Depressiv lidelse

A análise da evolução histórica da demonstração referente o “teorema de Thales” permitiu detectar que o estatuto mal definido dos números até final do séc. XIX (até a construção da teoria dos números reais com Dedekind, Cantor, Weierstrass e Méray) e as grandezas incomensuráveis foram os obstáculos epistemológicos1 na definição da

1 _{Esse termo emprestamos da teoria de Brousseau que dentre vários tipos de obstáculos relacionados ao}

ensino-aprendizagem, destaca os obstáculo epistemológicos como sendo os que representaram rupturas importantes no desenvolvimento histórico dos conceitos. Eles são inerentes ao saber e identificáveis pelas dificuldades encontradas pelos matemáticos. (Saddo, 1997, p. 40 a50)

teoria das proporções. A descoberta dos segmentos incomensuráveis e que os números naturais são insuficientes para definir a razão entre duas grandezas foi uma ruptura epistemológica, pois acreditava-se na possibilidade de explicar todos os fenômenos em termos dos números e de suas razões.

Essa crise foi superada ainda no século IV a.C., por Eudoxo da Escola de Platão, que desenvolveu uma teoria das proporções, a qual permitiu superar o obstáculo da incomensurabilidade sem a necessidade dos números irracionais (eliminou os recursos numéricos).

Notamos que Euclides utilizou-se do método das áreas para não tratar da proporcionalidade sob o aspecto numérico. Arnauld (séc. XVII) desenvolveu um método de aproximação, chegando próximo ao cálculo numérico, considerando a razão como uma “quantidade”, logo, pode ser comparada (igual, maior, menor). No caso das grandezas incomensuráveis, Arnauld verificou se as razões eram iguais, comparando-as, utilizando a clássica dupla redução ao absurdo (método da exaustão dos geômetras gregos). Legendre misturou o método das áreas e as propriedades numéricas. Lacroix utilizou o método da exaustão admitindo a existência de uma quarta proporcional.

Só no século XIX, com a construção dos números reais é que o estatuto de número se torna preciso, permitindo, assim, redefinir a relação entre o geométrico e o numérico.

A intenção de estudarmos as demonstrações do teorema de Thales, por meio da pesquisa de Rudolf Bkouche foi fazer uma análise prévia do desenvolvimento histórico, epistemológico desse conteúdo com a finalidade de identificarmos obstáculos epistemológicos nas demonstrações apresentadas. A seguir, algumas considerações didáticas são tecidas almejando, mais à frente podermos escolher e adaptar uma dessas demonstrações para abordar na seqüência didática elaborada para os alunos.

! Considerações didáticas:

Para utilizarmos a demonstração do teorema pelo método de Euclides, seria necessário que os alunos já tivessem apreendido as noções de área, de razão, de proporção, de figuras equivalentes, de figuras congruentes e os postulados das paralelas. A priori, a nosso ver, essa demonstração não parece ser a mais adequada. Um aspecto que nos incomoda bastante é o fato de comparar grandezas de natureza diferente, ou seja, razão entre as áreas e entre comprimentos. Outro fator em jogo está relacionado à necessidade de uma apreensão operatória, que exige um trabalho mental de visualização, decomposição e reconfiguração dos triângulos equivalentes, o que, talvez, não seja uma tarefa muito fácil para os alunos iniciarem um estudo com demonstração.

Para a demonstração utilizando o método de Arnauld, os alunos deverão ter adquirido as noções de razão, proporção e saber que as retas oblíquas a um feixe de paralelas faz ângulos alternos iguais, para mobilizando esses conhecimentos apreender o teorema das proporções que diz: “quando duas linhas são igualmente inclinadas em dois diferentes espaços paralelos, a razão entre elas é equivalente a razão entre as perpendiculares desses espaços e equivalente a razão entre os segmentos de extremidades no pé da perpendicular e no início dessas linhas em cada espaço”. A linha, a perpendicular e esse segmento, formam na verdade dois triângulos retângulos semelhantes contido nos espaços paralelos distintos. Arnauld, depois de provar essa proposição fundamental, enuncia várias conseqüências, que, a nosso ver, seriam a generalização para outras configurações. Essa demonstração talvez possa ser adaptada utilizando a semelhança de triângulos.

A demonstração de Legendre nada mais é que o método de Euclides associado às propriedades numéricas, o qual, antes de utilizar o método das áreas, define a área do retângulo como sendo o produto de sua base por sua altura que, como foi dito, não nos parece apropriada, porém, o aspecto de estarmos comparando grandezas diferentes (área e comprimento) fica minimizado.

Para estudar a demonstração de Lacroix, o aluno deverá ter noção de proporção e de congruência de triângulos, pois por meio da congruência de triângulos, ele demonstrou a congruência dos ângulos alternos internos formados por duas paralelas interceptadas por duas transversais. Com isso, ele demonstrou que os segmentos formados por duas retas paralelas interceptadas por duas outras retas paralelas são iguais entre elas. A nosso ver, podemos adaptar essa demonstração a partir daí, considerando o paralelogramo e a propriedade dos lados opostos serem congruentes. A seguir, utilizando essas propriedades ele demonstrou o teorema, considerando as grandezas comensuráveis e para as grandezas incomensuráveis utilizou o método da exaustão. Esse método, a nosso ver, seria um bom caminho para iniciarmos o estudo da demonstração, devido ao fato de o encadeamento das demonstrações apresentar uma certa ordem utilizando em todas as etapas unidades figurais pertinentes comuns. O que não acontece na demonstração de Arnauld, quando demonstra a congruência dos ângulos alternos internos utilizando a medida dos arcos de um círculo, a não ser que partamos do princípio que essa já é uma proposição verdadeira.