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A aluna Sheila43 foi escolhida por ter participado de todas as atividades, sempre mostrando empenho. Não registramos no caderno de campo momentos em que ela tenha interagido com o professor da disciplina, enquanto este fazia perguntas. Contudo ela sempre procurou realizar as atividades propostas por ele. .

No laboratório, ela realizou apenas duas atividades (primeira e décima primeira) em dupla. Mostrou-se tímida, mas empenhada em realizar todas as atividades até o fim. Quando tinha alguma dúvida, recorria ao pesquisador ou à monitora. Diferentemente de sua postura em sala, no laboratório Sheila era participativa e questionadora..

A seguir, faremos uma breve análise de algumas atividades resolvidas por ela no laboratório.

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Na terceira atividade, ela apresentou esboços adequados para as duas funções. Não temos informações suficientes para afirmar que tenha cometido o mesmo erro de digitação que a maioria cometeu, mas em sua resolução não há marcas identificando correções. Apenas fica em destaque que, na função f(x) (primeiro desenho da figura 39), a assíntota vertical em x

= - não foi bem representada no esboço, apesar de ter utilizado a malha quadriculada para

representar a função. Isso talvez se devesse a não especificação no enunciado de quais elementos deveriam ser mais evidenciados no esboço pedido.

Figura 39 – Esboços da aluna 39 para a terceira atividade

Na quarta atividade, perguntamos se havia algo de errado com o gráfico de , ao ser representado no GeoGebra, e pedimos que comentasse (esperávamos que os alunos percebessem que o software não mostra a descontinuidade, já que a função não está definida para x = 0). Ela acabou não respondendo a questão, mas comentou o comportamento da função (figura 40). Sheila talvez não tenha entendido o objetivo do procedimento “... dar

um zoom nas proximidades do ponto de abscissa zero”. E respondeu a questão como se

tivesse olhado “para longe” do zero.

Figura 40 – Resposta da aluna 39 para primeira pergunta da quarta atividade

A pergunta seguinte buscava uma nova reflexão sobre a descontinuidade e a reta tangente. Ela fez a construção da reta tangente e, usando o recurso seletor, manipulou esta reta de forma a “passear” sobre o gráfico da função anteriormente representada. A questão pedia que verificasse o que acontece com o ponto de tangência e a reta em valores de x próximos de zero, em particular no próprio zero. Como a função não está definida em x=0, no GeoGebra a reta tangente some exatamente neste ponto. Pedimos para que relatassem o que observaram a partir da manipulação e o porquê disso acontecer. Neste caso, a resposta iria

confirmar a questão anterior. Abaixo, na figura 41, a resposta de Sheila mostra um equívoco sobre a diferença entre o coeficiente angular ser nulo e a reta tangente não existir. Talvez a questão do “limite” tenha causado confusão e é possível que ela tenha analisado a questão sob o ponto de vista de que “no limite” a tangente estaria paralela, mas, de fato, ela realmente não existe. Nesse caso, a reta tangente “tende” à paralela.

Figura 41 – Resposta da aluna 39 para segunda pergunta da quarta atividade

Em seguida, a atividade pedia para plotar o gráfico da função 1/x . Essa função oscila infinitamente entre -1 e 1 nas proximidades de zero. Sheila descreve esse comportamento em termos de variação. No item (ii), onde se pergunta se existe o limite de

f(x) quando e pede para justificar, sua resposta apresentou informações da teoria (“os limites laterais devem ser iguais” e “o limite deve ser único”), contudo, incoerentemente,

respondeu que os limites tendem ao infinito nas proximidades de zero. A resposta nos dois itens demonstra uma incompreensão do significado visual da oscilação infinita do gráfico nas proximidades de zero.

Figura 42 – Resposta da aluna 39 para questão da quarta atividade

Essas três questões avaliavam a compreensão dos fundamentos que justificam a aplicação do teorema do confronto. As respostas de Sheila foram produzidas a partir do gráfico exposto na tela do computador, portanto, deveriam complementar o conhecimento das informações expressas nas representações analíticas das funções. Suas respostas na figura 42 evidenciam que ela detém algumas definições, contudo a conexão entre a visualização e as noções relacionadas aos conceitos não está clara para ela.

A quarta parte da quarta atividade pedia para que os alunos mostrassem analiticamente, usando o teorema do confronto, que . A resolução de Sheila é apresentada na figura 43.

Figura 43 – Resolução da aluna 39 de um limite usando o teorema do confronto

Na resolução, Sheila utiliza corretamente o argumento de que a função seno é limitada e realiza o procedimento algébrico. Não há explicações para as etapas da resolução e o único deslize cometido foi a falta do sinal de .

Para a quinta atividade, nota-se que Sheila conseguia manipular com facilidade o programa. A seguir, apresentamos e comentamos algumas de suas resoluções.

Seus esboços para a primeira parte da questão são apresentados na figura 44 (ver 4.3.3).

Figura 44 – Esboços da aluna 39 para a quinta atividade

Após a manipulação no software e posterior desenho dos esboços no roteiro, pedia-se que analisasse os gráficos (em relação à concavidade, máximos/mínimos locais e globais, crescimento/decrescimento, etc.) para valores positivos, negativos e quando c era igual a zero. Quando c = 0, a função se transforma em f(x) = x³, cujo gráfico é reconhecido pelos alunos. Para a família de funções f(x) = x³ +cx, quando c<0, nos gráficos é possível perceber

intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais. Já quando c>0, as funções são estritamente crescentes e não há máximos e mínimos locais. Em todos os três casos, zero é ponto de inflexão.

Figura 45 – Resposta da aluna 39 para questão da quinta atividade

Para c>0, Sheila conjectura que a “inclinação diminui/tende a uma reta” (Figura 45). Ela usa a palavra inclinação talvez por não ter pensado em um termo mais adequado. Nesse caso, quando aumentamos os valores de c, o crescimento da função é muito “rápido”, logo a aparência do gráfico é visualmente próximo de uma reta, conforme a figura 18.

A resposta do próximo item está na figura 46.

Figura 46 – Resposta da aluna 39 para a questão da quinta atividade

Sheila não teve dificuldade neste item, pois se tratava de uma questão mecânica, puramente algébrica. Analisando a atividade, percebemos que poderiam ser feitas outras explorações relacionadas a este como, por exemplo, buscando associar a forma dos gráficos das funções e suas derivadas e discutir o que ocorre para valores positivos de c, tendo em vista que, neste caso, x1 e x2 não seriam números reais.

No item seguinte, Sheila analisou a construção (ver figura 20) e respondeu parcialmente ao que estava sendo pedido. Sua resposta (figura 47) apenas identificou os intervalos de crescimento/decrescimento e concavidades para a função, faltando estabelecer a relação entre crescimento/decrescimento e o sinal de f’(x).

Figura 47 – Resposta para terceira questão da quinta atividade

A segunda parte desta atividade, dando continuidade à proposta anterior, procurou trazer para uma análise geométrica a relação entre o gráfico da função e de sua derivada segunda. As respostas de Sheila para a atividade estão na figura 48.

Figura 48 – Resposta da aluna 39 para a segunda parte da quinta atividade

É possível que, para responder à primeira pergunta, ela tenha associado o gráfico com a expressão analítica, dado que

f(x) = x³+cx f’(x) = 3x +c f”(x) = 6x

isto é, f”(x) não depende de c.

Na pergunta seguinte, sua resposta mostra que quando afirmou anteriormente que o gráfico “tende para uma reta”, ela pode ter interpretado usando as ideias de limite como

aproximar sem necessariamente chegar. A alteração na escala (figura 49) buscava fazer o

Figura 49 – Função f(x) = x³+50x na escala de 1:100

Na sétima atividade, Sheila não apresentou qualquer dificuldade. Sua modelagem foi correta e não houve dúvidas na manipulação (figura 50).

Figura 50 – Construções e resposta da aluna 39 para a sétima atividade