Students’ Perception of their School Life

O objectivo desta tarefa é, como já foi referido, a introdução do conceito de sucessão de números reais, termo geral e representação gráfica.

Em relação à primeira questão, o grupo que foi objecto do meu estudo, elaborou uma estratégia diferente, em relação aos colegas da turma. Para contar o número de bolas da sexta e da sétima figura utilizaram um raciocínio por recorrência ilustrado a seguir (Figura 1).

Os passos de resolução foram os seguintes. Primeiro, o grupo passa da representação geométrica para a numérica contando o número de bolas de cada número rectangular apresentado e procurando relacionar cada um dos números rectangulares com o primeiro. Na procura desta relação encontram uma sucessão de factores 3, 6, 10, 15,… como se verifica pelo diálogo:

1. Filipe: Daqui para aqui, é vezes três. Daqui para aqui, é vezes seis. Daqui para aqui, é vezes dez.

2. Ana: Exacto.

3. Filipe: E por último, daqui para aqui, é vezes quinze.

Os alunos percebem que é esta sucessão que os vai ajudar a descobrir os outros números rectangulares. Começam então a procurar relações entre os termos da nova sucessão acima referida:

4. Ana: Então, agora qual é a relação entre isso tudo?

5. João: Então, olhem fazemos assim. A partir desta, multiplicamos por três e seguidamente por seis. E depois…

6. Carlos: Não, assim não dá.  

7. Ana: Como é que fazemos isso…? Ah, já sei como isso é! Aqui é vezes três e depois somas mais três. Aqui, vezes seis, mais quatro, a seguir vezes dez, mais cinco… 8. Filipe: Ah, e depois mais seis.

9. Carlos: Como é que é?

10. João: Ah, mas tudo do primeiro.

11. Ana: Sim, claro. Fica assim, aqui somas mais três, aqui mais quatro, a seguir mais cinco. No próximo, mais seis e no próximo mais sete.

12. Carlos: Sim, mas agora temos que fazer isso por meio duma expressão.

13. Ana: Pois, exacto. Então fica o anterior…

14. Carlos: A sexta é vezes 21. O 3, 4, 5, 6, … é o número da figura.

15. Filipe: E a outra é vezes 28.

16. João: Então a sexta tem dois vezes 21, que dá 42 bolas 17. Carlos: E a sétima, dois vezes 28. Então a sétima tem 56

bolas.

Conforme as falas 7, 8, 11 do diálogo anterior, a relação que o grupo encontra é apresentada pela seguinte sucessão: 3, (3+3), (6+4), (10+5), (15+6), (21+7), … A Figura 1 também ilustra esta estratégia. Observa-se que a estratégia elaborada pelo grupo baseia-se num raciocínio por recorrência, assim como se verifica também pelas falas 12 e 13. Relacionando o termo com a ordem, e estabelecendo conexões entre a representação verbal e numérica conseguem calcular os números rectangulares pedidos.

Analisando esta resolução, observa-se que o grupo contou o número de bolas correspondente a cada número rectangular, para estabelecer uma relação entre o primeiro e os outros números rectangulares. O grupo utilizou a representação numérica da sequência dos números rectangulares. Observando como se obtém a segunda figura a partir da primeira, seguiram o mesmo raciocínio, relacionando cada número rectangular obtido, com o primeiro. O grupo conseguiu estabelecer a relação entre o número anterior e a respectiva ordem e concluíram correctamente qual é o número de bolas da 6.ª e 7.ª figura. Este raciocínio é válido só para determinar um termo a partir do anterior ou seja é um raciocínio por recorrência.

Relativamente à primeira parte da segunda questão, o grupo não se deparou com dificuldades e conseguiu escrever a expressão geral, seguindo a lei de formação apresentada na tabela (Figura 2).

Relativamente à segunda parte da mesma questão, verificou-se nos diálogos existentes no grupo, que os alunos testaram a hipótese de descobrir se 182 é número rectangular, por tentativas, mas abandonaram esta ideia e apresentaram a seguinte resolução, recorrendo a uma equação de segundo grau (Figura 3).

Um excerto da discussão em grupo revela a conexão construída com as funções para determinar se o 182 é um número rectangular, envolvendo também a fórmula resolvente:

Filipe: Se 182 é número rectangular...? Podemos fazer por tentativas.

João: Como é que vocês estão a fazer isso?

Figura 2 – Resolução da primeira parte da segunda questão da Tarefa 1 

Ana: Então é para ver se 182 é número rectangular. Igualamos esta expressão com 182.

João: Ah,…

Ana: Depois aplicas a fórmula resolvente. Carlos: Dá, 13 ou -14.

Ana: Sim.

Filipe: A resposta é sim, a ordem é 13.

O grupo não questionou nem justificou o facto do valor 14 não ser solução do

problema.

A terceira questão foi resolvida pelo grupo desta forma (Figura 4).

Os alunos construíram o gráfico estabelecendo conexão com a representação gráfica duma função de domínio real. Esta representação da sequência dos termos da sucessão, baseia-se na representação que os alunos estão habituados a construir, no caso das

funções. O grupo concluiu que a parte correspondente às abcissas negativas não estava na representação gráfica, mas não conseguiu relacionar a representação gráfica com o domínio:

Filipe: Isto é uma parábola. Carlos: Sim, eu já fiz.

Filipe: Ah, mas a parte negativa não entra.

João: Mas, os números rectangulares são no x ou no y? Filipe: No y.

João: O que estás a fazer?

Assim, os alunos concluíram na questão quatro o seguinte (Figura5).

Caracterizando a correspondência do mesmo modo como caracterizavam uma função, os alunos não revelaram compreender que esta representação é uma restrição da função ao conjunto IN.

Analisando a primeira tarefa, pode-se concluir que os alunos interiorizaram os conceitos de ordem, termo e termo geral. Seguindo raciocínios próprios e cometendo alguns erros, os alunos aprenderam através desta exploração o que é uma sucessão e como se representa graficamente.

Conclui-se que, nesta primeira etapa do estudo das sucessões, os alunos do grupo analisado, recorrem à representação numérica da sucessão e não utilizam a representação geométrica proposta. Os alunos conseguem encontrar um termo de determinada ordem, recorrendo aos termos anteriores. Revelam ainda algumas dificuldades na conexão entre a representação numérica e analítica. A passagem da representação verbal, elaborada pelo grupo na questão um, para uma generalização

simbólica também apresentou algumas dificuldades. A representação analítica descoberta pelos alunos na questão dois, facilitou a construção gráfica dos termos da sucessão. Sintetizando, na primeira tarefa os alunos utilizaram a representação numérica como passo intermédio de passagem da representação verbal para uma generalização. Para estudar o comportamento dos termos da sucessão dos números rectangulares, os alunos recorreram à representação gráfica, sendo a representação analítica um apoio à representação gráfica.

As principais dificuldades durante a realização desta tarefa recaíram na generalização dos raciocínios, na representação gráfica da sucessão e na caracterização da sucessão como uma função real de variável natural. A lei de formação dos números rectangulares foi muito direccionada, pelo que os alunos sem dificuldades passaram para a representação analítica. No caso da estratégia elaborada pelo grupo na primeira questão, para calcular todos os números rectangulares, manifestaram-se algumas dificuldades, dado o raciocínio elaborado ter sido por recorrência. Os alunos nesta fase de início do estudo das sucessões, ainda não sabem definir uma sucessão por recorrência, no entanto, de uma forma natural, os alunos utilizaram o raciocínio por recorrência para obter o número de bolas das figuras. A conexão entre a representação gráfica e a caracterização da sucessão como função foi outra dificuldade encontrada. Para ultrapassarem estas dificuldades, os alunos lançaram questões em grupo, tentaram compreender os raciocínios dos colegas e estabeleceram conexões com os conceitos já estudados.

Entre todos alunos do grupo, o João revela maiores dificuldades. O trabalho de casa que foi dado para esta aula, não foi realizado pelo João. No caderno diário, ele apresentou algumas tentativas de resolução, mas não concluiu. Eu dei-lhe algumas indicações para o ajudar. Na aula seguinte aproximei-me dele e perguntei se já tinha conseguido a resolução do trabalho de casa. Ele respondeu-me: “Sim, já sei fazer”. Verifica-se pelo caderno diário do João que para determinar o termo geral, o 10.º mais o

100.º termos da sucessão :  4, 9, 14, 19, 24, … , o João revela

dificuldades.

5.2. Análise da Tarefa 2  

O objectivo principal desta tarefa foi a resolução de problemas e o estudo do termo geral duma sucessão.

Nas primeiras duas questões desta tarefa, os alunos deveriam resolver problemas de vários contextos e desenvolver a capacidade de passar duma dada representação para a analítica, ou seja determinar o termo geral duma dada sucessão.

Para a primeira questão, em que os alunos deveriam encontrar o termo geral dos números quadrados, os alunos apresentaram a seguinte resolução (Figura 7).

Figura 7 – Resolução da primeira questão da Tarefa 2

Observa-se pela resolução, que os alunos com apoio na representação geométrica, procuraram a relação entre as figuras e sem utilizar a representação numérica, passaram à representação analítica (fala um). Validando a conjectura estabelecida, concluíram que a expressão n2 se aplica a todos os números quadrados. Nesta questão os alunos não apresentaram dificuldades. No entanto, verifica-se nas falas 2, 4 e 6 que o João ainda estava com algumas dificuldades em perceber qual é a ordem e qual é o termo. Nas falas 5 e 7 verifica-se uma intervenção dos colegas para esclarecer as dúvidas do João, desta vez utilizando a representação numérica como passo intermédio entre a representação geométrica e a analítica, assim como se verifica na fala 7:

1. Carlos: É n2.

2. João: Não, não. Como é? Nunca percebi esta coisa das sequências.

3. Carlos: Ele não percebe. 4. João: Mas qual é que é o n? 5. Carlos: É um número qualquer. 6. João: E o n2?

7. Ana: Se n=1, temos um ao quadrado que dá um, se for 2, temos dois ao quadrado. É como se tivesses 12, 22, 32, …