Metodisk  refleksjon

Na última subsecção descrevi e discuti algumas das categorizações de estratégias usadas pelos alunos, resultantes de diferentes investigações realizadas ao longo das duas últimas décadas. Apresento e analiso, seguidamente, sob a forma de tabela, um resumo comparativo dessas várias categorizações, referindo separadamente as relativas à resolução de problemas de multiplicação e de problemas de divisão, por serem um dos focos da investigação que realizei.

A tabela 3.2 resume as categorizações de estratégias usadas pelos alunos que discuti nas secções anteriores, centrando-me na operação multiplicação. A análise comparativa das diferentes categorizações permite identificar dois grandes grupos de estratégias de cálculo de multiplicação, se excluirmos as estratégias de modelação direta, muito associadas ao início do trabalho com a multiplicação e relacionadas com o uso de materiais concretos ou de registos escritos associados à contagem. Estas duas grandes categorias são as estratégias de número completo e as estratégias de decomposição. No primeiro tipo de estratégias incluem-se aquelas em que se efetuam cálculos considerando os números como um todo, tirando partido das suas características e das relações numéricas que podem ser estabelecidas. No segundo tipo de estratégias incluem-se aquelas em se realizam decomposições, decimais ou não, de um ou dos dois fatores envolvidos. Além destas duas grandes categorias há, ainda, a referir as estratégias de compensação que, para alguns autores (Baek, 1998, 2006; Hartnett, 2007) constituem mais uma categoria a acrescentar às anteriores ou estão incluídas nas estratégias holísticas (Heirdsfield et al., 1999) enquanto, para outros, são uma categoria geral que pode ser usada de modo articulado com cada uma das duas principais (Foxman & Beishuizen, 2002). A razão desta diferença está relacionada com o facto de, ao usar esta estratégia, um dos números iniciais (ou vários) ser substituído por outros, de acordo com as suas características e de modo a facilitar os cálculos, sendo efetuada depois a compensação.

As categorias gerais de estratégias de multiplicação que sobressaem da análise comparativa efetuada estão de acordo com o apresentado por Verschaffel, Greer e Torbeyns (2006) e Verschaffel et al. (2007) que, numa síntese recente da investigação sobre as estratégias usadas pelos alunos, as organizam para a multiplicação (e divisão) do seguinte modo: modelação direta, número completo, partição de números e compensação.

A tabela 3.3 resume as categorizações de estratégias usadas pelos alunos, caracterizadas detalhadamente nas subsecções anteriores, centrando-me agora na operação divisão. A análise comparativa das diferentes categorizações evidencia aspetos semelhantes aos já realçados no caso das estratégias associadas à resolução de problemas de multiplicação: sobressaem duas grandes categorias de estratégias, de número completo e baseadas na decomposição. A primeira inclui estratégias fundamentadas nas características dos números envolvidos nos cálculos, que são trabalhados como um todo e, a segunda, abarca as estratégias que se baseiam nas decomposições do dividendo. Tal como anteriormente, há autores (Hartnett, 2007) que consideram a estratégia ajustar e compensar como mais uma estratégia a acrescentar, outros incluem-na nas estratégias holísticas (Heirdsfield et al., 1999) e outros, ainda, consideram-na como uma estratégia transversal (Foxman & Beishuizen, 2002).

As categorias gerais de estratégias de divisão usadas pelos alunos, que sobressaem da análise da tabela, referidas pelos vários autores, são consistentes, tal como aconteceu no caso da multiplicação, com as identificadas por Verschaffel et al. (2006) e Verschaffel et al. (2007) nas sínteses de investigação que efetuam sobre a temática.

Tabela 3.2 – Análise comparativa das categorizações das estratégias usadas pelos alunos na resolução de problemas de multiplicação Au to re s Baek

Ambrose, Baek e Carpenter (2003) Heirdsfield, Cooper, Mulligan e

Irons (1999) Hartnett (2007) Foxman e Beishuizen (2002) (1998) (2006)

Ca

teg

o

rias

Modelação direta Modelação direta Estratégias de contagem Contar para a frente e para trás Número completo Arredondar, multiplicar e compensar Uso de factos básicos

Número completo Adição repetida Uso de dobros Uso de adições e de dobros Adição de dobros Uso complexo de dobros Construção a partir de outros fatores

Estratégias holísticas

Usar dobros e/ou metades

Compensação Ajustar e compensar

Partição de números Algoritmos inventados usando o dez Partição do multiplicador em dezenas e unidades

Decompor os números segundo o valor de posição e calcular da direita para a esquerda

Usar partições de números Decomposiçã o Partição do multiplicador e do multiplicando

Decompor os números segundo o valor de posição e calcular da esquerda para a direita

Tabela 3.3 – Análise comparativa das categorizações das estratégias usadas pelos alunos na resolução de problemas de divisão

Au to re s _{Ambrose, Baek e} Carpenter (2003) Heirdsfield, Cooper,

Mulligan e Irons (1999) Hartnett (2007)

Foxman e Beishuizen (2002) Ca teg o rias Trabalhar com um

grupo de cada vez Estratégias de contagem

Contar para a frente e para trás Número completo Arredondar, multiplicar e compensar Uso de factos básicos

Não decompor o dividendo Estratégias holísticas Usar dobros e/ou metades Estratégias de construção Usar o valor de posição Ajustar e compensar Decompor o dividendo Decompor os números segundo o valor de posição e calcular da direita para a

esquerda Usar partições

de números Decomposição Decompor os números

segundo o valor de posição e calcular da esquerda para a direita

Em termos comparativos, há, também, algumas investigações cujo propósito foi confrontar as estratégias usadas pelos alunos de países diferentes na resolução de problemas. Nomeadamente, foi realizada a análise e comparação das estratégias de resolução de problemas de divisão e a sua evolução, de alunos do Reino Unido e da Holanda (Anghileri, 2002, 2003; Anghileri et al., 2002).

O estudo referido analisa as estratégias usadas pelos alunos dos dois países e compara-as, registando algumas diferenças. As estratégias usadas pelos alunos holandeses são diversificadas inserindo-se nas categorias de estratégias informais ou inventadas pelos alunos que têm vindo a ser caracterizadas nesta secção. Além disso, a sua análise evidencia o tipo de trabalho desenvolvido na sala de aula holandesa, onde se criam as condições para que os alunos progridam do uso de estratégias informais, pouco estruturadas para estratégias mais estruturadas e eficientes. Pelo contrário, a análise das estratégias usadas pelos alunos do Reino Unido denota uma prevalência do uso do algoritmo tradicional e evidencia uma descontinuidade em termos da progressão das estratégias usadas pelos alunos (Anghileri et al., 2002).

Nas últimas subsecções foram analisadas e discutidas algumas categorizações de estratégias usadas pelos alunos na resolução de problemas de multiplicação e de divisão, envolvendo números com um ou vários dígitos. Estas são baseadas em estudos empíricos realizados ao longo das últimas décadas. Apesar de haver algumas diferenças em termos da sua denominação há, contudo, bastantes semelhanças entre as suas caracterizações. Este aspeto aponta para o facto de os alunos, se lhes for proporcionado, serem capazes de inventar as suas próprias estratégias de resolução associadas à multiplicação e divisão. Alguns dos estudos relacionam as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos e a sua evolução com o trabalho que deve ser desenvolvido na sala de aula em torno destas operações. São ainda discutidas abordagens na sala de aula que promovem a compreensão sobre as operações e a sua relação com o uso de estratégias de cálculo flexíveis. Estes aspetos, mais diretamente ligados à aprendizagem das operações, em particular, à multiplicação, serão abordados com maior detalhe em secções posteriores, dada a sua relevância na investigação realizada.