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Quando se pensa numa forma de cálculo contrária (ou alternativa) ao cálculo mental vem-nos logo à memória a palavra algoritmo ou a expressão cálculo algorítmico. Tal como acontece com a designação cálculo mental, também a palavra algoritmo assume significados distintos conforme os diferentes autores e os seus propósitos.

O Dicionário de Língua Portuguesa da Academia das Ciências de Lisboa define o significado da palavra algoritmo como o “processo de resolução de um problema, constituído por uma sequência ordenada e bem definida de passos que, em tempo finito, conduzem à solução do problema ou, indicam que, para o mesmo, não existe soluções” (2001, vol. I, p. 168). Esta definição corresponde, em termos gerais, à assumida por Bokhove e Noteboom (2008) num glossário da sua autoria: “um algoritmo é um método de cálculo passo a passo que segue um procedimento fixo” (p. 243).

Usiskin (1998) considera que é possível organizar a maior parte dos algoritmos em três grandes categorias: algoritmos aritméticos, algoritmos de cálculo e algébricos e algoritmos de desenho. Como exemplos de algoritmos aritméticos temos o algoritmo da raiz quadrada, da adição, subtração, multiplicação e divisão com números com vários algarismos. Como exemplos de algoritmos de cálculo e algébricos temos, entre outros, os que são usados para resolver equações e inequações lineares ou calcular integrais. Finalmente, algoritmos de desenho são os que são usados para fazer gráficos de barras, gráficos circulares e construções geométricas de régua e compasso, entre outros. Nesta secção explicito os vários significados atribuídos a algoritmos, na aceção de algoritmos aritméticos, associados às quatro operações aritméticas elementares.

Referindo-se aos algoritmos aritméticos, Fuson (2003b) considera que os algoritmos são “métodos de solução” para as operações com números multidígitos e, mais especificamente, afirma que “um algoritmo é um procedimento geral com várias etapas que produzirá uma solução para uma dada classe de problemas” (p. 301). Referindo-se concretamente aos algoritmos da multiplicação e da divisão, a investigadora afirma que estes correspondem a um conjunto de passos alinhados e organizados segundo

os valores de posição dos algarismos e não requerem qualquer compreensão sobre o que acontece às unidades, dezenas e centenas.

Treffers, Noteboom e Goeij (2008) vão ainda mais longe do que as definições de algoritmo apresentadas anteriormente, ao afirmarem que “algoritmos são “receitas” para calcular com dígitos” (p. 147). Efetivamente, esta expressão resume as características, praticamente consensuais, do cálculo algorítmico: calcula-se com dígitos e não com os números como um todo e segue-se um conjunto de regras, segundo uma determinada ordem, em qualquer cálculo com certas características. Ainda assim, apesar de haver especificidades, aceites por quase todos os que se debruçam sobre o que é um algoritmo, há conceções um pouco diferentes sobre o seu significado. Algumas delas são bastante amplas e têm mesmo pontos comuns com o que se entende por cálculo mental.

Um dos autores que apresenta uma categorização de tipos de algoritmos é Thompson (2003b), referindo-se a algoritmos escritos. Esta é organizada considerando as características – formal versus informal e padronizado versus não padronizado – que conjuga entre si (figura 3.1).

Uma vez que não faz sentido, por ser contraditório, um algoritmo ser padronizado e informal ao mesmo tempo, Thompson (2003b) considera e caracteriza os outros três tipos de algoritmos escritos: padronizados formais, não padronizados formais e não padronizados informais.

Formal Informal

Padronizado Padronizado formal Padronizado informal Não padronizado Não padronizado formal Não padronizado informal

Figura 3.1 – Tipos de algoritmos escritos (adaptado de Thompson, 2003b, p. 172)

Na primeira categoria, de algoritmos padronizados formais, inclui os algoritmos tradicionais/usuais ensinados nas escolas: com uma representação vertical e em que se calcula com dígitos. A figura seguinte apresenta o algoritmo mais usual, no caso da operação multiplicação.

Figura 3.2 – Algoritmo padronizado e formal, de acordo com Thompson (2003b)

Na categoria de algoritmos não padronizados formais inclui um certo tipo de algoritmos considerados formais porque obedecem a uma apresentação normalizada, mas não padronizados, pois são diferentes dos tradicionais e, muitas vezes, são baseados em cálculos mentais dos alunos. A figura 3.3 apresenta, à esquerda, um exemplo deste tipo de algoritmo, na aceção de Thompson (2003b).

Figura 3.3 – Algoritmos não padronizados e formais (de acordo com Thompson, 2003b)

Nesta segunda categoria Thompson (2003b) inclui, ainda, cálculos verticais baseados em produtos parciais ou cálculos apoiados no modelo de área para a multiplicação “longa”, tal como se apresenta também na figura 3.3.

Finalmente, na terceira categoria de algoritmos, não padronizados informais, Thompson (2003b) inclui um conjunto amplo de procedimentos que correspondem a representações informais no papel de modos de pensar das crianças. Estes estão associados a expressões escritas que as crianças começam por fazer, naturalmente, no início do trabalho com as operações, antes de aprenderem os algoritmos padronizados formais. Um exemplo deste tipo de algoritmo associado à operação multiplicação é o cálculo do produto 125×4 através da seguinte sequência de cálculos: 100×4=400; 20×4=80; 5×4=20 e 400+80+20= 500.

A categorização apresentada por Thompson (2003b), além de muito geral, o que é contraproducente em termos da sua aplicabilidade, não é consistente com o referido por outros investigadores sobre esta mesma temática, uma vez que inclui tipos de cálculo que são considerados como não algorítmicos e, até, como exemplos de cálculo mental, por autores como Bokhove e Noteboom (2008), Threlfall (2002) e Treffers et al. (2008).

Para além dos vários entendimentos acerca dos algoritmos usuais há investigadores, como Fuson (2003b) que, apesar considerarem que um algoritmo é um conjunto de procedimentos gerais e ordenados que conduzem a uma solução de um certo tipo de problema (ver a definição de Fuson apresentada anteriormente nesta subsecção) apelam para a introdução prévia do que denominam por algoritmos acessíveis. Estes, cujo objetivo é facilitar a compreensão dos algoritmos usuais, constituem passos intermédios em que se realizam cálculos com números e não com dígitos, com significado para os alunos e cujo destino final é o algoritmo correspondente. Por exemplo, na multiplicação esses algoritmos acessíveis podem ser apoiados na disposição retangular e nos diferentes produtos parciais que surgem a partir da decomposição decimal de cada um dos fatores. A figura seguinte ilustra a construção de um algoritmo acessível da multiplicação, na aceção de Fuson (2003b):

Figura 3.4 – Algoritmos acessíveis da multiplicação, de acordo com Fuson (2003b)

Segundo a mesma investigadora a passagem por um algoritmo acessível, apoiado no modelo retangular, em que se calculam os diferentes produtos parciais trabalhando com números e da esquerda para a direita, tal como o exemplificado na figura 3.4, permite aos alunos uma melhor compreensão sobre o processo complexo que é o

algoritmo tradicional da multiplicação, em que se calcula com dígitos e da direita para a esquerda (Fuson, 2003b).

O trabalho com os algoritmos é encarado, também, de modo progressivo por outros autores, além de Fuson (2003b), apesar de ser numa perspetiva um pouco diferente. Treffers et al. (2008) assumem que os alunos devem, gradualmente, passar primeiro por outros tipos de cálculo que lhes permitam, mais tarde, compreender os procedimentos relativos aos algoritmos tradicionais. Um desses tipos de cálculo é denominado cálculo em coluna e caracteriza-se, não apenas por se disporem os números na vertical mas, essencialmente, por se calcular com números, da esquerda para a direita e tendo subjacentes decomposições decimais dos números envolvidos. Exemplifico, na figura seguinte, a passagem gradual, preconizada pelos autores, do cálculo em coluna para o algoritmo, no caso da multiplicação.

Figura 3.5 – Passagem gradual do cálculo em coluna para o algoritmo da multiplicação, de acordo com Treffers et al. (2008)

Na figura anterior, a representação vertical mais à esquerda inclui os produtos parciais resultantes do cálculo (mental) por decomposição, efetuado da esquerda para a direita. A representação intermédia inclui os mesmos produtos parciais que a primeira, mas escritos de modo a poderem ser adicionados de acordo com o que acontece no algoritmo. Finalmente, a terceira representação corresponde ao algoritmo usual, no qual os procedimentos estão condensados em duas linhas, não muito diferentes das duas adições parciais que podem ser efetuadas a partir da representação anterior. Esta passagem gradual do cálculo em coluna para o algoritmo, que pode ser efetuada em cada uma das operações aritméticas, é preconizada genericamente pela Matemática Realista (Treffers et al., 2008).

Em suma, há diferentes conceções sobre o que se entende por algoritmo (no que respeita às operações aritméticas) e diferentes designações e tipos de algoritmos. Para ilustrar esta constatação pode observar-se na figura 3.3, um algoritmo não padronizado formal (Thompson, 2003b), que é muito semelhante à representação mais à direita da figura 3.4 e que corresponde a um algoritmo acessível (Fuson, 2003b). Estes dois tipos de algoritmo, por sua vez, são análogos ao cálculo em coluna exemplificado na figura 3.5 (Treffers et al., 2008).

Ainda assim, quando se refere a palavra algoritmo de uma operação aritmética, na aceção de cálculo algorítmico em termos matemáticos, de um modo geral e sem detalhar especificidades concretas, há características que se evidenciam e que são relativamente consensuais: trabalhar com dígitos, calcular da direita para a esquerda (exceto no caso da divisão) e seguir um conjunto de procedimentos mecânicos e sequenciais que conduzem a uma solução de um certo modelo de problemas, quaisquer que sejam os números envolvidos. É este, também, o entendimento de algoritmo neste estudo. Além da noção de algoritmo, também o entendimento de cálculo em coluna está de acordo com o preconizado por Treffers et al. (2008).