadro, o ponto nunca é “móvel” no sentido estrito da palavra. Novamente, utilizar um programa de geometria dinâmica traz vantagem por representar a dinamicidade de vários conceitos em Cálculo.

Não faz parte dos propósitos desta pesquisa analisar a prática do professor. As aulas foram descritas com o único propósito de situar o contexto no qual a proposta de ensino aconteceu.