Verneplan for vassdrag og Nasjonale laksevassdrag

1.2.1

Isospin de uma Partícula

Em 1932, Werner Heisenberg sugeriu a possibilidade das partículas constituintes do núcleon ou núcleo atômico (próton e nêutron) serem, na verdade, a mesma partícula com diferentes ŞestadosŤ e propôs uma modelagem matemática para descrevê-los chamada es- tado de spin isotópico de um núcleon. Assim como a fase de uma partícula carregada é representada por um número complexo de módulo 1 e as mudanças de fase são realizadas pela ação de 𝑈(1) em 𝑆1 _{(rotação), o spin isotópico de um núcleon é representado por}

um par de números complexos cuja soma dos quadrados das normas é 1 e as mudanças de spin isotópico são realizadas pela ação de 𝑆𝑈(2) em 𝑆3_{. Em 1954, C.N. Yang e R.L.}

Mills construíram uma teoria de spin isotópico que era estritamente análoga à teoria clás- sica do eletromagnetismo. Eles foram levados a considerar funções potenciais com valores matriciais (denotadas por 𝐵Û) e campos correspondentes (𝐹ÛÜ) construídos a partir das

derivadas das funções potenciais. A ideia que envolve a teoria (invariância por cali-

bre) foi assumir que, quando os efeitos do eletromagnetismo podem ser desprezados, as

interações entre núcleons deveriam ser invariantes em relação às ŞrotaçõesŤ arbitrárias e independentes do estado de spin isotópico em cada ponto do espaço-tempo. Isso é intei- ramente análogo à invariância das interações do eletromagnetismo clássico em relação às mudanças de fase arbitrárias e tem efeito de ditar as propriedades de transformação das funções potenciais 𝐵Û em relação a uma mudança de calibre, sugerindo uma combinação

apropriada de 𝐵Û e suas derivadas para agir como o campo 𝐹ÛÜ, a saber,

𝐹ÛÜ = 𝜕𝐵Û 𝜕𝑥Ü ⊗ 𝜕𝐵Ü 𝜕𝑢Û + 𝑖𝜖(𝐵Û𝐵Ü ⊗ 𝐵Ü𝐵Û). (1.2.1) Compare (1.2.1) com (3.2.10).

A física do spin isotópico levou Yang e Mills a proporem certas equações chamadas

equações de Yang-Mills (ver detalhes na seção C.2 do Apêndice C)

em conjunto com a identidade de Bianchi (ver seção C.3 do Apêndice C)

𝑑AF = 0 (1.2.3)

as quais as funções potenciais 𝐵Ûdeveriam satisfazer. Em 1975, Belavin, Polyakov, Schwartz

e Tyupkin [BPST75] encontraram um número considerável de soluções dessas equações as quais chamaram de ŞpseudoparticulasŤ. Mostraremos neste trabalho que estas soluções coincidem formalmente com os pullbacks (5.1.9) (Capítulo 5) para R4 _{das conexões no}

Ąbrado de Hopf (apenas o caso 𝑛 = 0 aparece explicitamente em [BPST75] o qual mostra- remos ser solução das equações de Yang-Mills no Capítulo 4). Esta observação foi expli- citada por Trautman [Tra77] e depois generalizada por Nowakowski e Trautman [NT78]. A grande quantidade de pesquisa feita sobre a relação da Teoria de Yang-Mills clássica (ver Apêndice B) e a geometria e topologia de conexões têm produzido, não apenas re- sultados belíssimos na matemática desta era, como também um profundo entendimento da estrutura das teorias físicas fundamentais. Para o leitor interessado sugerimos [FU84] e [Law85] para mais detalhes.

Os potenciais A de maior interesse na física são aqueles que (localmente) minimizam o funcional de Yang-Mills (seção 2 - Capítulo 4) dado por

𝒴ℳ(A) = ‖F‖2 ₌∫︁

R4‖F(𝑞)‖

2_(𝑑vol

R4) (1.2.4)

Mostraremos no Apêndice C que aplicando as técnicas de cálculo variacional para escrever as equações de Euler-Lagrange encontramos as equações de Yang-Mills (1.2.1) para o potencial A. Em coordenadas usuais em H = R4 _{estas equações são dadas por}

3

∑︁

Ð=0

(𝜕ÐℱÐÑ + [𝒜Ð,ℱÐÑ]) = 0, Ñ = 0, 1, 2, 3 (1.2.5)

onde 𝒜Ð e ℱÐÑ são como em (3.2.10). Este é um sistema de equações diferenciais parciais

de segunda ordem, não-lineares das componentes 𝒜Ð do potencial A. A não linearidade

das equações é vista como a representação da interação do campo de Yang-Mills consigo mesmo, algo que não ocorre na teoria clássica do eletromagnetismo (isto porque o grupo de calibre é 𝑈(1), abeliano, então todos os colchetes de Lie são zero). Os potenciais BPST

A_Ú,𝑛 (5.1.9) são todos soluções das equações de Yang-Mills.

Uma maneira de desenvolver a teoria quântica é fazendo uso do método do funcional integral de Feymann que envolve a integração de exp(i𝑆) onde 𝑆 é a ação. Usando uma continuação analítica para o tempo imaginário, o espaço de Minkowski é substituído pelo espaço Euclidiano de dimensão 4, a ação Euclidiana é um múltiplo positivo de i e portanto o integrando exp(i𝑆) torna-se uma exponencial de decaimento cujo valor máximo ocorre no mínimo da ação Euclidiana. Então é de um signiĄcado importante determinar os mínimos absolutos de 𝒴ℳ. Estes mínimos, chamados instantons, cujo estudo é um dos objetivos principais deste trabalho, são também os que serviram de inspiração para Donaldson

apresentar uma revolução na Topologia de dimensão baixa. Os mínimos são soluções das equações de Yang-Mills, mas também podem ser caracterizados como soluções de um outro sistema de equações, mais simples, que descreveremos na seção 1 do Capítulo 4 dado por

*F = ⊗F (1.2.6)

Através da identidade de Bianchi vemos que F é solução de (1.2.1).

De uma maneira inteiramente análoga ao caso complexo, para o estado de spin 1 2,

existe o Ąbrado de Hopf quatérnio 𝑆𝑈(2) ˓⊃ 𝑆7 _{⊃ 𝑆}4 ≍_{= HP}1 _{cuja conexão natural ω}

registra, como dissemos no início dessa seção, a mudança do estado de isospin de uma partícula, dada pela ação de 𝑆𝑈(2) sobre as Ąbras da esfera 𝑆7 _{difeomorfas a 𝑆}3_{. Nosso}

objetivo é mostrar como se dá esta construção a partir da 1-forma de Cartan Θ𝐺, para

𝐺 = 𝐺𝐿(2, H), a partir da qual encontraremos a conexão natural ω do Ąbrado de Hopf e por meio do pullback da mesma encontramos instantons para quando 𝑛 = 0 e Ú = 1. Um estudo mais a fundo é feito das conexões 𝜌*

𝑔ω, onde 𝜌 é uma ação natural à esquerda

de 𝑆𝐿(2, H) sobre 𝑆7_{, em dois subgrupos particulares de 𝑆𝐿(2, H) o que nos dá todos os}

BPST instantons (5.1.9) e (5.1.10). O estudo destas conexões leva à construção do que será chamado espaço moduli ℳ das conexões ASD do Ąbrado quatérnio de Hopf, assunto principal deste trabalho.

2 Preliminares

Neste capítulo premilinar Ązemos um resumo dos ítens de geometria diferencial ne- cessários para o desenvolvimento do curso principal deste trabalho. Como referência para este capítulo usamos, principalmente, [Nab10] e [Nab11].