2. Kunnskapsgrunnlag
2.3 Stigma og psykisk helse
Procuramos analisar alguns livros didáticos observando as variáveis didáticas destacadas na página 62.
Selecionamos quatro livros para serem analisados. Os três primeiros são livros utilizados pela maioria das escolas atualmente, na cidade de Taubaté, e o quarto é da década de 70.
1 – Matemática – 8ª série
BIANCHINI, Edwaldo – editora Moderna – 1996
2 – Matemática Atual – 8ª série
BIGODE, Antônio José Lopes – Atual Editora – 1994
3 – Matemática – 8ª série
IMENES & LELLIS – Editora Scipione – 1999
4 – Matemática Curso Moderno – 8ª série
NETTO, Scipione Di Pierro; MUNHOZ, Ainda F. da Silva; NANO, Wanda; IKIEZAKI, Iracema; VIEIRA, Alcebiades – Edição Saraiva – 1974.
O objetivo desta análise foi verificar nesses discursos como estes autores propõem situações visando a transformação de um estado de não-saber para um estado de saber.
Em linhas gerais vamos citar os conteúdos de geometria abordados por esses autores e a ordem em que são tratados para que tenhamos uma visão da possível rede semântica pressuposta nestes livros, depois faremos a análise específica de como esses autores abordam o teorema de Thales.
Nos livros 1 e 4, o estudo da Geometria é abordado, após ter apresentado todo conteúdo da Álgebra pertinente à 8a série, já no livro 2 o autor faz uma revisão dos campos numéricos, trata alguns conteúdos de álgebra até equação do 2° grau depois introduz os conteúdos de Geometria, em seguida, continua os conteúdos de álgebra abordando funções e gráficos, a Matemática comercial e financeira, sendo que esses dois últimos não foram abordados nos livros 1 e 4. No livro 3, o estudo da geometria e da álgebra são intercalados.
- No livro 1, este estudo se inicia com os conceitos de segmentos proporcionais, semelhança, relações métricas num triângulo retângulo, trigonometria. Em segmentos proporcionais são trabalhados os conceitos de razão de segmentos, segmentos comensuráveis e incomensuráveis, segmentos proporcionais, feixe de paralelas, teorema de Thales e as conseqüências deste Teorema.
- No livro 2, este estudo se inicia com atividades de lógica e argumentação visando as demonstrações em geometria (são mostradas algumas importantes), depois trata de congruência e semelhança e do teorema de Pitágoras. Em congruência e semelhança são trabalhados: figuras congruentes, triângulos congruentes, figuras semelhantes, triângulos semelhantes, feixe de retas paralelas cortado por retas transversais, Relação de Thales e a semelhança de triângulos, ampliação de figuras por homotetia, aplicações do teorema de
Thales: cálculo de distâncias inacessíveis.
- No livro 3, o estudo se inicia com o capítulo de semelhança no qual se estudam figuras semelhantes, razão de semelhança, método para se desenhar figuras semelhantes (homotetia), triângulos semelhantes com algumas aplicações práticas, a semelhança dos triângulos formados por duas retas paralelas quando cortadas por duas retas transversais (ao exemplificar, trata a paralela na posição inclinada e as transversais se interceptando entre as paralelas), semelhança nos triângulos retângulos, relações métricas no triângulo retângulo e teorema de Pitágoras. No capítulo 4 aborda a trigonometria e polígonos inscritos e circunscritos. O capítulo 5, medidas trabalhando área e volume. No capítulo 8, intitulado Propriedades Geométricas, são estudados: ângulos nos polígonos, ângulos no círculo e paralelismo, sendo que neste último está abordado o teorema de Thales.
- No livro 4, o estudo da geometria se inicia com lugar geométrico e aplicações, projeção de pontos e segmentos segundo uma direção, Relação de Thales, aplicações da Relação de Thales, Triângulos em posição de Thales, semelhança de triângulos, áreas das figuras planas, etc.
Livro 1 (Bianchini)
Conteúdos anteriores: razão de segmentos, segmentos comensuráveis e incomensuráveis, segmentos proporcionais, feixe de paralelas.
Observamos que esse autor inicia o estudo do teorema fornecendo a definição e a demonstração do teorema para os segmentos comensuráveis, seguindo as proposições de Arnauld de forma bem direta e objetiva, depois mostra um exemplo e, a seguir, propõe exercícios para fixação e verificação da performance.
Neste discurso, embora o autor deixe em aberto o ponto de vista a adotar, para montar a proporção, ao desenhar uma configuração, intencionando visualizar e demonstrar esta proposição, ele acaba fixando o ponto de vista conservação das abscissas.
Em todos os exercícios, já é dada a configuração das paralelas com as transversais e espera-se que o aluno utilize o teorema de Thales para determinar o valor desconhecido nessas configurações (neste caso o teorema de Thales passa a ser um objeto modal).
Percebe-se, também, que, das 16 configurações fornecidas, temos uma predominância nas paralelas na posição horizontal e nas transversais não se interceptando, como mostra a tabela abaixo:
Tabela 4
Transversais se interceptando acima das // entre as // paralelas na horizontal 3 0 9 12 paralelas na vertical 0 0 0 0 paralelas inclinada 1 1 2 4 n° de casos 4 1 11 16 Transversais não se interceptando no papel n° de casos
Após os exercícios propostos, ele aborda as conseqüências do teorema de Thales, trabalhando a paralela a um dos lados de um triângulo e o teorema da bissetriz interna de um triângulo. Na paralela a um dos lados de um triângulo, não considera a semelhança entre os dois triângulos sobrepostos, mostra apenas a proporcionalidade entre os segmentos consecutivos não sobrepostos de uma transversal com os da outra transversal. Ao término de cada definição das conseqüências, faz a demonstração e propõe exercícios. A seguir, propõe exercícios complementares envolvendo todos os conceitos abordados, sendo que, destes exercícios, em 6 são fornecidas a configuração e em 5 são problemas descritivos.
Observamos nesse discurso que em nenhum momento foi tratado o cálculo do segmento formado na paralela. Esse cálculo só é visto no capítulo de semelhança de triângulos. Também notamos que o teorema de Thales sob o ponto de vista da conservação da relação de projeção também não é apresentado.
Livro 2 (Bigode)
Conteúdos anteriores: demonstrações em geometria, figuras congruentes, triângulos congruentes, figuras semelhantes, triângulos semelhantes, feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais.
Na sessão triângulos congruentes, o autor coloca como exemplo de um dos casos de congruência um problema extraído do livro Perspectivas da Matemática de Hans Freudenthal (educador holandês), em que descreve um método que teria sido utilizado por Thales para determinar a distância de um navio até a praia. Esse método se assemelha ao da segunda conjectura exposta no capítulo 1 (figura 2, p. 12).
Neste livro, a relação de Thales é apresentada em dois momentos. Primeiro, como uma generalização do conteúdo feixe de retas paralelas cortadas por retas transversais, e depois na sessão relação de Thales e a semelhança de triângulos. Mostrando, assim, o teorema de Thales sob dois aspectos: a conservação das abscissas e a dilatação por meio da semelhança de triângulos. No primeiro, ele escreve a proposição de Arnauld em relação ao feixe de paralelas cortadas por transversais e sugere a verificação experimentalmente. A seguir, generaliza este caso particular escrevendo a proposição que também é conhecida como relação de Thales: “Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais”, mas não faz nenhuma demonstração formal.
Após cada conteúdo, é proposta uma série de atividades de aplicação do saber ensinado. Observa-se que nas atividades relacionadas ao conteúdo, feixe de retas paralelas, são fornecidas várias configurações para que o aluno determine o valor desconhecido. Das 12 configurações, em nove, as paralelas estão na posição horizontal; em duas, na vertical e, em uma, na posição inclinada. Quanto às transversais, em quatro, elas não se interceptam; em três, elas se interceptam entre as paralelas e, em cinco, elas se interceptam acima ou abaixo das paralelas. Em relação às paralelas, percebe-se a predominância da posição horizontal e, em relação às transversais, há quase um equilíbrio. Nas atividades da sessão, relação de Thales e a semelhança de triângulos, há 5 atividades das quais, em 3, são fornecidas as configurações com as transversais se interceptando acima das paralelas, formando dois triângulos semelhantes para se calcular o valor desconhecido, e as outras 2 são atividades para aplicar os conceitos de figuras semelhantes. Constatamos, também que não é apresentada nenhuma atividade para se determinar a medida do segmento formado nas paralelas.
Nas sessões seguintes, o saber adquirido, teorema de Thales, poderá ser utilizado como ferramenta para realização de outras “performances”. Na sessão ampliação de figuras por homotetia ele propõe duas atividades (projetos), uma para ampliar e reduzir figuras e a outra tendo como objetivo a introdução da trigonometria. Em “Aplicações do Teorema de Thales”, ele apresenta e propõe atividades para calcular distâncias
inacessíveis, construção do retângulo áureo, divisão de segmentos em partes proporcionais, construção de instrumentos para se montar um laboratório de geometria, tais como pantógrafo, hipsômetro e astrolábio.
Um fato curioso, observado neste discurso, é que, embora o autor escreva um capítulo sobre demonstrações em geometria, no capítulo seguinte, com relação ao teorema de Thales, ele não faz uso disso.
Livro 3 (Imenes e Lellis)
Conteúdos anteriores: figuras semelhantes, triângulos semelhantes, semelhança no triângulo retângulo, paralelismo.
Inicia o capítulo paralelismo lembrando por meio de figuras as seguintes propriedades:
a) “Se duas retas são paralelas, os ângulos correspondentes formados por uma outra reta transversal a estas duas, são iguais”;
b) “Se duas retas paralelas são cortadas por duas paralelas, forma-se um paralelogramo e seus lados opostos têm medidas iguais”;
c) “A paralela a um dos lados de um triângulo divide-o em dois triângulos semelhantes, por isso, a medida de seus lados é proporcional”.
Comenta que outras propriedades são decorrentes dessas e convida os leitores a comprovar experimentalmente uma, que diz, ser descoberta pelo matemático grego Thales de Mileto (século VII a C.) e que foi exemplificada por meio de enunciados e configurações (paralelas na horizontal e transversais se interceptando acima das paralelas). A seguir, convida os leitores a acompanhar a dedução para ver por que isso acontece utilizando-se das três propriedades citadas acima. Ao escrever a proporção, fixa o ponto de vista conservação das abscissas e não faz nenhum comentário com relação aos segmentos formados pelas paralelas. Após esse percurso, resume o teorema de Thales através do enunciando: “Quando um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, há proporcionalidade entre as medidas dos segmentos correspondentes, que estão sobre as transversais”.
Após cada sessão são propostas três séries de atividades de aplicação do saber ensinado. A primeira série, com o título “Conversando sobre o texto”, expõe algumas questões para o aluno refletir e dissertar. Vejamos:
- “Apresente uma propriedade envolvendo paralelismo e medida de ângulos”; - “E outra sobre paralelismo e medida de segmentos”;
- “Apresente um exemplo da propriedade descoberta por Thales, usando números”;
- “Escreva algumas proporções válidas na situação dada pela figura 46 abaixo”:
Figura 46
Na segunda série, propõe sete exercícios. Em todos eles as configurações são apresentadas e, nas cinco questões iniciais é solicitado que o leitor faça algumas reflexões e as explique. No primeiro exercício, pede para explicar por que os ângulos alternos internos, formados por duas paralelas e uma transversal, são iguais. No segundo, pede para explicar por que os ângulos opostos de um paralelogramo são iguais. O terceiro, o quarto e o quinto já estão mais relacionados com o teorema de Thales.
O sexto e o sétimo exercícios são aplicações do teorema de Thales no cálculo de valores desconhecidos nas transversais. Quanto à posição das paralelas e transversais, veja a tabela 5:
Tabela 5
Transversais se interceptando acima das // entre as // paralelas na horizontal 0 0 1 1 paralelas na vertical 0 0 1 1 paralelas inclinada 3 0 2 5 n° de casos 3 0 4 7 Transversais não se interceptando no papel n° de casos
Observamos uma predominância das paralelas na posição inclinada e das transversais, explicitamente, não se interceptando ou se interceptando acima das paralelas. Notamos, também, que nessa sessão não há nenhum destaque nas transversais se interceptando entre as paralelas. Só percebemos este tipo de atividade na parte semelhança de triângulo, no qual não se faz nenhuma conexão explícita com o teorema de Thales. Quanto aos pontos de vistas citados por Guy Brousseau vemos o teorema de Thales apresentado apenas sob o aspecto da conservação das abscissas. Num dos exercícios, o aluno é solicitado a escrever três proporções diferentes com relação a uma configuração dada, nessa atividade pode-se perceber ou não os outros pontos de vista.
Na terceira série, são propostos seis exercícios, similares aos sete anteriores, para serem realizados em casa.
r t s 6 2 9 3 r // s // t
Livro 4 (Scipione – 1974)
Conteúdos anteriores: relação, função, projeção de pontos e segmentos segundo uma direção.
Inicia-se a sessão Relação de Thales, mostrando, por meio de figuras e de notações simbólicas próprias de funções, a correspondência que leva ponto a ponto e segmento a segmento vistos na sessão anterior, a seguir, demonstra algumas propriedades desta correspondência e, por fim, generaliza e enuncia a relação de Thales e de seu recíproco. Ao término desta sessão, não propõe exercício e já inicia outra sessão (aplicações de relação de Thales).
Na parte, Aplicações da Relação de Thales, ele propõe exercícios para se aplicar à relação de Thales na divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais, para determinar a terceira proporcional entre dois segmentos dados e a quarta proporcional entre três segmentos dados. Para realizar esta performance, ele fornece, no primeiro exercício, os passos para se dividir um segmento em partes iguais.
Na sessão triângulos em posição de Thales ele propõe exercícios para verificar a razão de proporcionalidade entre os lados correspondentes dos triângulos e para se construir triângulos em posição de Thales, dado a razão de proporcionalidade.
Na sessão semelhança de triângulos ele define semelhança de triângulos a partir de uma correspondência com os triângulos em posição de Thales e propõe alguns exercícios.
Ao término de todas estas sessões é que o autor propõe exercícios de aplicação do teorema de Thales para determinar medidas desconhecidas de uma figura dada, calcular terceira e quarta proporcional entre segmentos.
! Observações gerais
Dos quatro livros analisados, o que mais se assemelha com os demais livros didáticos encontrados no mercado é o livro 1. O livro 2, embora aparentemente siga a proposta curricular do Estado de São Paulo, é um livro pouco conhecido e adotado nas escolas em Taubaté, segundo entrevista feita com alguns professores. O livro 3, devido à avaliação do MEC, está sendo adotado em várias escolas. O livro 4 não é utilizado hoje em dia e nem se encontra no mercado.
Embora, nos quatro discursos, o enunciado do teorema pareça ser o mesmo, eles se diferenciam na forma de mostrar e justificar esta relação. Eles partem de conceitos diferentes, ou seja, as redes sintagmáticas utilizadas são diferentes. O primeiro trabalho direto no feixe de paralelas; o segundo associa com a semelhança; o terceiro, com as
propriedades dos paralelogramos e da transversal a um feixe de paralelas com relação aos ângulos e o quarto trabalha projeção de ponto sobre reta.
Percebe-se que, nesses livros didáticos, o conceito do teorema de Thales não é mostrado em sua “totalidade perceptiva”, ou seja, tem-se uma visão parcial do Teorema e de suas significações.
! Conseqüências didáticas
Para se ter o teorema de Thales apreendido em sua globalidade, acreditamos que é preciso que se reconheça, em qualquer configuração, a sua aplicabilidade, bem como, a aplicação do teorema em situações-problema em que não sejam fornecidas as configurações, além de saber demonstrar o Teorema. Para que isso ocorra, é necessário que, no momento da produção de sentido, haja uma perfeita articulação entre o plano de conteúdo e o plano de expressão.
Nos livros didáticos, percebemos que:
- não se abordam os vários pontos de vista na montagem da proporção;
- há a fixação de algumas configurações que chamaremos de configurações prototípicas;
- pouco se trabalha demonstração; - há poucos problemas de aplicação;
- há poucos problemas escritos sem a configuração; - não se trabalha mudança de registro;
- não se notam atividades utilizando o recíproco do teorema de Thales, o que proporciona a não ocorrência da reversibilidade;
- não se notam atividades para se calcular o valor dos segmentos formados nas paralelas pelas transversais.