Fundindo, assim, como quer a tradição cartesiana, cálculo numérico e cálculo especial.
Nesse livro, o autor mostra primeiramente, à maneira de Euclides, que os paralelogramos (respectivamente os triângulos) tendo as bases e alturas iguais são equivalentes, isto é, têm a mesma área, pois enuncia a afirmação (proposição 3):
“Dois retângulos de mesma altura são entre si como suas bases.”
ou, melhor dizendo: se dois retângulos têm a mesma altura, a razão da área do primeiro pela área do segundo é igual à razão da base do primeiro pela base do segundo.
Quando as bases são comensuráveis, a afirmação resulta de uma decomposição conveniente e quando as bases são incomensuráveis, Legendre utiliza o método da exaustão para demonstrar (isto é, a dupla redução ao absurdo).
Os ingredientes da demonstração do teorema de Thales pelo método das áreas são assim colocados, mas o teorema se prende somente à proposição 15. Antes de utilizar o método das áreas, Legendre explica, como se pode dizer, que a área de um retângulo é igual ao produto de sua base pela sua altura ao unir esta fórmula à escolha das unidades. De fato, enunciou a propriedade seguinte (proposição 4):
Dois retângulos quaisquer ABCD, AEGF estão entre eles como os produtos das bases multiplicadas pelas alturas, de modo que se a
área (ABCD) está para a área (AEGF), como, AB x AD está para AE x AF Com efeito, dispostos os dois retângulos como abaixo, tem-se as proporções área (ABCD) está para a área (AEHD) , como, AB está para AE
área (AEHD) está para a área (AEGF) , como, AD está para AF onde se obtém a proporção procurada pela multiplicação. Veja figura 14.
Figura 14
O autor observa, então, que podemos tomar por medida de um retângulo o produto de sua base pela sua altura, uma vez que se entende por esse produto aquele de dois números que são o número de unidades lineares contidas na base, e o número de unidades lineares contidas na altura.
Legendre explica que esta medida não é absoluta, mas que se deve tomar como unidade de superfície o quadrado no qual, o lado é a unidade de comprimento.
. . (AEGF) área (AEHD) área e . . (AEHD) área (ABCD) área AF AD AE AF AE AD AE AB AD AE AD AB = = = =
Dito isso, o método das áreas torna se um método de cálculo e este é portanto o que utiliza na seqüência, transformando o cálculo de raciocínio Euclidiano, misturando cálculo numérico e cálculo especial (Viete).
Desse modo, o autor demonstra vários resultados do livro I e II dos elementos de Euclides, no qual o teorema de Pitágoras, o teorema de Thales é enunciado somente na proposição 15, e o enunciado e a demonstração são aqueles de Euclides.
A seqüência do livro III está consagrada ao estudo das figuras semelhantes. Em como deduz a clássica relação métrica de um triângulo.
4) A demonstração de Lacroix
Lacroix num discurso preliminar se propõe a mostrar que se pode conciliar a ordem e o rigor, a ordem da natureza e não a ordem artificial da construção euclidiana e o rigor euclidiano muito esquecido nas obras do século XVIII.
a) as proporções
Os “Eléments de Géométrie” se apóiam sobre o conhecimento preliminar da Aritmética na qual levam a teoria das proporções; notamos que o “Traité d`arithmétique” só trata das razões inteiras ou fracionárias, o mesmo suplemento de aritmética colocado no início dos “Eléments de Géométrie”, que trata do cálculo das proporções. Os números irracionais aparecem nos “Eléments d`Algèbre” como o cálculo das raízes quadradas; Lacroix mostra que a raiz quadrada de um inteiro não é, em geral, um inteiro, mas, acrescenta:
“Entretanto se sente que deve existir uma quantidade que, multiplicada por ela mesma, produza um número qualquer...” o que o conduziria a distinguir duas espécies de números, os números racionais que são comensuráveis com a unidade e os números irracionais que são incomensuráveis, tendo de expor o método aritmético do cálculo aproximado das raízes quadradas.
b) as linhas proporcionais
Faremos, a princípio, algumas considerações sobre o teorema das paralelas, sendo definidas como as retas de um mesmo plano que não se encontram.
Lacroix admite o axioma que diz que “uma reta perpendicular a uma outra é interceptada por todas aquelas que são oblíquas a essa outra”. Para ele, assim como para Legendre “um axioma é uma propriedade evidente por ela mesma”, podendo
mostrar a congruência dos ângulos correspondentes e alternos internos utilizando o caso da congruência dos triângulos retângulos.
Figura 15
Seja a reta HI cortando as paralelas DE e FG em dois pontos L e M e seja K o ponto médio de LM , por K passa-se uma perpendicular às duas paralelas dadas, então os triângulos retângulos DLK e FMK são congruentes, o que implica as igualdades:
KM=KL, MF=LD, FK=KD, KMˆF = KLˆD, MKˆF = DKˆL, MFˆK = LDˆK =90º
Lacroix pode, então, enunciar e demonstrar o teorema:
“As partes AC e BD de duas retas paralelas interceptadas entre duas retas
paralelas CD e AB, são iguais entre elas e reciprocamente”.
Figura 16
Basta observar na figura 16 que os triângulos ABD e ACD são congruentes para se deduzir que duas paralelas “são em qualquer lugar igualmente distantes uma da outra”.
Lacroix pode, então, enunciar e demonstrar o teorema:
“Se duas retas quaisquer AF e GM são cortadas por um número qualquer de
paralelas AG, BH, CI etc. traçadas por pontos tomados a distâncias iguais
sobre a primeira, as partes GH , HI , IK , etc. da segunda, serão também iguais entre elas”.
Figura 17
Basta observar, primeiramente, que os segmentos GN, HO, IP, etc., são congruentes, pois os triângulos GNH, IOH, IPK etc, são congruentes.
Mostra-se então o teorema:
“Três paralelas AG, BH e FM cortam duas retas quaisquer AF e GM em partes
proporcionais”.
Se AD , conforme a figura, é comensurável com AF , é uma conseqüência do teorema precedente. Quando AD e AF são incomensuráveis, Lacroix utiliza o método da exaustão, admitindo, implicitamente, como já dissemos, a existência de uma quarta proporcional.
Figura 18
Seja I o ponto da reta GM tal que AF: AD:: GM : GI mostrar-se-á que os ponto I e K coincidem.
Suponhamos GI < GK e dividindo AF em partes iguais suficientemente pequenas de modo que existe um ponto de divisão d tal que a paralela transportada por
AG encontra GM num ponto e situado entre I e K, então AF está para Ad , como,
GM está para Ge e por conseqüência Ad está para AD , como, Ge está para GI ou
Ad < AD e Ge > GI o que é contraditório. Desse modo se se supõem GI> GK, obtém-se uma contradição, por conseqüência GI≅ GK ou seja I e K coincidem.
Notamos que esse mesmo raciocínio de exaustão é empregado em seguida no livro para mostrar a proporcionalidade entre ângulos e arcos, isso, também, nós vimos no método que emprega Legendre nos seus “Eléments de Géométrie”.
Uma vez demonstrado o teorema das linhas proporcionais, Lacroix estuda a similitude e deduziria as relações métricas usuais nos triângulos. Como em Legendre, essas relações se apóiam sobre as medidas das grandezas consideradas.