Teachers’ Perception of Working Students and their Life related to Work and School

ainda que o recurso às representações geométricas e gráficas das sucessões facilitou o estudo da monotonia das sucessões. A representação numérica no estudo da monotonia das sucessões é benéfica para os casos em que se encontra um contra-exemplo para decidir que a sucessão não é monótona. A abordagem analítica permite fazer, com maior rigor, o estudo da monotonia das sucessões.

As principais dificuldades reveladas pelos alunos centram-se na utilização da nomenclatura própria para as sucessões, nas transformações algébricas, na conexão entre a representação analítica e gráfica, devido à sucessão como uma restrição da função. Outra dificuldade verificada foi na comunicação matemática durante a discussão em grande grupo.

5.5. Análise da Tarefa 6 (Ditado Matemático)  

Os objectivos desta tarefa foram verificar como os alunos aprenderam a utilizar a nomenclatura própria para as sucessões, analisar se os alunos ainda encontram dificuldades na passagem duma dada representação para a analítica e perceber se os alunos sabem identificar sucessões monótonas e não monótonas.

Dado a tarefa ter sido realizada individualmente, vou comparar as resoluções dos alunos, focando-me em cada questão.

Na transição da linguagem verbal para a analítica os alunos em estudo, não apresentaram dificuldades. No entanto, o João ainda nem sempre utiliza a simbologia adequada para as sucessões. (Figura 19).

Figura 19 – Os registos dos alunos do grupo relativamente à primeira questão da Tarefa 6

Os alunos conseguiram determinar o termo geral da sucessão a partir da representação geométrica (Figura 20).

Indica o termo geral da sucessão: 1) Do número de dedos em n – mãos

  Ana

Carlos  João

Filipe

Figura 19 – Os registos dos alunos do grupo relativamente à segunda questão da Tarefa 6

A Ana elaborou duas definições da sucessão do número de fósforos: pelo termo geral e por recorrência. A Ana na definição por recorrência não indicou o primeiro termo correctamente e não explicou para que valores de n é válida a expressão definida. O João voltou a indicar o termo geral correctamente, sem indicar o nome da sucessão.

Na transição da representação numérica para a analítica apareceram algumas dificuldades no caso duma sucessão que era não monótona (Figura 20).

Indica o termo geral da sucessão:

2) Do número de fósforos da figura de ordem n?

…    Ana Filipe Carlos João  

Figura 20 – Os registos dos alunos do grupo relativamente à sexta questão da Tarefa 6

O Carlos e a Ana conseguiram solucionar bem esta questão, indicando a mesma expressão para o termo geral da sucessão. O Filipe tentou passar da representação numérica para a analítica, mas escreveu uma expressão incorrecta. O João concluiu bem que a sucessão não é monótona, entretanto, apresenta maiores dificuldades em determinar o termo geral da sucessão em relação aos colegas. O mesmo tentou estabelecer conexões com funções definidas por ramos, mas não resultou.

Nas últimas três questões, verifica-se que os alunos recorrem às representações analíticas com mais frequência, no entanto o Filipe constrói na sétima questão uma representação geométrica e na nona, uma representação numérica (Figura 21).

2, 2, 2, 2, 2, 2  … Indica o termo geral da sucessão:

6) Cujos quatro primeiros termos são:

Ana Filipe

João Carlos

Figura 21 - Os registos dos alunos do grupo relativamente às questões 7, 8, 9 da Tarefa 6

Para uma sucessão monótona decrescente só a Ana apresenta uma expressão analítica linear, enquanto os seus colegas recorrem à representação analítica fraccionária. Nesta questão, o Filipe tentou elaborar uma expressão mais complicada, mas não consegue. Assim conclui erradamente que esta expressão representa uma sucessão monótona decrescente. Para a última questão todos os alunos, a excepção do João, apresentam uma sucessão não monótona, com base numa potência de -1. O João foi o único que indicou

Dá um exemplo de uma sucessão: 7) an - monótono crescente

8) bn – monótona decrescente

9) cn - não monótona

Utilize figuras, pontos, números, símbolos, gráficos, etc.

  _{Ana Filipe}

João Carlos

erradamente para esta questão, um termo geral que dá origem a uma sucessão monótona em sentido lato, o que não está no programa deste ano de escolaridade.

A análise desta tarefa mostra que a maioria dos alunos do grupo sabem utilizar a nomenclatura própria para as sucessões e sabem identificar sucessões monótonas e não monótonas. Para as sucessões não monótonas encontram algumas dificuldades em estabelecer conexões entre a representação numérica e analítica. Revelam ainda algumas dificuldades no estabelecimento de conexões com as funções, o que pode explicar porque é que apresentam expressões erradas para o termo geral da sucessão.

Com base no objectivo do meu estudo e feita uma análise da Tarefa 6, posso concluir que para representar uma sucessão definida verbalmente, geometricamente ou pela enumeração dos termos, os alunos utilizam na maior parte a representação analítica. Esta última possibilita verificar os termos da sucessão. O recurso à representação geométrica não mostra quaisquer dificuldades, sendo a representação numérica um passo intermédio para a passagem à representação analítica.

Devido à natureza da tarefa não se pode verificar como os alunos ultrapassam as dificuldades acima referidas, mas observou-se que os alunos recorreram à calculadora gráfica e utilizaram os cadernos diários, o que lhe foi permitido antes do início do ditado.

5.6. Análise da Tarefa 7  

O objectivo desta tarefa foi a introdução dos conceitos de sucessão limitada, majorantes e minorantes. À luz do problema em estudo, a tarefa tem como objectivo verificar como os alunos estabelecem conexões entre conceitos já estudados, para determinar o termo geral duma sucessão.

Na primeira questão da tarefa, foi pedido para determinar o termo geral da sucessão das áreas dos polígonos inscritos numa circunferência, tendo como ponto de partida o valor exacto e o valor aproximado da área do triângulo. Os alunos deveriam relacionar os ângulos com os lados para determinar a área de cada polígono com o número indicado de lados na tabela. O grupo estabeleceu algumas relações como se pode observar na figura seguinte (Figura 22).