O modelo de McIntosh, Reys e Reys
McIntosh et al. (1992), para além de descreverem o que entendem por sentido de número, propõem um quadro de referência para o examinar. Este quadro, conhecido habitualmente por modelo de McIntosh, corresponde a uma tentativa de organizar as suas componentes, considerando três grandes áreas: (i) o conhecimento e a destreza com os números; (ii) o conhecimento e a destreza com as operações; e (iii) a aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em situações de cálculo. Cada uma destas áreas é desdobrada num conjunto de aspetos particulares que, por sua vez, são desenvolvidos a um nível ainda mais específico (Anexo 1). Uma vez que neste trabalho se adota a caracterização de sentido de número dos autores referidos, assume especial relevância a clarificação dos aspetos que o caracterizam. Assim, são descritas, em seguida, de modo detalhado e aprofundado, as três áreas que funcionam como eixos organizadores das múltiplas componentes do sentido de número.
Conhecimento e destreza com os números
De acordo com McIntosh et al. (1992), a primeira grande área – o conhecimento e a destreza com os números – engloba (i) sentido da ordenação dos números; (ii) múltiplas representações dos números; (iii) sentido das grandezas, relativa e absoluta, dos números e (iv) sistemas de valores de referência.
O sentido da ordenação dos números está relacionado com o conhecimento sobre o sistema de numeração Indo-Árabe, as suas características e o modo como estas se refletem na construção dos números. A compreensão do valor de posição e da sua aplicação aos números nas suas diferentes representações, das relações de grandeza e de ordem entre números representados da mesma maneira ou utilizando diferentes modos de representação são aspetos que estão incluídos nesta categoria. Por exemplo, quando uma criança aprende a contar oralmente e a escrever a sequência dos primeiros números naturais até cinquenta, vai identificando regularidades tanto ao nível das palavras que usa para dizer os números como ao nível da sua escrita. Estas regularidades são inerentes ao sistema de numeração decimal e posicional e a sua identificação auxilia na extensão do universo numérico e na construção de números cada vez maiores. Quando os alunos contactam inicialmente com os números na sua representação decimal, é importante perceberem as regularidades associadas a essa notação, uma vez que esta perceção contribui para os conseguirem comparar e ordenar. Aspetos semelhantes a estes estão associados ao conhecimento de outros conjuntos numéricos, nomeadamente quando são introduzidos os números racionais e as suas diferentes representações.
O conhecimento e a destreza com os números englobam, também, conhecer as múltiplas representações dos números. De facto, os números surgem associados a diferentes representações, umas gráficas, outras simbólicas, sendo fundamental o seu reconhecimento. Ter sentido de número implica reconhecer que, por exemplo, o número oito pode ser representado como 2+2+2+2 ou 2×4 ou 4×2 ou 10−2, de acordo com os contextos e/ou com os problemas que é necessário resolver. Fazer composições e decomposições adequadas e comparar números com outros de referência, são aspetos que contribuem para o desenvolvimento do sentido de número no que diz respeito a esta componente. Por exemplo, saber que 2,49 é, aproximadamente, 2,5 permite, no contexto
de um problema que envolve dinheiro, arredondá-lo para 2,5 de modo a facilitar o cálculo ou analisar a razoabilidade de uma determinada solução.
O sentido das grandezas, relativa e absoluta, dos números diz respeito à capacidade para reconhecer a grandeza de um determinado número em termos absolutos e de acordo com determinados contextos. Assim, para uma criança de oito anos, 1000 é um número muito grande mas esta não tem noção nenhuma da sua ordem de grandeza. Neste sentido, é importante proporcionar-lhe experiências a partir das quais possa contextualizar 1000 e aperceber-se da sua grandeza e de como esta se altera em relação a determinados referenciais. Se 1000 representar 1000 metros e se estivermos a pensar na distância percorrida por um aluno todos os dias, de automóvel, de casa para a escola, 1000 metros é uma distância bastante curta. No entanto, se 1000 representar o número de berlindes da sua coleção, o mesmo número representa uma quantidade bastante grande de berlindes.
Usar um sistema de valores de referência (benchmarks) permite, nomeadamente avaliar uma resposta ou arredondar um número para facilitar um determinado cálculo. Os números utilizados como referência podem ser de cariz matemático ou pessoal e estão relacionados com a experiência adquirida pelos alunos na aula, intencionalmente, e no seu dia-a-dia através de experiências pessoais. Os de cariz matemático estão associados, sobretudo, aos múltiplos de dois, cinco e dez e às várias representações de metade e de um quarto da unidade (0,5; ½; 50%; 0,25; ¼; 25%). Os números de referência de carácter pessoal têm a ver com comparações que cada um pode fazer considerando números que, para si, têm um significado particular. Por exemplo, se um aluno souber que mede 1,6 metros este número pode funcionar como número de referência para estimar a altura de um outro colega mais alto ou mais baixo. A perceção do sentido de número de cada um está relacionada com a diversidade e a complexidade dos números de referência usados na tomada de decisões em contextos numéricos.
Conhecimento e destreza com as operações
Na segunda grande área — o conhecimento e a destreza com as operações — McIntosh et al. (1992) incluem a compreensão (i) do efeito das operações; (ii) das propriedades matemáticas; e (iii) das relações entre as operações.
A compreensão do efeito das operações está associada ao conhecimento das suas consequências tendo em conta os números utilizados. Por exemplo, no caso da multiplicação, frequentemente, os alunos associam o resultado desta operação a um número maior, ou igual, que os fatores envolvidos. Este facto acontece porque a multiplicação, inicialmente, é modelada a partir de situações de adição de parcelas iguais e porque o universo numérico em que se calcula corresponde aos números inteiros positivos. No entanto, quando se amplia o conjunto numérico em que se opera, esta associação nem sempre é correta. Assim, é importante diversificar os contextos e os modelos associados a cada uma das operações, de modo a que os alunos possam compreender, globalmente, as interações existentes entre as operações e os números envolvidos, contribuindo, desta maneira, para o desenvolvimento do seu sentido de número.
A compreensão das propriedades matemáticas de cada operação contribui para o seu uso de modo a facilitar o cálculo em determinadas situações. Por exemplo, reconhecer e utilizar a propriedade comutativa da multiplicação permite calcular 10×3 através do cálculo equivalente 3×10. No início, este é muito mais fácil para os alunos, quando a multiplicação é, habitualmente, associada ao cálculo aditivo de parcelas iguais. Também a compreensão da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração, auxilia bastante o cálculo mental. Exemplificando: para calcular 4×26, se 26 for decomposto em 25+1 é mais fácil calcular a soma dos produtos parciais que se obtêm, efetuando 4×25+4×1, de modo a chegar ao resultado mentalmente.
A compreensão das relações entre as operações é um outro aspeto que contribui para o estabelecimento de múltiplas conexões entre as várias operações, permitindo recorrer àquela que, em determinado contexto, pode facilitar o cálculo associado. Um requisito fundamental é compreender cada uma das operações em particular para, a partir daí, ser possível estabelecer relações entre elas. Ter consciência, por exemplo, da relação
entre a adição e a multiplicação permite aos alunos, em determinadas situações, recorrer a esta última operação, de modo a tornar o cálculo mais eficiente e rápido. Igualmente, a compreensão das relações inversas entre as operações, por exemplo entre a multiplicação e a divisão, permite-lhes ter uma maior variedade de processos de cálculo para resolver um problema de divisão, muitas vezes mais eficazes do que o uso do algoritmo tradicional. A relação entre estas duas operações, na extensão do universo numérico dos números inteiros positivos para os números racionais, permite, ainda, estabelecer conexões que potenciam o cálculo associado a estas operações e contribuem para o desenvolvimento do sentido de número. São exemplos do estabelecimento dessas conexões ter a perceção que dividir um número por dez é o mesmo que multiplicá-lo por 0,1 ou que dividir um número por dois é o mesmo que multiplicá-lo por 0,5 ou por ½.
Aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em situações de cálculo
A terceira grande área que caracteriza o sentido de número é a aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em situações de cálculo. De acordo com McIntosh et al. (1992, p. 4) esta área inclui (i) a compreensão para relacionar o contexto de um problema e os cálculos necessários; (ii) a consciencialização da existência de múltiplas estratégias; (iii) a inclinação para usar uma representação e/ou um método eficaz; e (iv) a inclinação para rever os dados e a razoabilidade dos resultados.
A compreensão para relacionar o contexto de um problema e os cálculos necessários à sua resolução envolve tomar decisões sobre o uso de valores aproximados ou exatos, a estratégia adequada para o resolver e o que constitui uma solução adequada (um valor exato ou aproximado). Por exemplo, se num problema, dados os preços de dois brinquedos, 1,99€ e 2,49€, se perguntar quanto se gasta ao comprar ambos, a resposta é sempre um valor exato, mesmo que se parta de aproximações adequadas dos preços de cada brinquedo, 2€ e 2,5€ e se use uma estratégia aditiva seguida de compensação (2+2,5=4,5; 4,5−0,02=4,48€). No entanto, dada a mesma situação, a proposta pode ser saber se, com uma nota de 5€, é possível comprar os dois brinquedos. Neste último caso, basta usar valores aproximados e fazer uma estimativa do custo dos brinquedos,
Ter consciência da existência de múltiplas estratégias para resolver problemas que envolvem números possibilita, por um lado, selecionar aquela que, à partida, parece ser a mais adequada de acordo com a situação proposta. Por outro lado, permite, no caso da estratégia utilizada se revelar ineficaz, reformular e utilizar uma outra que se revele mais adequada na procura da solução. Para além disso, se um mesmo problema tiver sido resolvido recorrendo a estratégias diferentes, possibilita a sua comparação, identificando vantagens e desvantagens de cada uma delas numa dada situação.
A partir do momento em que se tem consciência da existência de múltiplas estratégias para resolver situações de cálculo, identificar qual, ou quais, são mais apropriadas e eficazes na resolução de um determinado problema, é revelador de possuir sentido de número. Também o uso de uma determinada representação numérica adequada a uma dada situação, pode ser indiciador de sentido de número. Por exemplo, um aluno do 3.º ano ao querer saber quantos berlindes estão, no total, em quatro sacos, cada um com quinze berlindes, pode usar diferentes estratégias: adicionar o número quinze quatro vezes, “dar saltos” de quinze ou usar uma estratégia mais eficaz, fazendo a multiplicação 4×15. Recorrendo à multiplicação pode, ainda, realizá-la usando procedimentos diferentes, uns mais adequados que outros – através do algoritmo, fazendo a decomposição do 15 em 10+5 ou recorrendo ao cálculo do produto equivalente 2×30.
Finalmente, a inclinação para rever os dados e a razoabilidade dos resultados diz respeito à atividade de examinar se um determinado resultado está de acordo com o problema proposto. Esta atividade é, muitas vezes, descurada pelos alunos mas faz parte do processo de resolução de um problema ou da realização de um cálculo puramente matemático. Por exemplo, se o problema é saber quantos litros de água levam oito garrafas de meio litro, a resposta não pode ser quarenta litros. Assim, é fundamental que os alunos se habituem a refletir sobre o resultado obtido e analisem a sua adequação perante o contexto e os dados iniciais.
McIntosh et al. (1992) consideram o seu modelo de caracterização do sentido de número como algo imperfeito e incompleto, encarando-o como um ponto de partida para uma reflexão mais aprofundada sobre o que é o sentido de número e quais os aspetos
reveladores da sua existência. Ainda assim, Verschaffel, Greer e de Corte (2007) referem que este modelo é “provavelmente a tentativa mais compreensiva e mais influente de articular uma estrutura que clarifica, organiza e inter-relaciona algumas das componentes básicas e consensualmente aceites do sentido de número” (p. 581).
Efetivamente, e tal como destacam Verschaffel et al. (2007), o referido modelo foi retomado e utilizado em várias investigações (Beswick et al., 2004; Kaminski, 2002; McIntosh & Dole, 2000) associadas ao desenvolvimento do sentido de número dos alunos, dos futuros professores e dos professores, bem como à análise e avaliação do sentido de número de crianças e adultos. Algumas dessas investigações, que considero relevantes para o estudo que realizo, são discutidas nas secções seguintes.
Houve, também, investigadores que se inspiraram no modelo de McIntosh et al. (1992) e o adaptaram, de modo a usá-lo no contexto de estudos realizados sobre o sentido de número (Yang, 2003a, 2005a; Yang et al., 2004, 2008). Apresento, no próximo ponto, uma destas adaptações.
O modelo de Yang
Tendo como ponto de partida as diferentes definições e caracterizações de sentido de número propostas por educadores matemáticos e psicólogos (Berch, 2005; Greeno, 1991; Markovits & Sowder, 1994; McIntosh et al., 1992) bem como as veiculadas por documentos curriculares (NCTM, 1991, 2007), Yang (2003) organizou um modelo de caracterização do sentido de número em torno de cinco componentes:
– Compreensão dos significados dos números e das operações. Este aspeto implica o desenvolvimento da compreensão sobre os diferentes tipos de números e operações e do sistema decimal.
– Reconhecimento da grandeza dos números. Este aspeto inclui a capacidade para comparar números nas suas diferentes representações, para os ordenar e para reconhecer a sua densidade.
– Uso adequado de números de referência. Este aspeto inclui a capacidade para usar, de modo flexível, números de referência tais como ½, 1, 10 e 100.
– Compreensão do efeito relativo das operações. Este aspeto inclui a capacidade para identificar o modo como as diferentes operações produzem efeito sobre os números envolvidos.
– Uso de estratégias apropriadas para resolver problemas numéricos e avaliação da razoabilidade dos resultados. Este aspeto inclui o desenvolvimento e o uso de diferentes estratégias, tais como cálculo mental e estimação, para resolver problemas de modo adequado e o reconhecimento da plausibilidade de um determinado resultado.
Estas cinco componentes são, posteriormente, reformuladas de acordo com estudos desenvolvidos pelo autor em diferentes níveis de ensino (Yang, 2005a; Yang, Li & Li, 2008; Yang, Li & Lin, 2008). Assim, os aspetos do sentido de número são reorganizados, de um modo geral, em quatro componentes: o reconhecimento da grandeza relativa dos números, o uso de múltiplas representações dos números e das operações, a avaliação da razoabilidade de um resultado e o reconhecimento do efeito relativo das operações sobre os números (Yang, Li & Lin, 2008). As pequenas diferenças nas componentes do sentido de número verificadas nos estudos realizados por Yang prendem-se com os vários níveis de escolaridade dos alunos envolvidos e com o conhecimento matemático associado aos números e operações que os alunos devem possuir em cada um dos níveis. Apesar de não serem totalmente coincidentes, os quatro aspetos enunciados são consistentes com o modelo de McIntosh et al. (1992) e incluem todas as vertentes aí identificadas.
Em síntese, os modelos de caracterização do sentido de número utilizados em várias investigações são bastante semelhantes e decorrem do modelo de McIntosh et al. (1992), considerado, pela maior parte dos investigadores das áreas da Educação Matemática e da Psicologia, como uma referência central para o estudo do sentido de número dos alunos e professores (Berch, 2005; Beswick et al., 2004; Kaminski, 2002; Reys, 1994; Verschaffel et al., 2007; Yang et al., 2008).
Este modelo é usado, também, no decurso da investigação que realizo, como ponto de partida para a análise do sentido de número dos alunos da turma de 3.º ano que participam no estudo.