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Para Duval (1995), a aprendizagem em Matemática está ligada aos processos de semiosis e noesis; denomina semiosis, a produção de uma representação semiótica e, noesis, os atos cognitivos, como a apreensão conceitual de um objeto, a discriminação de uma diferença ou a compreensão de uma inferência.

Para Duval (2003), existe diferença entre a atividade cognitiva necessária em Matemática em relação a outros domínios de conhecimento, essa diferença tem duas características: as representações semióticas e a existência de muitas dessas representações usadas em Matemática. É o caso, por exemplo, dos sistemas de numeração, das figuras geométricas, das escritas algébricas formais, das representações gráficas e da língua natural.

O autor classifica os registros de representação semiótica, segundo sua natureza, em: multifuncionais, tipo de registro que admite várias formas de tratamento, mas não podem ser algoritmizáveis, como a língua natural e a configuração de figuras geométricas; monofuncionais, sobretudo, o registro algébrico, sistemas numéricos, registro simbólico e gráfico cartesiano.

Além do mais, o autor aponta que há dois tipos de transformações de registros de representações semióticas: os tratamentos e as conversões. Os tratamentos são transformações dentro de um mesmo registro, ou seja, uma transformação interna; as conversões são transformações de representações que consistem na mudança de registro, conservando os mesmos objetos matemáticos.

Duval (1995) assinala que a atividade cognitiva necessária em Geometria é complexa, posto que os tratamentos, separados em diferentes registros, podem não ser suficientes para resolver uma situação. Portanto, os processos em Geometria necessitam da coordenação entre tratamentos específicos do registro figural e língua natural, ou seja, da conversão.

O autor afirma que a Geometria envolve três formas de processos cognitivos importantes:

Visualização: serve para a exploração heurística de uma situação; Construção de configurações: são formadas por um conjunto de

ações representadas, e os resultados observados ligados aos objetos matemáticos são representados.

Raciocínio: conduz para a prova e explicação.

De acordo com Duval (1995), em Geometria, o registro figural pode mostrar, de maneira mais rápida e clara, a solução de uma situação-problema. O autor assinala que: a própria diferença do que uma figura é capaz de “mostrar” ao estudante e ao professor, sugere que há diferentes apreensões de uma mesma figura. (DUVAL 1995, p. 78, tradução nossa do original francês).

De acordo com Duval (1995), o registro figural possui as seguintes apreensões:

1. Apreensão sequencial: refere-se à ordem da construção de uma figura

geométrica, com a ajuda de um instrumento que depende, por um lado, das propriedades da figura; e por outro, das limitações do instrumento usado. Exemplo: construção de um prisma reto de base pentagonal. Os dados do Quadro 5 mostram a sequência de passos para a construção desse prisma, utilizando o Cabri 3D.

Quadro 5. Apreensão sequencial de um prisma pentagonal

Apreensão sequencial de um prisma pentagonal construído com Cabri 3D

A apreensão sequencial, para realizar a construção do prisma reto de base pentagonal com o Cabri 3D, é dada pelo encadeamento de passos para sua construção.

Passo 1: selecione a ferramenta “polígonos

regulares” para criar um pentágono regular no plano de base com centro Ο.

Passo 2: utilize a ferramenta “perpendicular” para

criar uma reta r perpendicular ao plano de base que passe pelo centro Ο.

Passo 3: com a ferramenta “vetor”, criar um vetor

vG com origem no centro do pentágono e que passe pela reta perpendicular r.

Passo 4: utilize a ferramenta “prisma” do Cabri

3D. Clique no pentágono, que forma a base do

prisma; em seguida, clique no vetor vG. Dessa forma, a construção é validada.

2. Apreensão perceptiva: diz respeito à interpretação das formas de uma

figura geométrica (Quadro 6) que permite identificar ou reconhecer de forma direta o objeto.

Quadro 6. Apreensão perceptiva de um cubo

Apreensão perceptiva de um cubo construído com o Cabri 3D

A figura representa o cubo ABCDEFGH

3. Apreensão discursiva: corresponde à explicitação de outras

propriedades Matemáticas da figura, além das que são assinaladas por uma legenda ou pelas hipóteses, como mostramos nos dados do Quadro 7. Nesta apreensão, outras propriedades são apontadas, ainda que não sejam explícitas visualmente ou por meio de legendas.

Quadro 7. Apreensão discursiva de um tetraedro regular

Apreensão discursiva de umtetraedro regular construído com Cabri 3D

ABC, ABD e ACD são triângulos equiláteros.

As retas que passam pelos três vértices do tetraedro, perpendiculares às faces opostas, interceptam-se em um mesmo ponto.

4. Apreensão operatória: modificações e/ou transformações possíveis da

figura inicial e pela reorganização perceptiva que essas modificações apontam para obter novos elementos que podem nos levar à solução de uma determinada situação-problema. De acordo com Duval (1995), a apreensão operatória permite ter uma visão “dinâmica” das características da figura. Como a apreensão depende das modificações que podem ser feitas na figura, o autor classifica-as em:

Modificação Mereológica: a figura separa-se em subfiguras que podem ser reagrupadas. Por exemplo, os dados do Quadro 8 mostram a decomposição do octaedro regular ABCDEF em duas pirâmides ABCDE e ABCDF de mesmo volume. Para fazer essa decomposição no Cabri 3D, utilizamos a transformação translação.

Quadro 8. Modificação mereológica de um octaedro regular

Modificação mereológica de um octaedro representado no espaço e construído com Cabri 3D

Figura inicial: octaedro ABCDEF.

A figura inicial é modificada com a transformação geométrica translação. E com a ferramenta medida do volume, as medidas do volume do octaedro e das subfiguras são indicados.

A transformação geométrica translação é utilizada nesse caso, para transformar a figura inicial em subfiguras: duas pirâmides de base quadrada.

Modificação ótica: a figura pode ser deformada ou transformada em outra, por exemplo, nos dados do Quadro 9, por meio da transformação geométrica homotetia de razão 3 podemos transformar um tetraedro regular em outro.

Quadro 9. Modificação ótica de um tetraedro regular

Modificação ótica de um tetraedro construído com Cabri 3D

Figura inicial: tetraedro ABCDEF e ponto

P (homotetia definida pelo ponto) no

plano de base.

A figura inicial é transformada, utilizando a transformação geométrica homotetia (definida por seu centro P e pela razão três).

Modificação posicional: a figura pode ser deslocada em relação a um referencial. Tomamos, como exemplo, a rotação de um cubo ABCDEFGH em torno do eixo e, segundo o ângulo XOY, como mostramos nos dados do Quadro 10. A modificação posicional pode ser observada, por exemplo, na rotação de um cubo.

Quadro 10. Modificação posicional de um cubo

Modificação posicional de um cubo construído com o Cabri 3D

Na figura inicial, constrói-se o cubo

ABCDEFGH e o eixo de rotação e.

A figura inicial é deslocada, utilizando a transformação geométrica rotação (em torno ao eixo e, segundo o

ângulo X ˆOY).

Com base nesse registro criado por Duval (1995) e com o surgimento da Geometria Dinâmica, o registro figural dinâmico precisa ser considerado. Entendemos como registro figural dinâmico, o registro figural utilizado em ambientes de Geometria Dinâmica. No trabalho, as figuras são construídas utilizando o Cabri 3D, razão pela qual consideramos esse registro.

Além disso, Duval (2002) distingue visão de visualização. A visão refere-se à percepção visual e, por extensão, à imagem visual. Segundo o autor, a visão, como percepção, envolve duas funções cognitivas:

Função epistemológica: acesso direto a qualquer objeto físico, a qualquer objeto que se vê. Nesse sentido, a percepção visual sempre é tomada como modelo da noção epistemológica de intuição.

Função sinóptica: a visão parece dar imediatamente a apreensão de qualquer objeto ou situação.

No entanto, o autor afirma que,

[...] a função sinóptica na percepção visual é imperfeita. Em primeiro lugar, porque vivemos em um mundo tridimensional: somente um lado das coisas pode ser visto, e a completa apreensão requer movimento [...] esse movimento é a transformação do conteúdo percebido: temos somente uma sobreposição de vistas sucessivas [...], em segundo lugar, porque a percepção visual sempre focaliza uma parte em especial de uma área e pode pular de uma parte a outra. (DUVAL, 2002, p. 321, tradução nossa do original inglês)

Duval assinala que não pode existir visão sem exploração e aponta que a diferença entre visão e visualização consiste em que a primeira permite um acesso direto ao objeto, a segunda baseia-se na produção de uma representação semiótica, [...] a representação semiótica, mostra relações, melhor dizer, organização de relações entre unidades representacionais. [...] Não há compreensão sem visualização. (DUVAL, 2002. p. 321, tradução nossa do original inglês)

De acordo com o autor, essas diferenças trazem duas consequências para a aprendizagem de Matemática. A visualização, como atividade cognitiva, é intrinsecamente semiótica e, as expressões “imagem mental” e “representação mental”, segundo o autor, podem ser uma extensão da percepção visual; não obstante, a “representação mental”, como produção mental de representações semióticas, pode ser visualizada e possui fortemente a função sinóptica.

Além do mais, a representação semiótica depende da apreensão perceptiva e é sempre mostrada dentro da percepção visual (registro figural) ou em sua extensão mental.

A teoria de Duval permite complementar o referencial teórico da pesquisa quando assinala que, para o funcionamento cognitivo, a distinção entre um objeto e sua representação e a compreensão da Matemática, como uma atividade que mobiliza uma variedade de registros de representação semiótica, são de fundamental importância na Matemática. Como a pesquisa está centrada no estudo da apropriação do Cabri 3D e das transformações geométricas no espaço e nas maneiras como os estudantes interagem com as figuras tridimensionais, a teoria de Duval complementa o referencial teórico.