A fim de compreender a noção de transformações geométricas, detivemo- nos em alguns momentos específicos da História para extrair, desses períodos, situações em que as transformações geométricas foram se consolidando.
Segundo nosso olhar atual, uma primeira ideia de transformações geométricas pode ter sido dada sob a forma da proposição IV, do livro Elementos de Euclides que trata da congruência de triângulos. O caso lado-ângulo-lado (L-A- L) dá a ideia de translação, visto que nos apresenta a noção, tanto de movimento, como de “coincidência” de triângulos
[...] para provar o caso de congruência L-A-L, Euclides começa por mover um dos triângulos de forma a fazê-lo “coincidir” com o outro, mas nenhum dos postulados lhe permitia esse movimento. Como garantir que o movimento não alterava a forma do triângulo? Faltava, portanto, um postulado que garantisse que as propriedades das figuras (comprimentos e ângulos) permanecessem inalteradas durante seu deslocamento. Alguns geômetras sugeriram o seguinte postulado “as figuras geométricas
podem deslocar-se sem modificar seu tamanho e forma". Esse postulado foi utilizado por todos os geômetras gregos, mas sem enunciá-lo explicitamente. [...] em 1557, o geômetra Pelletier o considera como uma definição. Em 1638, o geômetra Borelli toma a precaução de advertir: vamos sobrepor os triângulos não materialmente, mas sim intelectualmente. Em 1898, Hilbert o inclui na lista de seus postulados (é chamado, hoje, caso LAL de congruência de triângulos). (BONGIOVANNI, p. 6)23
Contudo, não podemos afirmar que Euclides tinha essa noção, mesmo porque esse “movimento” era em realidade a superposição de figuras. Esta superposição de triângulos não pode ser considerada como uma transformação, posto que, de acordo com Cabrera (1949), os movimentos dados na construção com os elementos primitivos – circunferência e reta – usando régua e compasso, eram, para os gregos eram “movimentos perfeitos”, aceitando sua existência suprimiam da geometria, por não ser necessário, todo movimento nas demonstrações. Além disso, Cabrera (1949) assinala que
[...] Euclides teve plena consciência do problema de recorrer ao “movimento”, operação física não apropriada para a demonstração de propriedades geométricas que se referem a figuras não sensíveis, somente vistas pela imaginação. (CABRERA, 1949, p. 106, tradução nossa do original espanhol)
O autor afirma que outra maneira de formular rigorosamente a congruência de figuras é dar, como noção primitiva, o movimento geométrico.
Séculos após, no Renascimento, o arquiteto famoso, escultor e pintor Filippo Brunelleschi (1377-1446) inicia a geometrização da perspectiva.
[...] Brunelleschi descobriu os princípios da perspectiva linear, que, conhecidos por gregos e romanos e esquecidos durante toda a Idade Média. Restabeleceu na prática o conceito de ponto de fuga, e a relação entre a distância e a redução no tamanho dos objetos. Seguindo os princípios ópticos e geométricos enunciados por Brunelleschi, os artistas da época puderam reproduzir objetos tridimensionais no plano24.
De acordo com Cavalca (1998), Brunelleschi, por volta de 1415, utilizou um novo método de pintura denominado “construção legítima” que se baseava na ___________
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http://br.geocities.com/prof_afonso/tex4euclides.doc
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dupla projeção ortogonal, de modo que as duas projeções permitiam determinar a posição de cada ponto imagem sobre o Quadro, ou seja, determina-se um ponto de vista principal ou ponto de fuga.
[...] a partir do controle da técnica, com a aquisição do saber fazer, possibilita-se o saber pensar e o saber olhar. Com o domínio sobre o pensar, o espaço, Brunelleschi conquista a descoberta e aplicação prática da costruzione legittima de Alberti. Haverá, a partir desse descobrimento, uma mudança na maneira de ver e representar, quando a expressão plástica adota uma visão do espaço que permite mensurá-lo, construí-lo de maneira científica e representá-lo geometricamente. (COSTA, 2004, p. 55)
Embora Brunelleschi tivesse criado o novo método, foi o arquiteto italiano Leon Battista Alberti quem teorizou as ideias de Brunelleschi e determinou o ponto de fuga central. O pintor e geômetra Piero Della Francesca validou o método de Alberti e [...] foi o primeiro a apresentar uma regra para a determinação geométrica e numérica da diminuição das linhas de mesmo comprimento, paralelas à linha terra, equidistantes e situadas no plano geometral. (CAVALCA, 1998, p. 21)
Essa geometrização da perspectiva assinala um momento em que, por causa da necessidade de representar objetos tridimensionais, as transformações geométricas, homotetia e translação foram utilizadas. Nesse período, no século XIV, desenvolveu-se o interesse pelas representações planas de figuras espaciais.
No século XVI, Guidobaldo Marchese Del Monte (1545-1607) escreveu um tratado de seis livros de perspectiva, Perspectivae Libri sex, publicado em 1600. Trata-se do primeiro livro de perspectiva que contém teoremas, deduzidos por ele, com base nos Elementos de Euclides. Entretanto, o mais importante resultado do tratado diz respeito ao conjunto de retas paralelas e não paralelas ao plano da figura que convergem em um ponto que desaparece. Esse tratado representou um enorme avanço para compreender a Geometria envolta na perspectiva e, sua contribuição principal foi o início do desenvolvimento da Geometria Projetiva.
No livro de Girard Desargues Brouillon d´un projet d’une atteinte aux événements des rencontres d’un cone avec un plan25 de 1639, encontra-se a primeira formulação da relação entre transformação e invariante. Desargues logrou atrelar a perspectiva do Renascimento com o princípio de continuidade de Kepler. De acordo com Boyer,
[...] a geometria projetiva de Desargues tinha uma enorme vantagem em generalidade sobre a geometria métrica de Apolônio, Descartes e Fermat, pois muitos casos especiais de um teorema se juntaram num enunciado geral. (BOYER, 1996, p. 248)
Uma de suas principais contribuições foi o famoso “Teorema Fundamental de Desargues”
Se dois triângulos, coplanares ou não, situam-se de maneira que as retas que unem os pares de vértices correspondentes são concorrentes, então, os pontos de interseção dos pares de lados correspondentes são concorrentes, então, os pontos de interseção dos pares de lados correspondentes são colineares e vice-versa. (EVES, 1995, p. 360)
Dois séculos depois das descobertas de Desargues, Jean Victor Poncelet (1788-1867) deu continuidade ao trabalho de Desargues e publicou, em 1822, o Traité des propriétés projectives des figures, que é um estudo de Geometria projetiva, utilizando Geometria Sintética26, isto é, o estudo não envolveu métodos analíticos, mas, apenas geométricos, de modo que as propriedades de uma figura permanecem invariantes sob projeção. O trabalho de Poncelet foi continuado por Chasles (1798-1880), mas a Geometria Projetiva estudada por ele usou os métodos sintético e analítico.
A Geometria Analítica de Plucker (1801-1868) empregou um novo sistema de coordenadas, chamadas coordenadas homogêneas27. Na mesma época, o trabalho de Geometria Analítica de Möbius (1790-1860) Der barycentrische Calcul,de 1827, transformou-se em um clássico que incluiu muitos resultados em Geometria Projetiva. Nele, discutiu as transformações, classificando-as como ___________
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Esboço de Projeto de uma tentativa de lidar com os Casos Possíveis de Interseção de um Cone com um Plano.
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Geometria que utiliza métodos geométricos nas construções e demonstrações.
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Um ponto (X, Y) do plano é representado, em coordenadas homogêneas, por [w, x, y], onde X = x/ w e Y = y/ w. Desse modo, o ponto cartesiano (X, Y) corresponde a uma infinidade de triplas [w, wX, wY].
congruências, semelhanças, afins ou colineares, além de sugerir o estudo de invariantes em cada família de transformações. Desenvolveu também uma configuração chamada agora banda de Möbius, que teve um papel de destaque no desenvolvimento da Geometria Projetiva.
Felix Klein, assistente de Puckler, em 1871, fez descobertas em Geometria e publicou dois artigos, o primeiro, On the So-called Non-Euclidean Geometry, no qual mostrava que existe a possibilidade de considerar a Geometria Euclidiana e a não Euclidiana, como casos particulares de uma superfície projetiva com uma seção cônica contígua. No ano seguinte, apresentou o programa Erlanger no qual mostrou como a Teoria dos Grupos poderia relacionar as Geometrias, Sintética e Algébrica.
Boyer (1996) assinala que o programa Erlangen, de 1872, descrevia a Geometria como o estudo das propriedades das figuras que permanecem invariantes sob um particular grupo de transformações e que toda classificação de um grupo de transformações tornava-se uma codificação das Geometrias, ou seja, nesse programa, tentou-se unificar as diferentes Geometrias, recorrendo ao conceito de grupo de simetrias.
A abordagem de Klein trouxe notáveis mudanças, embora tivesse pouca divulgação nos primeiros 20 anos após sua publicação e marcou o desenvolvimento da Geometria do século XX.