Kompetanse  som  strategisk  ressurs

À expressão cálculo mental associam-se-lhe, com frequência, atributos como flexibilidade, adaptabilidade, precisão e eficiência. Além disso, o seu desenvolvimento na sala de aula relaciona-se, quase sempre, com determinados aspetos do sentido de número dos alunos. Importa, assim, esclarecer que características deve ter o cálculo mental dos alunos de modo a ser eficaz perante as tarefas que é preciso resolver e como se relaciona com o desenvolvimento do sentido de número.

Nesta subsecção, quando menciono as expressões cálculo mental e estratégias de cálculo mental estou a referir-me a calcular “com a cabeça” com compreensão

(Anghileri, 2003) ou seja, recorrendo ao conhecimento sobre os números, as relações numéricas e as propriedades das operações elementares e podendo, eventualmente, usar registos escritos (Buys, 2008). Ainda assim, alguns dos autores a que me reporto, apesar de considerarem o cálculo mental com características comuns às referidas por Anghileri, (2003) e Buys (2008), excluem a possibilidade de poder haver recurso a ferramentas externas, tais como papel e lápis.

O NCTM (2000) aponta o desenvolvimento da fluência de cálculo como um grande objetivo do trabalho à volta dos números e das operações com números inteiros. Ter fluência de cálculo corresponde a “ter métodos de cálculo precisos e eficientes” (NCTM, 2000, p. 152), nos quais se incluem diferentes tipos, tais como os algoritmos escritos e o cálculo mental. Neste âmbito, um aluno mostra ter fluência de cálculo quando sabe usar diferentes métodos e sabe escolhê-los de modo flexível, preciso e com eficácia. Calcular fluentemente inclui, assim, três ideias-chave: flexibilidade, precisão e eficácia. A ideia de flexibilidade requer o conhecimento de mais do que um método de cálculo para resolver certos tipos de problemas e selecionar uma estratégia apropriada a cada um. A ideia de precisão depende de aspetos gerais do processo de resolução de problemas tais como o rever cuidadosamente o que foi feito e confirmar a solução obtida, para além do conhecer e usar, adequadamente, relações numéricas. Finalmente, a ideia de eficácia está relacionada com o recurso a estratégias que, do ponto de vista do aluno, sejam fáceis de utilizar e não incluam demasiados passos ou passos desnecessários. O NCTM (2000) aponta, também, para o equilíbrio na inter-relação que deve existir entre a fluência de cálculo e a compreensão dos conceitos, dois dos propósitos fundamentais da aprendizagem dos números e das operações.

Russell (2000), no mesmo sentido que o NCTM (2007) e concretizando as ideias preconizadas por este, sugere que a fluência de cálculo dos alunos se desenvolve na sala de aula propondo-lhes tarefas a partir das quais têm oportunidade de aprofundar a sua compreensão sobre os conceitos e de utilizar procedimentos eficientes.

As características associadas à fluência de cálculo e as ideias sobre o modo como esta se desenvolve na sala de aula, referidas, em termos gerais, também têm razão de ser quando nos reportamos a um tipo de cálculo específico – o cálculo mental. Efetivamente,

os alunos devem desenvolver um cálculo mental fluente, o que significa ser flexível, preciso e eficaz. Há, contudo, autores que, em vez de se referirem à fluência de cálculo tal como o NCTM (2007) e Russell (2000), usam o termo proficiência para caracterizarem o cálculo mental (Heirdsfield, 2003; Heirdsfield & Lamb, 2007). Estes investigadores incluem nas características do cálculo mental proficiente a sua flexibilidade e precisão (à semelhança do NCTM), relacionando depois a questão da eficácia com as estratégias usadas. De facto, a questão da eficácia pode ser difícil de qualificar, sobretudo quando se trata de cálculo mental, ainda incipiente e informal, associado às operações aritméticas, sendo uma característica a alcançar a médio ou longo prazo.

Heirdsfield desenvolveu numerosos estudos no âmbito do cálculo mental, alguns deles em colaboração com outros investigadores (Heirdsfield, 2001; 2003; Heirdsfield & Cooper, 2004; Heirdsfield, Dole & Beswick, 2007; Heirdsfield & Lamb, 2007), nos quais analisa a proficiência de cálculo mental, relacionando a precisão no cálculo com a flexibilidade na escolha das estratégias a usar. Para estes autores, a flexibilidade no cálculo mental é encarada como o emprego de uma variedade de estratégias de cálculo mental eficazes, tendo em conta as combinações de números que inspiram a escolha de uma determinada estratégia. Como um dos resultados de um dos seus estudos, Heirdsfield (2001) afirma que os alunos que calculam mentalmente de modo flexível e preciso usam uma grande variedade de estratégias eficazes, onde se incluem as estratégias holísticas e de agregação (no caso da adição). Além disso, refere que os alunos que têm um cálculo mental proficiente selecionam estratégias eficazes e alternativas porque “possuem um conhecimento base extensivo e em rede para suportar essas estratégias” (Heirdsfield, 2001, p. 298). Pelo contrário, os alunos que não possuem um cálculo flexível não escolhem uma estratégia, aplicam uma ensinada pelo professor, na maior parte dos casos usam imagens mentais do algoritmo de papel e lápis associado à operação em causa. A investigadora descreve, ainda, o que considera ser um cálculo mental proficiente: baseia-se num conhecimento base bem integrado, recorre a factos básicos e, também, ao uso de estratégias eficazes de cálculo mental. O recurso a

números e das operações (por exemplo, perceber a proximidade entre os números e os efeitos das operações), características consideradas essenciais para o emprego de estratégias holísticas.

A flexibilidade como característica inerente ao cálculo mental é discutida por outros autores, assim como o modo de esta ser desenvolvida, ou não, na sala de aula. Por exemplo, Threlfall (2002) considera que o cálculo mental flexível “pode ser encarado como uma reação pessoal e individual com conhecimento, manifestada de modo subjetivo, a partir do que foi apreendido sobre um problema específico” (p. 42). De acordo com este pressuposto, o autor refere que é razoável o professor auxiliar os alunos na compreensão das diferentes estratégias que podem ser usadas num mesmo problema, na perspetiva de estes perceberem que há várias abordagens para a sua resolução, e não na perspetiva de contribuir para que aqueles disponham de um conjunto de estratégias a partir do qual devem fazer uma seleção aquando da resolução de um novo problema (Threlfall, 2009). Nesta linha de raciocínio, o mesmo autor explicita que considera inadequado pressupor que a flexibilidade no cálculo mental se obtém através do ensino de estratégias holísticas. A flexibilidade desenvolve-se através de um ensino focado no conhecimento dos números e na compreensão sobre o que foi efetuado, após ter-se realizado um cálculo.

Quando colocados perante um problema novo, a criança ou o adulto que segue diferentes caminhos de resolução dependentes dos números não o faz pensando sobre as alternativas que tem e tentando decidir qual usar. Pelo contrário, ele ou ela pensam sobre os números do problema, apreendem as suas características, se os números são próximos e consideram hipóteses de efetuar partições ou de os arredondar. (Threlfall, 2002, p. 41)

De acordo com esta perspetiva, Threlfall (2002) considera que uma estratégia de cálculo mental a usar num determinado problema não é selecionada de entre outras mas “emerge” perante aquele contexto particular, apesar de ser influenciada, naturalmente, por experiências anteriores do aluno. Por isso, cada estratégia de cálculo mental é única e analítica pois corresponde a modos de pensar individuais sobre os números e as suas relações. Como realça o autor, “o que o individual apreende sobre os números leva ao que cada um faz com eles” (Threlfall, 2002, p. 41). Por estas razões, reafirma que não faz

sentido ensinar a ser flexível ou ensinar estratégias flexíveis. Em vez disso, o autor considera importante um ensino que faça emergir as diferentes estratégias de cálculo mental a partir de tentativas reais de resolver problemas, que confronte estratégias usadas e que as compare com as características dos números envolvidos, de modo a desenvolver nos alunos uma rede forte de relações numéricas ancoradas no conhecimento dos números e das operações que lhes permita ter flexibilidade no cálculo mental.

O cálculo real proporcionará exemplos de partições dos números, fatorizações, encontrar aproximações e números perto dos dobros, e mostrará, também, o que pode ser feito com eles, quais as partes dos números que devem ser usadas, como é que as aproximações podem ser compensadas e assim sucessivamente. (Threlfall, 2002, p. 45)

No mesmo sentido que Threlfall (2002, 2009) há autores como Verschaffel, Torbeyns, de Smedt, Luwel e van Dooren (2007) que se referem à flexibilidade estratégica no cálculo mental como sinónimo de adaptabilidade. Estes investigadores definem e operacionalizam a flexibilidade estratégica “em relação a determinadas características das tarefas” (p. 17). Também Torbeyns, Ghesquière e Verschaffel (2009) descrevem o que denominam por perícia adaptativa, um termo que consideram muito próximo da flexibilidade estratégica, como sendo “a capacidade para resolver tarefas matemáticas de modo eficiente, criativo e flexível através de uma diversidade de estratégias adquiridas significativas” (p. 1). Contudo, a palavra flexibilidade associada ao cálculo mental é usada com vários significados – pode estar relacionada com os números envolvidos, com as características individuais ou com variáveis de contexto (a variável mais referida é o meio sociocultural) – e envolve o uso de estratégias que pressupõem o conhecimento dos números e das operações aritméticas (Threlfall, 2009). Ainda assim, de acordo com este investigador, o tipo de flexibilidade estratégica “mais valorizada na educação matemática é a flexibilidade na estratégia de cálculo quando a estratégia é afetada pelas características da tarefa” (p. 543).

Outros autores (Anghileri, 2003; Beishuizen; 2002; Buys, 2008; Thompson, 2003c), no mesmo âmbito que Threlfall (2002, 2009), mencionam o desenvolvimento da flexibilidade no cálculo mental não em termos do ensino de estratégias flexíveis mas

crescimento em contexto real de cálculo. Por isso, segundo Thompson (2003c), quando se pretende o desenvolvimento da flexibilidade no cálculo mental é necessário ter em conta um conjunto de atributos que lhe estão subjacentes: (i) ter um bom conhecimento dos factos numéricos (de acordo com a idade respetiva); (ii) compreender o que é possível efetuar com os números e o que não é (inclui as propriedades dos números e das operações e as relações entre as operações); (iii) ter desenvolvido capacidades de contagem e de memorização de factos básicos (de acordo com a idade respetiva) e (iv) ter atitudes positivas durante o cálculo, tais como, pensar que tem de haver um caminho e não desistir rapidamente perante dificuldades.

Há, ainda, autores como Beishuizen (2002) e Buys (2008) que sugerem determinadas práticas específicas de sala de aula que auxiliam o desenvolvimento do cálculo mental e da sua flexibilidade, tais como a verbalização dos modos de raciocinar e dos passos seguidos pelos diferentes alunos na resolução de um mesmo problema, bem como a comparação e discussão das estratégias usadas. Neste contexto, Anghileri (2003) refere-se à importância de os alunos serem capazes de estabelecer conexões entre os números que os auxiliem na simplificação dos cálculos e de o professor desempenhar o papel de os ajudar a progredir na construção e no uso de factos e relações numéricas. Tal como esta autora, também Beishuizen (2002) e Buys (2008) problematizam o papel do professor no desenvolvimento do cálculo mental, sugerindo que este deve realçar aspetos do cálculo que considera importantes, estabelecer relações entre as diferentes estratégias que surgem e ajudar os alunos nas suas explicações e nas formas de registo dos cálculos efetuados. Referindo-se a um tipo de intervenção mais específica da parte do professor na sala de aula, Baek (1998) realça que a seleção que este faz dos números a incluir nos problemas de multiplicação parece estar relacionada com o tipo de algoritmo (na aceção de estratégias) que os alunos inventam.

A propósito do cálculo associado à multiplicação e divisão com multidígitos e das suas implicações no ensino, Fuson (2003a, 2003b) realça que, propor aos alunos a resolução de problemas, desenvolve não apenas a sua própria competência na resolução de problemas mas também as suas competências de cálculo. A fluência no cálculo, a compreensão sobre os diferentes métodos de cálculo e o seu uso são, segundo esta autora,

as componentes fundamentais do poder matemático. De acordo com essa perspetiva, os alunos devem conhecer e saber usar uma diversidade de métodos, que variam com os números envolvidos, o contexto, as suas características individuais e as da sua turma.

Associada ainda ao desenvolvimento do cálculo mental e em oposição à ideia do ensino de estratégias flexíveis, surge a ideia da invenção das estratégias pelos próprios alunos. As estratégias inventadas, que vão sendo aperfeiçoadas à medida que os alunos têm uma compreensão mais profunda sobre os números, as operações e as relações numéricas, são um bom ponto de partida para o desenvolvimento do cálculo mental. Por isso, as crianças devem ser encorajadas a inventar as suas próprias estratégias pois, deste modo, têm uma melhor compreensão sobre os efeitos das operações e as características do sistema de numeração decimal, tais como os aspetos associados ao valor de posição (Heirdsfield et al., 1999). Ora, o aprofundamento desta compreensão é fundamental para o desenvolvimento do cálculo mental flexível (Heirdsfield & Cooper, 2004). Por isso, Heirdsfield et al. (2007) sugerem uma reflexão sobre o equilíbrio entre o ensino explícito e o desenvolvimento das próprias estratégias dos alunos, uma vez que estas assentam sobre o conhecimento que aqueles têm sobre os números e as operações.

Também Varol e Farran (2007) apontam para a necessidade de criar um ambiente de sala de aula em que os alunos sejam capazes de inventar as suas próprias estratégias. Segundo estes autores é necessário, para isso, privilegiar a resolução de problemas, em detrimento da realização de exercícios e, deste modo, as estratégias de cálculo mental não precisam de ser ensinadas. Pelo contrário, se em vez de serem construídas pelos alunos as estratégias de cálculo mental forem ensinadas, pode haver o perigo de estes as usarem como procedimentos mecanizados. Os autores realçam a importância do cálculo mental, enunciando algumas das suas potencialidades na compreensão dos números e das operações, ao explicitarem que “o cálculo mental auxilia os alunos a compreender como funcionam os números, como tomar decisões sobre procedimentos e como criar diferentes estratégias para resolver problemas de matemática” (Varol & Farran, 2007, p. 94).

uma pessoa tem acerca de números e das suas operações a par com a capacidade e inclinação para usar esse conhecimento de forma flexível para construir raciocínios matemáticos e desenvolver estratégias úteis ao lidar com números e com as suas operações” (McIntosh et al., 1992, p. 3). Em particular, considerando as componentes do sentido de número identificadas e caracterizadas pelos autores referidos, aquela que se relaciona mais fortemente com o cálculo mental é a aplicação do conhecimento e da destreza com os números e as operações em situações de cálculo.

A relação cálculo mental e sentido de número é realçada por diversos autores – uns referem a necessidade de ter um bom sentido de número para ter um cálculo mental flexível (Ell, 2001) e outros realçam que o desenvolvimento do cálculo mental promove, também, o crescimento do sentido de número (Baek, 1998; Callingham, 2005; Heirdsfield & Cooper, 2004). Finalmente, há aqueles que, como Varol e Farran (2007) e Hartnett (2007), evidenciam a inter-relação e interdependência entre o cálculo mental e o sentido de número, assumindo que o desenvolvimento de um promove o desenvolvimento de outro.

Ell (2001) destaca conexões concretas entre o cálculo mental e o sentido de número, ao afirmar que a flexibilidade no uso da estratégia parece estar muito ligada ao sentido de número, assim como a sua seleção está relacionada com as quantidades envolvidas, o modo como são colocadas as questões e a operação a ser efetuada. Por sua vez, Heirdsfield e Cooper (2004) afirmam que “o cálculo mental preciso pode ser o resultado do uso bem-sucedido de estratégias de cálculo mental (precisas e flexíveis) que evidenciam sentido de número.” (p. 444). Neste âmbito, os mesmos autores referem que o cálculo mental promove o desenvolvimento do sentido de número dos alunos, se estes forem encorajados a inventar as suas próprias estratégias, privilegiando a resolução de problemas na sala de aula.

À semelhança dos autores anteriores, Baek (1998) explicita a dependência do desenvolvimento do sentido de número relativamente ao cálculo mental afirmando que “dando aos alunos oportunidades para inventar algoritmos o professor pode ajudá-los a desenvolver o seu sentido de número (p. 159). Aqui, o termo algoritmo é empregue na aceção de estratégias de cálculo. Também Callingham (2005) relaciona cálculo mental

com sentido de número, afirmando que, em termos da investigação, a identificação e descrição das estratégias de cálculo usadas pelos alunos é feita, frequentemente, num quadro de “sentido de número”. A autora descreve um programa realizado com alunos do ensino primário no qual estes desenvolvem o uso de estratégias de cálculo mental na resolução de problemas e, consequentemente, desenvolvem o seu sentido de número.

Encarando o sentido de número na perspetiva de McIntosh et al., (1992), os investigadores Varol e Farran (2007) associam a importância do seu desenvolvimento na sala de aula à correção e flexibilidade com que os alunos devem usar estratégias de cálculo mental para resolver problemas e, nesse, sentido discutem algumas questões associadas à proficiência no cálculo mental. Do seu ponto de vista, os alunos que são flexíveis no uso de estratégias de cálculo mental são capazes de selecionar modos mais eficientes de resolver determinados problemas porque têm um conhecimento conceptual associado aos números e às operações. Realçando a interligação entre sentido de número e cálculo mental, Varol e Farran (2007) afirmam que “os alunos dos níveis elementares devem desenvolver o sentido de número para serem bem-sucedidos no cálculo mental e vice-versa” (p. 91). Também Hartnett (2007) reforça a interdependência entre cálculo mental e sentido de número, ao afirmar que, por um lado, o uso flexível de estratégias de cálculo mental exige ter sentido de número e, por outro, o trabalhar os números de modo flexível cria oportunidades para o desenvolver.