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Agora, exibiremos alguns protocolos de nossa amostra que obtiveram código 3 tanto na questão A3 quanto na questão A4. Vale ressaltar que já apareceram alguns desses em nosso trabalho, e, portanto, esses não serão exibidos novamente. Infelizmente, não obtivemos todos os protocolos que obtiveram esse código. Assim, exibiremos todos os que encontramos. Temos um total de 7 protocolos que receberam codificação 3 na questão A3 e 4 protocolos que receberam esse código em A4. Em todos os casos, temos provas formais, eventualmente com algumas incorreções.

Figura 49 – Resposta 1 com código 3 na Questão A3

(Verdadeira (2x+1) + (4x+1) = 6x+2

Qualquer número multiplicado por 2 é par, acrescentando-se 1 torna-se ímpar. Na soma acima, o resultado foi 6x+2, Supondo-se que x é ímpar, multiplicado por seis, e somando-se 2, com certeza o resultado final é par)

O aluno acima recebeu código 3, pois descreveu o que é um número ímpar, efetuou a soma de dois ímpares e obteve um número par. Apesar de ter usado a mesma letra para identificar um número qualquer (x), ele conseguiu dizer, com sua linguagem, que a soma de dois ímpares é par.

Vejamos outro caso:

Figura 50 – Resposta 2 com código 3 na Questão A3

(Verdadeira.

Sendo 2x+1 e 2y+1, dois números ímpares, somamos os dois (2x+1) + (2y+1) = 2x + 2y + 2

Agora, fatoramos a expressão 2(x+y+1)

Sendo (x+y+1), qualquer número natural, quando multiplicado por 2, será um número par. Portanto, a soma de dois ímpares sempre será um par.

O aluno acima recebeu código 3 pois descreveu o que é um número ímpar, usando a linguagem algébrica, efetuou a soma de dois ímpares diferentes, usou a propriedade associativa, descrita erroneamente por ele como fatoração e concluiu que a soma de dois ímpares é par.

Vamos a mais um protocolo:

Figura 51 – Resposta 3 com código 3 na Questão A3

(Os nº ímpares vão ficar sobrando sempre 1 de fora dos pares. Aí, quando junto dois nº ímpares o nº que está sozinho se junta

Com outro que está sozinho formando um par).

Usando a linguagem geral, esse aluno nos diz como são os números ímpares e o que acontece quando somamos dois ímpares, com as sobras de 1 de cada ímpar.

Vejamos o próximo protocolo:

Figura 52 – Resposta 4 com código 3 na Questão A3

(É verdadeira pois um nº ímpar é um número par + 1 se juntarmos dois números ímpares estaremos juntando: Um número par + um número par + 1 + 1

Ou seja

Esse aluno escreveu na língua materna a definição de número ímpar, que é um par + 1, somou dois ímpares ainda usando a língua materna e assim, justificou sua resposta, obtendo código 3.

Vamos a mais um protocolo:

Figura 53 – Resposta 5 com código 3 na Questão A3

(Sim, pois um nº ímpar é (x+1), se eu tiver um nº ímpar + um nº ímpar, vai ser:

(x+1) + (y+1) = (x+y) + 2, (x+y) vai ser um número par (porque você vai estar tirando o 1 que faz o nº ficar ímpar), Mais 2, que também é um número par, e nº par + nº par = nº par).

Esse aluno poderia não ter recebido o código 3 se não estivesse subentendido quem eram os “número” x e y. Ele nos diz, de forma subentendida, que x e y são número pares e assim ao somarmos 1 a eles, esses se tornam ímpares. O aluno usou a definição de números ímpares, com a ressalve de que usou as letras x e y para representar números pares e daí efetuou a soma de dois ímpares, obtendo um número par.

Figura 54 – Resposta 6 com código 3 na Questão A3

(Verdadeira. Em números pares, existem 1 ou mais pares numéricos. Em números ímpares, podem haver pares numéricos, Mas sobrará sempre 1. Quando dois números ímpares são somados, os “1” que sobraram nos dois números se juntarão,

fechando os pares).

Aqui, o aluno nos diz que os números pares são divididos em pares numéricos. Para nós, significou que ele dividiu em vários números 2 os pares. Depois, colocou a definição de ímpares, novamente na língua materna e daí nos disse o que acontece com a soma de dois ímpares, sempre usando a língua materna em sua justificativa.

Vejamos o último protocolo da questão A3:

Figura 55 – Resposta 7 com código 3 na Questão A3

(Essa afirmação é verdadeira, visto que: se somarmos qualquer número ímpar (1,3,5,7 e 9 e qualquer Outro terminado em algum destes), com qualquer outro ímpar, também dará um resultado par. Ex:

5+3 = 8 1+3 = 4 7+9 = 16

5+7 =12

Também podemos pensar assim: Se passarmos 1 para o outro ímpar, ele passará a ser par e o Que perdeu 1 também; e já foi provado que par + par = par)

Esse aluno, a princípio, receberia codificação 1, por causa dos exemplos usados. Porém, na sua última frase, ele escreve o que acontece se “passarmos” a sobra de 1 de um dos ímpares para o outro, transformando ambos os ímpares em pares. Além disso, vale notar que o aluno usou uma afirmação já provada na questão A1.

Passemos agora aos protocolos que obtiveram código 3 na questão A4.

Figura 56 – Resposta 1 com código 3 na Questão A4

(Porque se nós somarmos um múltiplo de três 3x mais um múltiplo de seis 6x 3x+6x = 9x

Irá dar um múltiplo de três).

Aqui, podemos verificar que o aluno começou fazendo alguns testes com vários números, evidenciados pelas contas apresentadas na imagem acima, e depois concluiu que a soma de um múltiplo de 3 com um múltiplo de 6 resultará em um múltiplo de 3. Apesar de ter usado a mesma letra para exprimir um múltiplo de três e um de seis, percebamos que no exemplo calculado, não foram usados os mesmos números.

Figura 57 – Resposta 2 com código 3 na Questão A4

(Verdadeira, pois 6 é um múltiplo de 3, e somar um múltiplo de 6 a um de 3 é como somar um múltiplo de 3 a dois Múltiplos de 3, sempre dando a continuação do múltiplo de 3).

Aqui, o aluno diz que 6 é múltiplo de 3, e que ao somarmos um múltiplo de 6 a um múltiplo de 3 estaremos somando esse múltiplo de 3 a dois múltiplos de 3, originados do múltiplo de 6, ou seja, ele nos diz que o múltiplo de 6 é múltiplo de 3 e de 2. Assim, conclui que a afirmação é verdadeira.

Vamos a mais um caso:

Figura 58 – Resposta 3 com código 3 na Questão A4

(Verdadeira. Todo múltiplo de 6 é um múltiplo de 3. Portanto a soma entre os dois, representará logicamente, um Múltiplo de 3. Mas para deixarmos mais claro, representamos algebricamente um múltiplo de 3 e um múltiplo de 6,

E somando, temos: 3x + 6y = 3(x+2y)

Esse aluno representou algebricamente um múltiplo de 3 e um de 6, usou a propriedade associativa na soma, colocando o fator 3 em evidência, e daí concluiu que a soma de um múltiplo de 3 com um de 6 resultará em um múltiplo de 3. Importante notar a linguagem algébrica do aluno, usando letras diferentes (x e y) para representar os múltiplos e também o uso correto da propriedade associativa da soma.

Esse é um aluno que aparenta, pelo que foi escrito, conhecer bem a estrutura de argumentação e prova dentro da Matemática.

Vamos apresentar um último protocolo encontrado que obteve código 3 na sua justificativa para a questão A4.

Figura 59 – Resposta 4 com código 3 na Questão A4

(A afirmação é verdadeira, pois todo número que é múltiplo de 6 também é múltiplo “3”,pois se pensarmos bem, Cabem 2 “3” dentro de seis e encarando desse modo “6” também é um múltiplo de “3”, então você estará

Somando vários “3”, o resultado, portanto, formado por “3” é múltiplo de três).

Esse aluno justificou que todo múltiplo de 6 é múltiplo de 3, e daí dividiu todos esses múltiplos em “vários 3”, que somados, resultarão em um múltiplo de 3. Vale notar que, novamente, a justificativa foi feita na língua materna.