De to Caesarene

5.2 Traianus Decius’ liv og karriere

5.2.1 De to Caesarene

Prova.Considereuma

3

- oloraçãode

K

2n

eseja

V (K

2n

) = A∪B ∪C ∪D

umapartição que satisfazas ondiçõesda EC

2

Como na prova do lema anterior, primeiro removemos de

A

todosos vérti es que não possuem graualto em

B

C

D

nas ores apropriadas, então todosos vérti es de

B

que não possuem grau alto em

A

C

D

nas ores apropriadas. Então todos os vérti es de

C

D

que não possuem grau alto em

A∪ B

na or apropriada. Mais pre isamente, umvérti e

v∈ A

é removido se

deg

_R

(v, B) < (1_−α

1/2

)_{|B|, deg}

_G

(v, C) < (1_−α

1/2

)_|C|

deg

B

(v, D) < (1−α

1/2

)|D|.

Pelas ondiçõesdedensidade emEC

1

seguequeo número detais vérti es ex ep i- onais em

A

é nomáximo

6α

1/2

_|A|

. Umvérti e

v∈ B

éremovido se

deg

_R

(v, A) < (1_−α

1/2

)_{|A|, deg}

_G

(v, C) < (1_−α

1/2

)_|C|

deg

B

(v, D) < (1−α

1/2

)|D|.

Um vérti e

v∈ C

é removido se

deg

_G

(v, A∪ B) < (1 − α

1/2

)(|A| + |B|),

e nalmenteumvérti e

v∈ D

éremovido se

Ao todo, estes somam no máximo

12α

1/2

_n

vérti es ex ep ionais. Como antes,

olo amos estesvérti es emumnovo onjunto hamado

E

1

. E, omo antes, denimos

A

1

= A\ E

1

B

1

= B\ E

1

C

1

= C\ E

1

D

1

= D\ E

1

Agora, todos os vérti es em

A

1

são adja entes a pelo menos

(1

− 7α

1/2

₎_{|B| ≥}

(1_−7α

1/2

₎_|B

1

| ≥ (1−α

1/3

)|B

1

|

vérti esem

B

1

atravésdearestasvermelhaseoanálogo valeparaosoutros onjuntose ores. Se

|C

1

| ≥ n/2

éfá ila harum

C

n

mono romáti o gulosamente em

[C

1

, A

1

∪ B

1

]

. De modo análogo é fá il a abar se

|D

1

| ≥ n/2

. Logo, suponha que

|C

1

|, |D

1

| < n/2

. Sejam

|C

1

| =

n

2

− c

|D

1

| =

n

2

− d

,onde

c, d > 0

. Armamosque nãoexiste um aminho verdeem

A

1

(nemem

B

1

)de ordem

2c + 1

assim omonãoexiste aminho azulem

A

1

(ouem

B

1

) deordem

2d + 1

. Suponha que

P

é um tal aminho em

A

1

, om ordem

2c + 1

e extremidades

a

1

a

2

. Note que

c

é muito pequeno, ertamentemenor que

α

1/3

_n/2

Como todos os vérti es de

A

1

∪ B

1

têm grau verde alto em

C

1

, podemos a har

c

1

6= c

2

∈ C

1

tais que asarestas

a

1

c

1

a

2

c

2

são verdes. Agora, quaisquerdois vérti es em

C

1

têm pelo menos

|A

1

∪ B

1

| − 2α

1/3

_|A

1

∪ B

1

| − 2k

C

>

|C

1

|

vizinhos verdes em omumem

A

1

∪ B

1

\ V (P )

. Daí, podemos de maneira gulosa en ontrar um aminho verde

P

′

, omeçando em

c

1

e terminando em

c

2

que não passa por

V (P )

e passa por todososvérti es de

C

1

. Então

P∪ P

′

énosso

C

n

mono romáti o.

Pelolema5.6,

A

1

(resp.,

B

1

) ontémnomáximo

(2c−1)|A

1

|/2

(resp.,

(2c−1)|B

1

|/2

) arestasverdes enomáximo

(2d− 1)|A

1

|/2

(resp.,

(2d− 1)|B

1

|/2

) arestasazuis. Agora, removemosde

A

1

B

1

todososvérti esadja entesamaisque

α

1/6

_n

vérti esde

A

1

∪B

1

atravésdearestasverdesouazuiseos olo amosem

E

1

. Chamamos osnovos onjuntos de

A

2

B

2

C

2

D

2

E

2

(vejaque

C

2

:= C

1

D

2

:= D

1

,mastro amososíndi esdetodos os onjuntosparamanteranotaçãosimples). Notequeremovemosno máximo

4α

1/6

_n

vérti es, assim

|E

2

| ≤ 5α

1/6

_n

. Feito isto, o que obtemos é que o grafo

G

R

_[A

2

∪ B

2

]

, induzido pelas arestasvermelhasde

A

2

∪ B

2

,temgrau mínimo

|A

2

∪ B

2

| − 5α

1/6

_n

,ou

seja, é quase ompleto.

Estamos hegandoao ponto nal. Sejam

n

AB

= n− |A

2

∪ B

2

|

n

C

= n/2− |C

2

|

n

D

= n/2− |D

2

|

. Se

n

AB

< 1

,entãoestamosfeitosjáque

G

R

_[A

2

∪ B

2

]

éhamiltoniano, por Dira . Logo, suponhaque

n

AB

≥ 1

Suponha agora que existem

k = n

C

< α

1/6

_n

vérti es em

E

2

, ada um om pelo menos

n/16

vizinhos verdes em

A

2

∪ B

2

. Sejam

e

1

, . . . , e

k

tais vérti es. Como

e

i

tem pelomenos

n/16

vizinhosverdesem

A

2

∪B

2

,podemoses olherpara ada

e

i

doisdesses vizinhos

a

i

, b

i

de modoque

a

1

, b

1

, a

2

, b

2

, . . . , a

k

, b

k

sejam doisa dois distintos.

Daí,tomamosumvizinhoverde

c

1

∈ C

2

a

1

,eumvizinhoverde

c

k+1

∈ C

2

b

k

,e para adapardevérti es

b

i−1

, a

i

, om

i = 2, . . . , k

,tomamosumdeseusvizinhosverdes

c

i

∈ C

2

em omum. Novamente, os

c

i

's podem ser es olhidos dois a dois distintos já que quaisquerdois vérti esde

A

2

∪ B

2

têmpelomenos

|C

2

| − 2α

1/6

_{n/2 > 2k}

verdes em

C

2

em omum. Podemos também en ontrar demaneira gulosa um

c

1

, c

k+1

- aminho verdequenão passa pelos vérti es

a

i

, b

i

, c

i

'se saturatodososdemaisvérti es de

C

2

,jáquetodososparesdevérti es em

C

2

têmumavizinhança omumgrandeem

A

2

∪ B

2

. Com isto,temosum

C

n

verde.

Daí, resta o aso em que há menos que

n

C

< α

1/6

_n

vérti es em

E

2

que possuem grauverdemaiorouigual a

n/16

A

2

∪ B

2

. Domesmomodo,podemosassumir que hámenosque

n

D

< α

1/6

_n

vérti esem

E

2

quepossuemgrauazulmaiorouiguala

n/16

A

2

∪ B

2

Então,existempelomenos

2n−|A

2

∪B

2

|−|C

2

|−|D

2

|−(n

C

−1)−(n

D

−1) > n−|A

2

∪

B

2

| = n

AB

vérti esem

E

2

, adaum ompelomenos

|A

2

∪B

2

|−2(n/16) > 2|A

2

∪B

2

|/3

vizinhos vermelhos em

A

2

∪ B

2

. Seja

F

um onjunto de

n

AB

vérti es desse tipo.

Assimografo

G

R

_[A

2

∪ B

2

∪ F ]

,induzido pelas arestasvermelhasde

A

2

∪ B

2

∪ F

,é hamiltoniano (por Dira )e tem

n

vérti es. Logo,ele ontém um

C

n

vermelho.

[1℄ L. Babai, M. Simonovits, and J. Spen er, Extremal subgraphs of random graphs,

Journal ofGraph Theory 14(1990), no.5,599622.

[2℄ F.BenevidesandJ.Skokan,The 3- olored Ramseynumberofeven y les,working

notes,2007.

[3℄ B.Bollobás, Moderngraph theory,Springer-Verlag, New York, 1998.

[4℄ J.A.BondyandP.Erd®s,Ramseynumbersfor y les ingraphs, Journal ofCom-

binatorial Theory,SeriesB14(1973), 4654.

[5℄ V.Chvátal, V.Rödl, E. Szemerédi, and W. T. Trotter, Jr.,The Ramsey number

ofa graphwithbounded maximumdegree, JournalofCombinatorial Theory,Series

B34(1983),no.3,239243.

[6℄ E.J.Co kayneandP.J.Lorimer,TheRamseynumberforstripes,J.Austral.Math.

So .Ser.A 19(1975),252256.

[7℄ Reinhard Diestel, Graph theory, third ed., Graduate Texts in Mathemati s, vol.

173,Springer-Verlag,Berlin, 2005.

[8℄ P.Erd®sand M.Simonovits, Anextremal graph problem, A taMathemati a A a-

demiaeS ientiarum Hungari ae22 (1971/1972),275282.

[9℄ R.J. Faudree and R.H. S help, Path Ramsey numbers in multi olorings, Journal

ofCombinatorial Theory,SeriesB19(1975), 150160.

[10℄ A. Figaj and T. u zak, The Ramsey number for a triple of long even y les,

Journal ofCombinatorial Theory,SeriesB(2006), InPress.

[11℄ Z.FürediandA.Gyárfás,Covering

t

-elementsetsbypartitions,EuropeanJournal ofCombinatori s 12(1991),483489.

[12℄ Z. Füredi, O. Pikhurko,and M. Simonovits, The Turán density of the hypergraph

{abc, ade, bde, cde}

, Ele troni Journal ofCombinatori s 10(2003), Resear hPa- per18, 7pp.(ele troni ).

[13℄ , Ontriple systemswith independent neighbourhoods, Combinatori s, Pro-

bability andComputing 14 (2005),no.5-6,795813.

[14℄ Z.FürediandM.Simonovits, Triplesystemsnot ontaininga Fano onguration,

Combinatori s, Probability andComputing 14(2005), no.4,467484.

[15℄ L.Gerén serandA.Gyárfás,OnRamsey-typeproblems,Ann.Univ.S i.Budapest,

E®tv®s Se t.Math. 10(1967),167170.

[16℄ R. L. Graham, B. L. Roths hild, and J. H. Spen er, Ramsey theory, se ond ed.,

John Wiley&SonsIn ., NewYork,1990, AWiley-Inters ien ePubli ation.

[17℄ A. Gyárfás, M. Ruszinkó,G. N.Sárközy, and E. Szemerédi, Three olor Ramsey

numbers for paths,Combinatori a 27(2007), no. 3,3569.

[18℄ P.KeevashandB.Sudakov, TheTurán numberof theFanoplane,Combinatori a

25(2005),no.5,561574.

[19℄ Y.Kohayakawa,M. Simonovits, andJ. Skokan,The 3- olored Ramsey number of

odd y les, Pro eedings of Brazilian Symposium on Graphs and Combinatori s

(GRACO2005),AngradosReis,vol. 19,2005, pp.397402.

[20℄ G. Károlyiand V. Rosta,Generalized and geometri Ramsey numbers for y les,

Theoreti al Computer S ien e263 (2001), 8798.

[21℄ L. Lovász and M. Simonovits, On the number of omplete subgraphs of a graph,

Pro eedingsoftheFifthBritishCombinatorialConferen e(Univ.Aberdeen,1975)

(Winnipeg, Man.) (Aberdeen), Utilitas Math., 1976, Congressus Numerantium,

No.XV., pp.431441.

[22℄ , On the number of omplete subgraphs of a graph. II, Pro eedings of the

Fifth BritishCombinatorial Conferen e (Univ.Aberdeen, Aberdeen, 1975)(Win-

nipeg,Man.),Studiesinpuremathemati s(Basel),Birkhäuser,1983,pp.459495.

[23℄ T. u zak,

R(C

n

, C

n

, C

n

)≤ (4 + o(1))n

,Journal ofCombinatorial Theory,Series B75(1999),174187.

[24℄ S.P.Radziszowski, Small Ramsey numbers, Ele troni Journal of Combinatori s

1 (1994),Dynami Survey1, 30pp.(ele troni ).

[25℄ K.F.Roth,On ertainsets ofintegers,J.LondonMath.So .28(1953), 104109.

[26℄ M. Simonovits, A method for solving extremal problems in graph theory, stability

problems,Theory ofGraphs(Pro .Colloq.,Tihany, 1966)(New York),A ademi

Press,1968, pp.279319.

[28℄ , On sets of integers ontaining no

k

elements in arithmeti progression, A taArith.27(1975),199245, Colle tionofarti lesinmemoryofJuriVladimi-

rovi£ Linnik.

[29℄ EndreSzemerédi,Regular partitionsof graphs,Problèmes ombinatoires etthéorie

des graphes (Colloq. Internat. CNRS, Univ. Orsay, Orsay, 1976), CNRS, Paris,

1978,pp.399401.

[30℄ Paul Turán, Eine Extremalaufgabe aus der Graphentheorie, Mat. Fiz. Lapok 48

In document Traianus Decius : Soldatkeiserens religionspolitikk - forfølgelse eller konformitet (sider 50-54)

5.2 Traianus Decius’ liv og karriere

5.2.1 De to Caesarene

3

K

2n

V (K

2n

) = A∪B ∪C ∪D

2

A

B

C

D

B

A

C

D

C

D

A∪ B

v∈ A

deg

R

(v, B) < (1−α

1/2

)|B|, deg

G

(v, C) < (1−α

1/2

)|C|

deg

B

(v, D) < (1−α

1/2

)|D|.

1

A

6α

1/2

|A|

v∈ B

deg

R

(v, A) < (1−α

1/2

)|A|, deg

G

(v, C) < (1−α

1/2

)|C|

deg

B

(v, D) < (1−α

1/2

)|D|.

v∈ C

deg

G

(v, A∪ B) < (1 − α

1/2

)(|A| + |B|),

v∈ D

12α

1/2

n

E

1

A

1

= A\ E

1

B

1

= B\ E

1

C

1

= C\ E

1

_R

(v, B) < (1_−α

)_{|B|, deg}

_G

(v, C) < (1_−α

)_|C|

_|A|

_R

(v, A) < (1_−α

)_{|A|, deg}

_G

(v, C) < (1_−α

)_|C|

_G

_n

₎_{|B| ≥}

(1_−7α

₎_|B