6 Innovasjon og verdiskaping for norsk næringsliv
6.1 Smarte tilbringertjenester – roller, aktører og verdistrømmer
Alguns estudos apontam as dificuldades enfrentadas por estudantes de diferentes graus de ensino para compreender o conceito de média. Numa dessas
investigações, Strauss e Bichler (1988) realizaram um estudo com 80 alunos do primário com idades de 8 a 14 anos, distribuídos em quatro grupos. O objetivo era investigar o desenvolvimento e a evolução da compreensão dos aspectos conceituais em relação à média pelos alunos. Para isto, esses autores coletaram os dados com uma metodologia denominada modelo de desenvolvimento evolutivo, que consistiu em conhecer como os elementos-chave do conceito vão evoluindo ao longo de uma etapa.
A média aritmética é um conceito que os alunos não assimilam de maneira espontânea. Deste modo, os autores propuseram tarefas nas quais a palavra média não fazia parte das instruções dadas pelo pesquisador, e que também simulassem situações da vida real. As tarefas exploraram sete propriedades da média aritmética a serem trabalhadas com os alunos:
a) A média é um valor compreendido entre os extremos da distribuição. b) A soma dos desvios de cada valor da média é igual a zero.
c) O valor médio é influenciado pelos valores de cada um dos dados. d) A média nem sempre corresponde a um dos valores dos dados.
e) O valor obtido da média de números inteiros pode ser uma fração que não tenha sentido no contexto dos dados.
f) Os valores nulos (zero) têm que ser considerados no cálculo da média. g) A média é um representante do conjunto de dados a que diz respeito. Os resultados mostraram uma diferença significativa entre os grupos, pois os autores observaram uma melhoria sistemática da compreensão com a idade, mas para uma mesma idade o grau de compreensão das propriedades também varia. Aquelas que os alunos demonstraram maior compreensão foram A, C e D, consideradas mais elementares ou conectadas a aspectos computacionais. A análise do raciocínio desenvolvido pelos alunos mostrou que os diferentes graus de complexidade das propriedades interferiram com as dificuldades dos alunos, e a aplicação das propriedades a conjuntos de dados discretos ou contínuos esteve
na origem de dois níveis de complexidade distintos, tendo-se revelado mais difíceis para os alunos os dados de tipo contínuo6.
Num outro estudo, Leon e Zawojewski (1991 apud RIBEIRO, 2005) replicaram parte do estudo de Strauss e Bichler (1988) com 204 crianças entre 8 e 14 anos nos Estados Unidos. As autoras analisaram o efeito da idade sobre a compreensão das propriedades: a) a soma dos desvios em relação à média é zero; b) a média é um valor representativo em relação às outras Medidas de Tendência Central; e c) os valores nulos devem ser considerados no cálculo da média. Os resultados mostraram que a compreensão das diferentes propriedades não é igual para todos os sujeitos, pois as que se relacionam com o valor zero e com a representatividade da média são consideradas mais difíceis para os alunos, os quais têm que recorrer a outros conhecimentos para além do algoritmo para resolvê-los.
Russel e Mokros (1990) investigaram a compreensão de alunos com idades de 9 a 13 anos sobre a representatividade que tem a média aritmética. Segundo esses autores, este é um conceito básico desde o momento em que se necessita descrever um conjunto de dados de forma concisa. Como resultados, identificaram nos alunos uma concepção de média que não estava em acordo com o adequado, porquanto assumiram a média como moda (valor da variável com a maior frequência observada), ou média como ponto médio (referência à ideia de mediana), ou como ponto de equilíbrio (referência à ideia de média). Ou seja, três concepções distintas para uma mesma noção, sendo que a coincidência destas três existe apenas em distribuições absolutamente simétricas (como o exemplo de fenômenos que podem ser modelados pela distribuição normal de probabilidades).
Em relação a esse último tipo de apreensão (média como ponto de equilíbrio), os autores dizem que os alunos que se encontram neste estágio estão construindo o conceito de média de forma adequada (supomos aqui adequada em relação à sua significação). Estes autores concluíram que construir a ideia de representatividade é fundamental para qualquer trabalho com as medidas, e é um __________
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São os dados cujos valores são representados por números reais. Tal tipo de variável recebe o nome de
requisito para desenvolver as definições de medidas particulares como a média e a mediana. Outro ponto interessante apontado neste trabalho é que a introdução prematura do algoritmo do cálculo da média faz com que os alunos percam o significado de representatividade. Este é um resultado importante e que será um dos eixos para a construção das atividades em nossa fase experimental.
No estudo realizado por Cai (1995) com 250 alunos que cursam o 6º ano de escolaridade nos Estados Unidos, revelou-se que 90% dos alunos que participaram de sua investigação conheciam o mecanismo de somar todos e dividir, que constitui o algoritmo para o cálculo da média, vale dizer, utilizavam a aplicação direta do algoritmo para resolver os problemas propostos. Entretanto, apenas 50% dos alunos que participaram no estudo foram capazes de determinar um valor desconhecido num pequeno conjunto de dados, apresentado sob a forma de pictograma, para se determinar o valor da média. Outro ponto observado é que muitos alunos que são capazes de calcular corretamente a média não compreendem seu algoritmo de cálculo e a aplicam de forma mecânica, pois cerca de 35% deles recorreu à estratégia de tentativa e erro para encontrar o valor desconhecido. Este resultado confirma o afirmado sobre as consequências cognitivas da antecipação da apresentação do algoritmo para o cálculo da média. No estudo de Watson e Mortiz (1999) foi analisada a evolução dos conceitos de média, mediana e moda com 2.250 alunos com idade de 8 a 18 anos. Realizaram como instrumentos para coleta um questionário individual de escolha múltipla e um trabalho realizado em grupo. Esse instrumento era composto por problemas abertos relacionados a vivências dos alunos, de modo que os conceitos fossem utilizados naturalmente e por problemas do tipo exercícios com o objetivo de avaliar a capacidade de aplicação do cálculo.
Com a análise e comparação das respostas dos alunos, os autores puderam enquadrá-las na classificação hierárquica elaborada por Bigg e Collis (1982, 1991 apud COBO, 2003), que reflete a estrutura dos resultados de aprendizagem observados com o domínio do conteúdo.
Essa classificação é composta por respostas pré-estruturais – não incluem nenhuma ideia clara das medidas. Os alunos respondem às tarefas com respostas não relacionadas com o conceito; respostas uniestruturais – quando o
aluno dá respostas simples que são relevantes no domínio do conteúdo; respostas multiestruturais – quando a resposta inclui dois ou mais aspectos do domínio do conteúdo, mas sem conexão umas com as outras, e respostas relacionais – quando o aluno tem uma compreensão integrada das relações envolvidas na tarefa.
Os resultados obtidos mostraram que algumas propriedades da média, como representatividade, não aparecem nos contextos cotidianos e só se observam em alunos com mais escolaridade. Para os autores, a representatividade é a base para a compreensão das Medidas de Tendência Central, possibilitando assim o entendimento do significado de cada uma delas e, ao mesmo tempo, determinando as características de um conjunto de dados. Também observaram que um pleno domínio dos conceitos pode estar relacionado com o próprio desenvolvimento operatório do aluno. Contudo, um nível de escolaridade mais elevado não deve ser considerado como sinônimo de bom desempenho, pois a frequência de respostas multiestruturais identificadas neste estudo pode ser um indicador, segundo Watson e Mortiz (1999), de que os alunos não são suficientemente desafiados pelos professores a dar respostas mais estruturadas.
Esses autores ainda consideram que a mediana, comparativamente à moda e média, é a medida de tendência central que necessita de mais investigação, visto que a primeira intuição dos alunos sobre esta medida é o centro (meio), e associada mais tarde ao conceito de mediana. Seu uso correto apresenta muitas dificuldades para os alunos, porque se relaciona com o raciocínio proporcional e conceitos de distribuição e ordem que não são fáceis de ser compreendidos pelos alunos (BATANERO, 2000; COBO e BATANERO, 2000).
Noutro estudo, desenvolvido por Watson e Mortiz (2000), com alunos entre o 3º e o 9º ano de escolaridade, com idades de 8 a 15 anos, os autores identificaram que para um grande número de crianças, a média é simplesmente um valor no centro da distribuição. Observemos que esse resultado tem similaridades com os obtidos por Russell e Mokros (1990), relatados anteriormente neste item. Os autores ainda consideram que a introdução dos
conceitos de moda e mediana de forma intuitiva pode auxiliar os alunos na introdução do conceito de média.
No trabalho de Gatuso e Mary (1998 apud BATANERO, 2000) foi analisada a evolução da compreensão do cálculo da média ponderada de alunos no ensino secundário, utilizando problemas em diferentes contextos e formas de representação. Os conceitos abordados foram: o cálculo da média ponderada e o efeito causado neste cálculo quando se trocam os dados. Ou seja, a dificuldade enfrentada em alguns problemas envolvendo o cálculo da média ponderada consiste em suprimir os valores nulos no cálculo da média.
Em outro estudo com alunos universitários, Pollatsek, Lima e Well (1981) observaram que os alunos tinham dificuldade no cálculo da média ponderada, e utilizavam em algumas ocasiões a média simples a partir de uma tabela de frequências no lugar da média ponderada.
Garrett e García Cruz (2009) realizaram um estudo comparativo com dois grupos de alunos com idades de 17 a 23 anos. Este grupo se dividia em 96 estudantes que cursavam o secundário e bacharelado do Instituto de Secundaria de La Laguna e 146 alunos que cursavam o décimo primeiro ano do curso de formação média em Contabilidade e Gestão no Instituto Público.
O objetivo deste estudo era construir um questionário que permitisse examinar os conhecimentos e dificuldades na compreensão das médias dos alunos que estavam finalizando o ensino secundário e realizar um estudo comparativo entre os alunos de Luanda, em Angola, e Tenerife, na Espanha. Objetivamente o questionário era composto por sete itens para abordar as médias aritméticas simples e ponderada, e avaliar como os alunos interpretam, compreendem e usam o algoritmo dessas médias.
Como resultados, os autores identificaram que os alunos de Luanda tiveram mais dificuldade em determinar o número médio de filhos das 50 famílias entrevistadas no questionário utilizado na coleta dos dados do que os alunos de Tenerife, 4% contra 34% de respostas corretas, respectivamente. Já quando solicitaram aos alunos que comprovassem que a média de um conjunto de notas apresentadas no gráfico era um número dado, os alunos de Tenerife tiveram mais
êxito, obtendo 50% das respostas corretas e utilizaram como estratégias para solução o algoritmo da média ponderada ou somando as dez notas e dividindo por dez, que é a soma das notas. Na amostra de Luanda, apenas 6% conseguiram chegar à resposta correta utilizando as mesmas estratégias de resolução citadas anteriormente.
Os alunos de Luanda tiveram muita dificuldade em determinar a construção média de uma distribuição dada, ou seja, apenas 3,4% dos 146 alunos apresentaram resolução correta, enquanto 50% dos alunos de Tenerife conseguiram apresentar uma estratégia correta para resolver os problemas.
Com esses dados, os autores concluíram que os alunos de Tenerife, mesmo tendo apresentado um desempenho melhor que os alunos de Luanda, ambos têm dificuldades em trabalhar com as médias. Os autores também observaram que os alunos não conseguiram compreender o uso racional do algoritmo da média aritmética, pois mesmo utilizando corretamente as fórmulas em alguns problemas, não sabiam como substituir os dados e nem os resultados dos intermédios calculados. Além disso, os alunos não apresentaram critérios formais para comparar os conjuntos de dados, quando solicitados, com médias iguais, dificuldade também apontada no estudo de Batanero, Godino e Navas (1997).
Os resultados ainda mostraram que os alunos de Luanda apresentaram enormes dificuldades em relação aos alunos de Tenerife, e isto pode ter acontecido pela falta de aplicação e pouco interesse na aprendizagem dos alunos, pois poucas vezes realizaram as tarefas complementares propostas, o que poderia ajudar a compreender melhor os conteúdos abordados em classe. Afora isso, segundo Garrett e García Cruz (2009), os professores em sala de aula trabalham basicamente tarefas que abordam o cálculo da média de um conjunto de números, e isto muitas vezes sem um contexto de referência, e não abordam as propriedades da média.
Em outro estudo sobre os conceitos de média, moda e mediana com alunos do 7º ano, Carvalho (1996) aponta que os alunos não consideraram a frequência absoluta de cada valor no cálculo da mediana quando usaram a tabela, ou não ordenaram os dados antes da sua localização. Na tarefa em que
partiram do gráfico, os alunos não consideraram as frequências absolutas dos diferentes valores no cálculo da média e adicionaram as frequências absolutas e dividiram por 2 no cálculo da mediana. O maior número de acertos foi em relação ao conteúdo da moda. Os alunos não tiveram dificuldade em visualizar a moda no gráfico de barras, correspondendo ao valor da barra mais alta.
O estudo realizado por Mayén et al. (2007) com o objetivo de verificar a compreensão das Medidas de Tendência Central em estudantes mexicanos de bacharelado, analisou as respostas a um questionário com 125 estudantes com idades de 17 a 18 anos.
O questionário era condizente com os conteúdos dos currículos mexicano e espanhol, que versavam sobre a evolução do significado que os estudantes desses países têm sobre as Medidas de Tendência Central, e era composto pelos seguintes tipos de componentes do significado dos conceitos de tendência central: a) reconhecimento dos problemas que se resolvem mediante as medidas; b) compreensão das definições de média, mediana e moda; c) compreensão de suas propriedades básicas, tanto numéricas, como algébricas e estatísticas; d) reconhecimento da linguagem matemática, que pode ser numérica, verbal, simbólica e gráfica; e) capacidade de cálculo e compreensão dos procedimentos de cálculo perante a sua aplicação automática, e f) capacidade de argumentação dos alunos para apoiar suas respostas e observar até que ponto é completa e consistente.
Esses elementos foram considerados tanto na construção do questionário como na interpretação das respostas dos alunos e todos os itens são de resposta aberta, com o objetivo de recolher em detalhes o raciocínio desenvolvido pelos estudantes.
Como resultado, esses autores constataram que os estudantes mexicanos tiveram dificuldades nos itens em que necessitavam realizar a estimação da mediana a partir de um gráfico; calcular a mediana com um número par de valores isolados e calcular a média ponderada. Também, não levaram em conta os efeitos dos valores atípicos na distribuição dos dados.
Os alunos não tiveram dificuldade em responder aos itens das tarefas que se referiam à ideia de média como melhor estimador de uma quantidade desconhecida na presença de erros de medida; encontrar uma distribuição de valores que coincidisse só com a média, reconhecendo se a solução era a única; o efeito do zero sobre o valor da média; a ideia de média como parte equitativa de uma distribuição de dados e a soma dos desvios médios igual a zero.
Esses resultados também foram verificados pelos autores quando os compararam com os resultados obtidos por Cobo (2003) com os estudantes espanhóis com idade de 15 a 16 anos. Mayén et al. (2007) ressaltam que as principais diferenças entre os dois grupos de estudantes foi em relação aos itens que necessitavam da realização do cálculo da média a partir de um gráfico; encontrar a mediana com um número ímpar de valores; dar uma justificação de por que se construía uma distribuição dada à média, e o uso da mediana como resumo estatístico de uma variável ordinal. Além disso, os autores também notaram que em relação ao uso de algoritmos os estudantes calculavam com facilidade a média simples em quase todos os problemas. Em relação à definição, apresentaram mais dificuldade no item que se referia à mediana e à média ponderada.
Diante disso, Mayén et al. (2007) concluíram que os resultados foram razoavelmente satisfatórios, pois os alunos reconheceram intuitivamente tanto os campos de problemas como as propriedades da média, sendo capazes de realizar corretamente o algoritmo, incluindo invertê-lo quando este não aparecia nos itens de ponderação. Outro ponto observado é que os erros e dificuldades apresentadas pelos estudantes são muito frequentes e variam com os índices de dificuldade das questões do questionário, e estas são compartilhadas pelos estudantes mexicanos e espanhóis. Contudo, neste último grupo os autores verificaram uma melhora do conhecimento com o aumento da idade.
Por fim, apresentamos o estudo de Boaventura e Fernandes (2004), que realizaram uma pesquisa com o objetivo de investigar que tipo de erros cometem os alunos do ensino secundário em situações estatísticas, designadamente envolvendo as Medidas de Tendência Central. Dela participaram 181 alunos do
12º ano de escolaridade com idades entre 16 e 23 anos, distribuídos em sete turmas pertencentes a três escolas secundárias de Portugal.
A coleta dos dados constou da aplicação de um questionário composto por nove tarefas que versavam sobre Medidas de Tendência Central. Basicamente as questões envolviam os contextos de determinar a média, mediana e moda; calcular a média ponderada de duas médias dadas; determinar as idades de quatro estudantes a partir do conhecimento da média, mediana e moda; determinar se possível, a média, moda e mediana das bebidas preferidas pelos alunos utilizando gráfico de barras; calcular os novos valores da média a partir de uma média dada; estudar a variação da mediana (diminui, aumenta ou mantém- se) com a introdução de um novo dado; verificar a veracidade ou falsidade de propriedades da média; localizar a média, mediana e moda em três histogramas (sendo dois assimétricos e um simétrico) e, por fim, descrever os significados da média, mediana e moda no contexto dos salários de uma empresa.
Como resultado, os autores verificaram que, globalmente, as situações estatísticas que envolviam o conceito de mediana ofereceram muitas dificuldades, especialmente quando foi pedido para apresentarem o cálculo e/ou justificativas das respostas. Houve um percentual de 87,3% e 77,4% de respostas erradas, respectivamente, em relação à mediana. Ainda sobre essa medida, os autores observaram que a interpretação do significado da mediana levou os alunos a confundirem esta medida com a média.
Em relação à média, verificaram a existência de dificuldades quando a tarefa exigia um cálculo mais elaborado da média, ou quando a informação era apresentada sob a forma de um gráfico com atributos qualitativos. Neste item, os autores encontraram um percentual de 89% de respostas erradas.
A moda foi o conceito em que os alunos apresentaram menos dificuldade. Mas quando a tarefa abordava o conceito de moda envolvendo dados apenas com a variável de tipo qualitativo, os alunos tiveram dificuldades, obtendo um percentual de 51,9% de respostas incorretas. Além disso, os autores observaram que nas situações onde era necessário trabalhar a moda relacionando-a com a média ou a mediana, os alunos apresentaram maiores dificuldades, como
verificaram no percentual de 81,8%, 99,4% e 89% de respostas erradas para as questões que abordaram essa situação.
De modo geral, os autores concluíram que os alunos revelaram dificuldades em lidar com a média ponderada, em que quase todas as respostas erradas resultaram do cálculo da média simples das duas médias dadas.
Os alunos também demonstraram dificuldade em delimitar o âmbito de aplicação da média e da mediana, como também foi observado por Barros e Fernandes (2005) em seu estudo. Assim, considerando as dificuldades dos alunos na apreensão de cada uma das três Medidas de Tendência Central, os autores estabeleceram uma hierarquia de nível de dificuldade onde a mediana revelou-se a mais difícil, seguida da média, e finalmente da moda. As maiores dificuldades observadas na mediana devem-se, segundo esses autores, ao fato de se tratar de um conceito pouco utilizado pelos alunos e professores na prática pedagógica cotidiana. Segundo Boaventura e Fernandes (2004), os alunos deveriam desenvolver uma compreensão conceitual dos conceitos estatísticos e os professores deveriam aperfeiçoar sua atuação profissional no sentido de ajudar os alunos a ultrapassarem as suas dificuldades e melhorarem seu desempenho.