O que é o ábaco?
Podemos dizer que ábaco é o nome genérico dado a um instrumento que nos auxilie na contagem de objetos ou mesmo na efetuação de operações aritméticas simples como adição e subtração. Neste sentido, ábacos ou contadores mecânicos são milenares. Há registros de sua existência muito antes da era cristã. Os ábacos mais antigos e rudimentares eram na verdade pedrinhas ou contas usadas para representar quantidades.
De qualquer modo, sendo a contagem uma atividade tão universal na humanidade, os diversos povos inventaram ou adaptaram o seu próprio ábaco. Existe, portanto, uma infinidade de ábacos ou variações destes. Esta característica do ábaco se adequa perfeitamente ao nosso trabalho, pois, se de um lado, o ábaco incorpora uma necessidade universal no homem, a necessidade de contar, por outro lado ele também incorpora a diversas manifestações culturais que se apresentam na humanidade. Ele é um e muitos ao mesmo tempo. É uma manifestação multicultural.
Os ábacos mantêm o princípio da ideia de agrupar quantidades em bases pré- combinadas e trocá-las, que é o princípio da contagem valor posicional, tanto da base dez como de quaisquer outras bases.
O ábaco nos acompanha há muitos séculos, pois ele foi útil mesmo quando o homem “contava sem saber contar”. Chamamos de contar sem saber contar àquele tipo de contagem na qual se procede a uma contabilidade silenciosa: correspondência um a um dos objetos com quaisquer marcadores, por exemplo, os dedos das mãos. Isto é o que acontece quando uma criança faz corresponder uma a uma pessoas com os pratos que lhe foram solicitados para pôr à mesa; quando fazem corresponder uma a uma tampinhas e garrafas. Em todas estas situações ela estará fazendo uma contagem elementar denominada também de correspondência termo a termo.
Fazer esta correspondência é importante para o princípio da contagem, mas nem por isto pode ser considerada uma contagem legítima com a necessária abstração. Isto significa que muito antes da humanidade criar seus inúmeros sistemas de numeração ela contava visualmente.
Para demarcar quantos guerreiros estavam indo para uma batalha ou qualquer outro agrupamento que se quisesse contabilizar um objeto era colocado em determinado lugar,
representando cada um dos guerreiros, ou então se adotava uma sequência mnemônica1. Nossos ancestrais usavam versinhos, músicas, poesias, marcas em madeiras ou no próprio corpo numa sequência cadenciada, segundo valores de cada cultura, inclusive ligados a ritos religiosos.
Em certas regiões da África Ocidental, até pouco tempo atrás, pastores tinham um costume bastante prático para avaliar seu rebanho. Faziam os animais passarem um a um, em fila. Após a passagem do primeiro enfiavam uma concha num fio de lã branca, após o segundo outra concha, e assim por diante até dez. Nesse momento desmanchava-se o colar e se introduzia uma concha numa lã azul, associada às dezenas, e se recomeçava a enfiar conchas na lã branca até a passagem do vigésimo animal, quando se introduzia uma segunda concha no fio azul. Quando esta tinha, por sua vez, dez conchas, e cem animais haviam sido contados, desfazia-se o colar das dezenas e enfiava-se uma concha numa lã vermelha, reservada desta vez para as centenas. E assim por diante até o término da contagem dos animais.
Para duzentos e cinquenta e oito animais, por exemplo, haveria oito conchas de lã branca, cinco azuis e duas vermelhas.
Figura 8 – Conchas coloridas representando 258 animais
Fonte: reprodução própria
Observe que o ponto crucial com o qual se depararam nossos ancestrais foi como demarcar as pedras, de maneira que se soubesse quando elas assumiam o valor de unidade ou de grupo. Assim foi inventado o princípio da posição ou das ordens das pedras – no ábaco: a cada grupo formado troca-se a pedra de lugar ou posição - por convenção posterior sempre à
esquerda, sendo então que cada conta passa a valer mais do que a da ordem imediata da direita, tantas vezes mais quanto é a base escolhida. Portanto, crescendo potencialmente para a esquerda, neste caso, em grupos de dez, ou seja, na base dez.
Figura 9 – Alguns tipos de ábaco
Terceiro tema: Ábaco Russo
Em nosso trabalho escolhemos para desenvolvermos conceitos aritméticos a utilização do ábaco. Detemos-nos no ábaco russo e no ábaco chinês, é interessante mostrarmos algumas ideias para construí-los. Mesmo porque não convém que o professor fique dependente exclusivamente o material didático que a escola compra. No caso da escola não ter ábaco para todos os alunos, confeccionar um modelo simples pode ser uma alternativa viável.
Figura 10 – O ábaco Russo
Fonte: arquivo próprio
Para construir um ábaco russo será necessário o seguinte material:
1. 1 retângulo de cartolina dura com mais ou menos 21 x 27 cm. (Você pode usar uma caixa de sapatos!!)
2. Barbante grosso o suficiente para fazer várias fileiras e firmar nas pontas. Em torno de 2m10cm.
3. Grampeador 4. Tesoura 5. Régua
6. 49 contas de cor clara e 12 contas de cor escura. (Você pode usar pedaços de macarrão, colorindo se necessário com caneta ou pincel atômico. Também pode usar botões.) Certifique-se de que você tem espaço suficiente para mover 10 contas ou em cada barbante.
Como desenvolvemos as atividades
Deve-se iniciar com a fala do professor para os alunos abordando os seguintes temas: 1. Mostrar no mapa-múndi a localização da Rússia.
2. Falar sobre a Rússia, seu povo, seus governantes.
3. Falar sobre o ábaco Russo, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção do ábaco russo.
5. Propor a construção do ábaco Russo.
Com o mapa-múndi o professor mostra sua localização, fala como vive este povo e sobre seus governantes. Em seguida, mostra o ábaco russo explicando que também existem outros tipos de ábacos. Faz uma sondagem sobre quem deles já conhecia algum tipo de ábaco, e para que acha que serve. Irão surgir vários questionamentos.
Figura 11: Mapa da Rússia
Fonte: http://www.google.com.br Acessado em 06.09.2012.
Depois apresenta o ábaco enquanto objeto multicultural, histórico.
Logo após, explore ideia de unidade, dezena e centena, como conceito aritmético. O professor mostra o ábaco russo explicando bem detalhado o que cada linha e contas representam, e como pode utilizar o ábaco no nosso cotidiano. Propondo sua construção:
Figura 12- Construindo o Ábaco Russo
Fonte: arquivo pessoal
Como construir o ábaco russo
1. Corte o barbante 7 pedaços iguais, um pouco maior que o comprimento da cartolina.
2. Grampeie uma das extremidades de cada pedaço de corda na cartolina. Amarre a corda no grampo.
3. Comece com a corda de cima. Coloque quatro contas claras, depois duas escuras, então mais quatro claras. Grampeie a extremidade da corda na cartolina. Amarre a extremidade do barbante no grampo.
4. Faça o mesmo que fez no passo 3 para cada corda, exceto para a da vírgula decimal que tem só uma conta clara.
5. Pronto! O seu ábaco.
Como calcular com o ábaco russo
Diferente do ábaco do chinês o cálculo sempre começa da esquerda para direita, ou pelo numero mais alto do seu calculo. Por exemplo, somar 345 com 620, primeiro colocará o numero 345 no ábaco, adiciona 3 ao 6. Seque 9 = 10 – 1 remove-se 6 na varra das centenas daí, adiciona 4 ao 2 nas contas das dezenas. Depois 5 ao 0 que fica na mesma posição pois o zero não representa nem uma conta. O resultado esperado esta no ábaco: 965.
Seguindo sempre da esquerda para direita, o cálculo deve se iniciar sempre que colocar o primeiro número a ser somado a parti da unidade ou do número maior representado.
Agora o professor separa em grupos para que um aluno veja o outro fazendo contas e depois se inverte o procedimento.
Sugestões de trabalho com o ábaco Russo
1. Representem no ábaco russo os seguintes números: a) 25 b) 55 c) 73 d) 81 e) 102 f) 220 g) 341 h) 2012 i) 2124 j) 4013
2. Operação de adição usando o ábaco russo: a) 7 + 2 b) 8 + 1 c) 12 + 7 d) 13 + 5 e) 5 + 11 f) 201 + 18 g) 102 + 15 h) 130 + 20 i) 205 + 12 j) 310 + 2
3. Ainda calculando operação com adição a) 17 + 3 b) 125 + 18 c) 209 + 7 d) 119 + 48 e) 229 + 82
4. Operações de subtração usando ábaco russo a) 15 に 4 b) 9 に 7 c) 23 に 12 d) 16 に 4 e) 10 に 8 f) 16 に 9 g) 23 に 17 h) 2220 に 150 i) 234 に 67 j) 25 に 14
5. Agora inventem utilizando seu ábaco e represente as operações com adição e subtração. Escreva em seu caderno como se faz para somar e subtrair usando o ábaco.
Quarto tema: O ábaco chinês
Figura 13 – Suan Pan ou Ábaco Chinês
Fonte: arquivo pessoal
O Ábaco Chinês, tal como aparece na figura acima, consiste em uma estrutura retangular de madeira dividida longitudinalmente em duas partes iguais por uma vareta horizontal. Pode possuir nove, onze, treze ou mais colunas de bolas móveis, feitas geralmente de madeira. São sete bolas em cada coluna: duas em cima da vareta horizontal e cinco abaixo dela. As bolas situadas na parte superior da vareta chamam-se hiperbolas; as da parte inferior, hipobolas. Uma hiperbola equivale a cinco hipérbolas.
Para construir um ábaco chinês você vai precisar do seguinte material:
Use os mesmos materiais usados para o ábaco russo com estas diferenças: Mais ou menos 1,25 m = 125 cm de barbante
Trinta e cinco contas Fita adesiva (opcional)
Como desenvolvemos as atividades
Deve-se iniciar com a fala do professor para os alunos abordando os seguintes temas: 1. Mostrar no mapa-múndi a localização da China.
2. Falar sobre seu povo, sua cultura.
3. Falar sobre o ábaco Chinês, sua finalidade e sua construção.
4. Falar sobre os recursos necessários e sobre o processo de construção do ábaco chinês.
5. Propor a construção do ábaco chinês. 6. Propor calcular com ábaco chinês.
Com o mapa-múndi o professor mostra sua localização, fala como vive este povo e sobre sua cultura.
Figura 14 – Mapa da China
Fonte: disponível em: http://www.google.com.br acessado em 06.09.2012.
Em seguida, mostra o ábaco chinês explicando que também existem outros tipos de ábacos. Faz uma sondagem sobre quem deles já conhecia algum tipo de ábaco, e para que acha que serve. Irão surgir vários questionamentos.
Depois apresenta o ábaco enquanto objeto multicultural, histórico.
O professor mostra o ábaco chinês explicando bem detalhado o que cada linha e contas representam, e como pode utilizar o ábaco no nosso cotidiano. Propondo sua construção:
Figura 15 – Construindo o Ábaco Chinês
Fonte: google imagens
Como construir o ábaco chinês
1. Corte o barbante em cinco pedaços, um pouco mais longo que a largura da cartolina
2. Grampeie a extremidade de cada barbante na cartolina e amarre no grampo 3. Comece com o primeiro barbante. Prenda 2 contas nele e grampeie ou cole
com fita adesiva o barbante de forma que as contas possam ser movidas. O grampo ou a fita serve como uma barra de divisão.
4. Prenda 5 contas no barbante grampeie a extremidade na cartolina e amarre 5. Repita os passos 3 e 4 com as contas e pedaços de barbante que sobraram.
Como calcular com o Ábaco Chinês
(Texto extraído da revista Educação Pública, 2007) As quatro operações com o ábaco chinês
Este texto explica somente as operações fundamentais da aritmética do ábaco, mas suas possibilidades vão muito além. A intenção do autor é familiarizar os leitores com esse antigo e engenhoso instrumento, que foi durante tanto tempo de domínio exclusivo dos chineses. Ele espera que, doravante, muito mais pessoas possam se beneficiar de suas vantagens.
Valor segundo sua colocação
O valor de bola depende da coluna que tomemos como unidade. As bolas da coluna situada na mão esquerda têm mais valor que as situadas na coluna da direita. A unidade da coluna do lado esquerdo possui valor dez vezes maior que sua equivalente situada na coluna do lado direito. Deste modo, se tomamos como unidade a primeira coluna do lado direito da vareta, uma hipobola da segunda coluna valerá dez vezes mais; uma da terceira será cem vezes maior etc.
Digitação
Comprovou-se que a melhor forma de mover as hipobolas é usando as pontas do polegar e do indicador; as hiperbolas, usando o dedo médio. Se fossem usados o polegar e o médio para mover as hipobolas, o indicador ficaria sem função e poderia induzir ao erro. O desenho abaixo mostra a forma correta de manusear as hipobolas e as hiperbolas.
(Continuação) Como usar o ábaco
Antes de começar a usar o ábaco, todas as hiperbolas devem ser colocadas no extremo superior da tabuinha e as hipobolas no extremo inferior. Uma vez colocadas assim, estão em posição para serem movidas para cima ou para baixo para registrar qualquer número. A vareta do meio é o eixo ao lado do qual se vão colocando as bolas que vamos usando. As bolas que permanecem inativas ou neutras devem ser colocadas nos lados.
Para somar ou subtrair não é necessário mover a hiperbola que está no extremo superior nem a última das hipobolas. Já que uma hiperbola equivale a cinco hipobolas, em vez de mover a última hipobola para contar até cinco, podemos usar uma hiperbola e devolver a posição neutra ou de inatividade as quatro hipobolas restantes. Do mesmo modo, já que uma hipobola situada na coluna da esquerda é igual a duas hiperbolas adjacentes situadas na coluna da direita, em vez de usar a hiperbola do extremo superior para somar dez, podemos usar uma hipobola da coluna à esquerda e devolver à posição neutra a hiperbola do extremo inferior.
Comprovação
É aconselhável, sobretudo para os principiantes, comprovar os resultados de um cálculo. Para isso, pode-se usar um ou dois métodos. Adição, subtração, multiplicação e divisão nos permitem verificar através de sua operação oposta. Assim, por exemplo, o resultado de uma soma pode ser comprovado por uma subtração e vice-versa. O mesmo ocorre com a multiplicação e a divisão. Contudo, o método geralmente usado pelos especialistas no uso do ábaco é repetir a operação.