Segundo os currículos do ensino pré-universitário vigentes em Angola, o tema sucessões numéricas é abordado na 11ª Classe. Uma análise minuciosa dos dois manuais leva a inferir que o tópico é abordado de uma forma bastante superficial e não cobre algumas noções fundamentais como a convergência que, como foi salientado no primeiro capítulo deste estudo, é um conceito que permite desenvolver outros conceitos, como os de limite e continuidade de funções que fazem parte da espinha dorsal da Análise Matemática.
As abordagens ao tema sucessões numéricas parecem portanto não privilegiar o alicerce que este tema poderia proporcionar para a posterior abordagem de outros grandes tópicos da Análise Matemática. Isso mostra que se desconsidera a importância das conexões no ensino e aprendizagem da matemática atual e, para agravar, a mesma abordagem não promove a compreensão das relações e transições entre a representação numérica e a analítica, ao não se recorrer a múltiplas representações. Isto pode levar a que os alunos não estabeleçam a
inter-relação entre as representações numérica, analítica e geométrica de uma sucessão, o que pode impedir que os alunos concebam modelos a partir de outros.
Nos manuais, o tema é fundamentalmente abordado com recurso a exercícios e os pouquíssimos problemas sugeridos são descontextualizados e não realísticos, o que de certo modo contraria a visão, por exemplo defendida por Santos-Trigo (2007), que sugere que a aprendizagem de conceitos matemáticos deve estar diretamente relacionada com a atividade de resolução de problemas. Ao mesmo tempo, a abordagem patente nos manuais não proporciona verdadeiras situações didáticas segundo a visão de Brousseau (2014), que refere que as autênticas situações didáticas são acima de tudo representações de situações do mundo real.
4.1.4 As práticas com folha de cálculo e a diversificação de registos
Calder e outros, participando num programa de pesquisa concernente à exploração da folha de cálculo como ferramenta pedagógica, quando comparada com lápis e papel, inferiram que tal ferramenta pedagógica forneceu respostas distintivas na interação social e na contextualização de ideias matemáticas, designadamente, na construção de conjeturas matemáticas informais de forma particular (Calder, Brown, Hanley, & Darby, 2006).
A situação destacada reforça a ideia de que os alunos que usam a folha de cálculo elaboram tabelas com uma considerável rapidez e podem rapidamente fazer análises através de padrões visuais e o respetivo discurso evidencia esta abordagem nas interpretações que fazem (Borba & Villarreal, 2005).
Calder e outros (2006) revelam ainda que os dados do seu estudo sustentaram a suposição de que a folha de cálculo leva os alunos a familiarizarem-se com o âmago do problema através de visualização, observação de tabelas e ao mesmo tempo fomenta respostas imediatas de generalização.
A abordagem através de folha de cálculo, talvez devido à estrutura técnica real deste meio, leva mais diretamente para um processo algébrico. Isto é evidente nas interações de linguagem que incluem simultaneamente terminologia algébrica e específica da ferramenta (Calder, Brown, Hanley, & Darby, 2006).
Os mesmos investigadores constaram ainda que, fazendo uso de folha de cálculo, os alunos formulavam conjeturas informais com bastante cautela e evocavam respostas algébricas; os alunos evidenciaram isto através de linguagem ao tentarem argumentar acerca dos resultados. A linguagem dos alunos revela ainda que a formulação de conjeturas e generalizações foi baseado em abordagens operacionais, embora auxiliado pela interpretação visual.
Os mesmos investigadores identificaram ainda outros catalisadores do processo investigativo: velocidade de resposta, formato estruturado, facilidade de edição e reverificação de resultados para sua generalização, e a sua natureza interativa. Isto é consistente com as ideias de outros pesquisadores (por exemplo: Beare, 1993; Calder, 2004; Funnell, Marsh, & Thomas, 1995).
Weber (2012) realizou um estudo com o objetivo de desenvolver o pensamento recursivo dos alunos, onde propôs algumas tarefas que consistiam em encontrar o termo geral e a soma parcial de uma série. E reiterou que a folha de cálculo se adequa naturalmente para cálculos recursivos, já que uma fórmula pode ser definida como uma função de uma ou mais células. O mesmo autor constatou ainda que um hipotético n-ésimo termo de uma sucessão recursiva pode ser testado facilmente usando uma folha de cálculo para calcular um grande número de termos. De igual modo, uma conjetura sobre o limite de uma série pode ser testada usando uma folha de cálculo para calcular recursivamente várias somas parciais e acrescenta que, recorrendo à folha de cálculo, os alunos ganham alguma segurança sobre os cálculos, e uma vez que os alunos ficam confiantes sobre uma determinada fórmula ou relação matemática eles podem prová-la mais prontamente por indução matemática (Webber, 2012).
As folhas de cálculo são inerentemente recursivas e podem ser muito úteis no desenvolvimento de provas de hipóteses sobre as formas algébricas de funções e a recursão é uma poderosa ferramenta na coleção de técnicas de prova matemática. Os termos gerais de algumas sucessões e a soma parcial de uma série são naturalmente recursivas. Ainda a este respeito, Webber (2012) salienta que aquilo que as folhas de cálculo proporcionam, nestas circunstâncias, é evidência numérica e não prova, pelo que devemos, a seguir, provar formalmente que a hipótese é correta, talvez usando indução matemática, que é propriamente uma técnica recursiva.
Monaghan (2001), investigando sobre as ideias dos jovens a respeito do infinito, constatou que em uma lista de possíveis ciladas para os investigadores, “o mundo real” é aparentemente finito e não há nenhuma referência real para o discurso sobre o “infinito”. Esta não é apenas uma verdadeira cilada para os pesquisadores; é também o cerne de um problema para os alunos.
Tsamir (2001), baseando se nas ideias de Fischbein (1987), projetou tarefas de comparação de conjuntos infinitos, com base nos resultados de pesquisas que mostram soluções incompatíveis dos alunos, usando várias representações, a fim de aumentar a conscientização dos alunos de tais inconsistências. Vários estudos revelam que mesmo quando um mesmo problema ou um problema isomorfo é construído em diferentes contextos, o contexto e as formas de representação têm-se mostrado crucialmente influentes nas respostas dos alunos e na sua compreensão (Sacristán 1991; Tsamir, 2001)
Waldegg (1987) durante a investigação realizado no âmbito da tese de doutoramento, utilizou com sucesso contextos numéricos e geométricos através do uso de linguagem algébrica, para ajudar os alunos em “obstáculos”, observados por este investigador em casos anteriores, (por exemplo, se um conjunto geométrico é limitado, este é um potencial obstáculo para sua quantificação de infinito).
Garbin e Azcarate (2002) realizaram um estudo focado em inconsistências dos alunos em relação ao conceito de infinito real e salientaram a importância das tarefas de conexão entre quatro diferentes registros de representação: verbal, geométrica, gráfica, algébrica e analítica para desenvolver o pensamento mais coerente nos alunos em relação ao infinito real.
Tall (1986) verificou que é importante proporcionar experiências ricas, através de abordagens não-formais para a construção de ‘raízes cognitivas’ (imagens de conceitos) sobre as quais as teorias formais de cálculo mais tarde poderão ser construídas. Em particular, é eficaz para evidenciar factos que nem sempre são evidentes para os alunos.
Vários estudos revelam que geralmente quando os alunos tendem a "justificar" uma conjetura matemática obtida a partir de uma única imagem, falham ao tentarem um argumento baseado nas propriedades (Sowder, 199; Alcock & Simpson, 2005). As conclusões tiradas de tais imagens podem estar em conflito com as definições formais dos conceitos (Davis e Vinner, 1986; Tall & Vinner, 1981; Vinner, 1992). Em particular, o uso de uma única imagem estática pode induzir um foco sobre propriedades irrelevantes (Harel & Sowder, 1998; Presmeg, 1986, 2006) ou levar a argumentos gerais insuficientes porque a imagem é “protótipo” para apenas um subconjunto dos objetos em questão (Tall, 1995).
Em suma, a conceção de uma situação didática baseada na resolução de problemas com recurso à folha de cálculo deve tomar em linha de conta o que a investigação já permite concluir, em especial, que a folha de cálculo constitui uma ferramenta com muitas potencialidades para a compreensão de conceitos que envolvem sucessões e recursividade. Além disso, como outras ferramentas tecnológicas poderosas atualmente disponíveis, traz consigo a possibilidade de diversificar e de encorajar o uso de múltiplos registos de representação. Por fim, ajuda à formulação de conjeturas e apoia ideias e abordagens informais que deverão ser complementadas com a busca da prova matemática.