É evidente que os pólos de ˜G (e, portanto, o espectro de uma partícula) coincidem com os zeros de ˜Γ (a rigor deveríamos falar nos zeros de det ˜Γ, mas uma vez que ˜G é um múltiplo da identidade no spin e sabor os casos coincidem. Nesta Seção,
estudaremos os zeros de Γab
αβ(x, y), e finalmente obteremos explicitamente o espectro de
uma partícula do modelo de Quatro-Fermions.
A estratégia adotada para o estudo dos zeros de ˜Γ, consiste em separar a parte dominante Γ0 de Γ, determinar os zeros de Γ0, para em seguida usar o rápido
decaimento de Γ para controlar as modificação nos zeros de Γ0 quando consideramos
todas as contribuições para Γ. Os termos dominantes em G são
G(x) = G2δ(x, 0) − κ 2G 2 2 d X µ = 0 ǫ =±1
δ(x, ǫeµ) + O(κ2), (I.2.2.1)
onde G2 é dado na Eq.(I.1.1.7). De forma que temos,
Γ(x) = G2−1δ(x) − κ(δ(|x0− e0|)δ(~x) + 1 2δ(x 0)δ(|~x| − 1)) + Ω(x), (I.2.2.2) com |Ω(x)| 6 C1 κ B1 3|x| .
As soluções de det ˜Γ(p0, ~p) = 0 com p0 puramente imaginário (i.e. os pontos no
espectro de uma partícula) são as raízes da equação ˜
Γaα(p0, ~p) + ˜Ωaα(p0, ~p) = 0.
Na expressão acima, α e a indicam os indices de spin e sabor que foram fixados. A proposição a seguir estabelece as propriedades estas raízes.
Lema I.2.2.A Existe uma constante B2 > 0 tal que para |κ| 6 B2 (com λ, M0 fixos) e
para todo ~p ∈ (−π, π]d, ˜Γ(p0, ~p) é analítica em z = eip0 na coroa circular
A0 = ( z ∈ C| κ B1 3 6|z| 6 B1 κ 3) e na região A1 =z||κ|2 6|z| 6 |κ|−2 , ˜
Γ(p0, ~p) possui exatamente um zero, z = z
degenerado e obedece as propriedades
1. z0 é analítica no disco, perfurado na origem, 0 < |κ| 6 B2 e analítica real em ~p.
2. z0 = G2−1κ−1− 3
X
µ=1
cos pµ+ O(κ).
3. para 0 < κ < B2, z0(~p, κ) tem um mínimo global em ~p = ~0 e nesta região
∂2z 0
∂pµ∂pν é
estritamente positiva. Em palavras, a curva de dispersão z(~p) = e−ω(~p) é convexa
para |~p| pequeno.
Demonstração - Escrevamos C(z, ~p) para denotar ˜Γa
α(p0, ~p) + ˜Ωaα(p0, ~p) = Cαa(eip0, ~p).
Da Eq. (I.2.2.2), temos que
C(z, ~p) = G2−1− κz − κ 3
X
µ=1
cos pµ+ Cs(z, ~p), (I.2.2.3)
onde Cs é analítica real em ~p e analítica em z na coroa circular A0. Ainda em A0, vale
que |Cs(z, ~p)| 6 C1 2 κ B1 3 1 − κ B1 3 × |z| κ B1 3 1 − |z| κ B1 3 + |z|−1 κ B1 3 1 − |z|−1 κ B1 2 . (I.2.2.4)
Seja C0 = C − Cs. Usando a estimativa da Eq. (I.2.2.4) e o teorema de Rouché,2
(veja a Figura I.2.2 vemos que C0 e C tem o mesmo número de zeros em A1, estes
zeros obedecem z0(~p, κ) = G2−1κ−1− 3
X
µ=1
cos pµ+ O(κ). Do teorema da função analítica implícita3, a função z
0 é analítica na região dada no item 1. Uma vez que a estimativa
2
Teorema de Rouché: Dadas as funçõesh e f analíticas em A⊆ C e um caminho fechado γ contido em A, homotópico a um ponto de A, então se|f (z)| > |h(z) − f (z)| então f e h possuem o mesmo número de zeros no interior de γ.
Para entender a idéia por trás deste enunciado, imagine um cãozinho preso por uma coleira empunhada pelo seu dono. O cachorrinho e o dono dão voltas em uma árvore. Se o comprimento da guia da coleira for maior que a distância da árvore até o dono então o cãozinho pode correr e enrolar a guia em volta da árvore. De outro lado, se o tamanho da guia for insuficiente para o cão chegar a árvore, então o dono e o cão dão o mesmo número de voltas na árvore.
3
Teorema da Função analítica implícita: Seja F (x, y) uma função continuamente diferenciável, definida em um aberto S. Se existe P = (a, b) ∈ S, tal que ∂F
∂y 6= 0 em P então existe uma vizinhança V de a e uma função analítica g : V → R tal que F (x, g(x)) = 0 para todo x ∈ V .
Figura I.2.2. Intuição geométrica por trás do teorema de Rouché. Como a distância g(z) entre as curvas é menor que a distância entre as curvas e a origem, então h(z) = f (z) + g(z) e f (z) dão o mesmo número de voltas em torno da origem.
dada no item 2 é valida para ~p com uma pequena parte imaginária, uma estimativa de Cauchy mostra que
∂2z 0
∂pi∂pj = δij + O(κ).
Como z0 dado no item 2 é uma função par dos pµ´s, então ∂z∂p0i = 0. Mais ainda, a
afirmação do item 2 implica que este mínimo é global para |~p| pequeno.
Nota I.2.b Se η(~p) é o valor de |Im p0| para a singularidade de ˜G(p0, ~p), então η(~p) é
minimizado em ~p = ~0. A positividade de G(x), implica que ˆG(x0, ~p),a transformada de
Fourier em ~x, satisfaz à desigualdade | ˆG(x0, ~p)| 6 ˆG(x0,~0), de forma que a menor taxa
de decaimento ocorre em ~p = ~0. Uma vez que η(~p) determina este decaimento, temos η(~p) > η(~0). Como z0 = eη, vemos que a afirmação do item 3 do Lema I.2.2.A é geral
(contudo isto não garante que este mínimo é estrito e não degenerado). Com isto, podemos demonstrar o resultado principal deste Capítulo:
Proposição I.2.2 Existe uma função m(κ, G2) analítica no disco cortado {κ : 0 <
|κ| < B2, arg κ 6= π} tal que
G((x0,~0)) = C|x0|− 3 2e−m|x0|[1 + O(|x 0|−1+δ)] + O(e−m ′|x0| ), (I.2.2.5)
onde a constrante C > 0 é dada na Eq.I.2.1.1, δ > 0 é arbitrário e m′ > m > 0. Mais
ainda,
m(κ, G2) = ln G2−1κ−1− 3G2κ + O(κ). (I.2.2.6)
Demonstração - Da Lema I.2.2.A, temos que
z0(~p, κ) = G2−1κ−1− 3
X
µ=1
cos pµ+ O(κ).
Portanto, temos que z0(κ, ~p) = e−ω(κ,G2,~p), onde ω(κ, G2, ~p) é a curva de dispersão de
energia-momento (lembramos que definimos ˆT0 = e−H). Então,
ω(κ, G2, ~p) = − ln z0, (I.2.2.7)
separando o termo G2κ−1 e usando uma expansão de Taylor de em torno de κ = 0
ω(κ, G2, ~p) = ln(G2κ) − G2κ 3
X
µ=1
cos pµ+ O(κ2), (I.2.2.8)
de onde concluímos que m(κ, G2) ≡ ω(κ, G2,~0) = ln(G2κ) − 3G2κ + O(κ2). É conveniente
escrevermos ω(κ, ~p) = m(κ, G2) + ̺(κ, G2, ~p) = m(κ, G2) + G2κ 3 X µ=1 (1 − cos pµ) + O(κ2).
De forma que apenas precisamos demonstrar a validade da Eq. (I.2.2.5).
Do Lema I.2.2.A, para κ suficientemente pequeno, ˜G((p0, ~p)) é uma função
meromórfica na região {(p0, ~p)|Im p0| < −3 ln κ}. As singularidades de G((p0, ~p)),
na região {p ||Im p0| < 3 ln κ, |Re pµ| < π, µ = 1, 2, 3}, são dois pólos, localizados em
p0 = ∓iω(κ, ~p). Seja ∓ir
0(~p) o resíduo de cada um destes pólos. Mostraremos que
|G((x0, ~x)) − r
Façamos ˜G((p0, ~p)) = r 0(~p)P (p) + R(p), onde P (p) = 1 1 − e−ω(κ,~p)+ip0 + 1 1 + e−ω(κ,~p)−ip0 .
Notemos que ˜G((p0, ~p)) e P (p) têm os mesmos resíduos nos pontos ±iω(κ, ~p). Portanto
R(p) é analítica em {(p0, ~p) ||Im p0| < −3 ln κ}, uma vez que P e ˜G((p0, ~p)) são
periódicas em pi → pi + 2π. Finalmente, é fácil ver que a transformada de Fourier
inversa de P (p) é dada por δ(x) + e−ω(κ,~p)|x|, o que demonstra a Eq. (I.2.2.9).
Seja F ((x0, ~p)) a transformada de Fourier parcial de Ga
α((x0, ~x)). Esta função
satisfaz
F ((x0, ~p)) = r(~p)e−ω(κ,~p)|x0|+ O(e(3−ǫ) ln κ). (I.2.2.10) Fixando κ e escrevendo ω(κ, ~p) = m(κ) + ρ(κ, ~p), onde ω(κ,~0) = m(κ) obtemos
G((x0,~0)) = e −m|x0| (2πd) Z Td r(~p)e−ρ(κ,~p)|x0| d Y µ=1 dpµ+ O(e(3−ǫ) ln κ). (I.2.2.11) Seja G((x0,~0)) = g((x0,~0))e−m|x0|
. Então reescalando a Eq. (I.2.2.11) encontramos
g((x0,~0)) = |x0|−32 1 (2π3) Z T′ d r(|x0|−12 ~p)e−ρ(κ,|x0| −1 2 p)~|x0| 3 Y µ=1 dpµ+ O(e(3−ǫ) ln κ), (I.2.2.12) onde Td = −(π, π] and Td′ = −(π|x0| −1 2 , π|x0| −1
2 ]. Do item 3 do Lema I.2.2.A, temos
que
lim
a→0
ρ(a~p) a2
existe e é igual a uma função quadrática ̺(~p). Mais ainda, r(~p) 6 C|~p| e ̺(~p) > C|~p|2
para alguma constante C. Com isto, o teorema da convergência dominada implica que |x0|32g((x0,~0)) → Z r(0)e−̺(~p) Q3 µ=1dpµ (2π3) .
Isto completa a demonstração.
Nota I.2.c É possível refinar a análise da Eq. (I.2.2.12), obtendo uma série assintótica convergente (como C0+C1|x0|+C2|x0|2+...) ao invés de apenas o fator dominante (veja
a Ref. O’Carrol [1984]). Em outras palavras, podemos controlar nossa expansão em todas ordens. Note que um resultado análogo não pode ser obtido por métodos como os de campo médio.
A proposição acima estabelece a existência da curva de dispersão e da massa de uma partícula do modelo de Quatro-Fermions. Mais ainda, a Eq. (I.2.2.5) tem comportamento do tipo Ornstein-Zernike (de fato, para o caso de dimensão espacial d, obtemos o expoente |x0|
−d
2 . Em palavras, a função de correlação decai mais rapidamente
quanto maior for a dimensão, uma vez que a partícula associada pode evoluir em mais direções, para os detalhes veja a Ref. Paes-Leme [1978].). A proposição seguinte estabelece propriedades de analiticidade da massa da partícula, mostrando que a única singularidade presente é a de ln κ.
Proposição I.2.3 Existe uma constante positiva B3 e uma função ˜ω(κ, G2, ~p) conjun-
tamente analítica em {κ | |κ| < B3} e ~p ∈ Td, tais que a relação de dispersão de energia-
momento ω(κ, G2, ~p) obedece para κ > 0:
ω(κ, G2, ~p) = − ln κ + ˜ω(κ, G2, ~p). (I.2.2.13)
Demonstração - Sabemos que ω(κ, G2, ~p) = − ln z, onde ω(κ, G2, ~p) é o zero de
C(κ, ~p, z) localizado na vizinhança de κ−1. Retornando à Eq. (I.2.2.3) temos
C(z, ~p) = G2−1− κ(z + z−1) − κ 3 X µ=1 cos pµ+ ∞ X n=1 an(κ, ~p)(zn+ z−n) onde |an(κ, ~p)| 6 C1 |κ| B1 3n 1 +B|κ| 1 3 1 −|κ|B 1 3 . (I.2.2.14)
Façamos uma mudança de variáveis de z, κ para y, κ onde y = zκ − G−1
2 . Então com
H(κ, y, ~p) ≡ C(κ, ~p,y−G−21 κ ) = −y − κ2 1+y − κ P3 µ=1cos pµ+ P∞ n=1 an(κ,~p) κn (G2−1+ y)n +P∞ n=1an(κ, ~p)κn(G2−1+ y)−n
Utilizando o limite dado na Eq. (I.2.2.14), fica claro que a série acima converge absolutamente na região ~p ∈ Td, |y| < G
−1 2 2 e |κ| < B3 = min n 2 3G2−1B1 12 , 1 2G2−1B1 14o . Assim, os termos individuais são conjuntamente analíticos em y, κ e ~p nesta região, H(κ, y, ~p) também é conjuntamente analítica nesta região. Do teorema da função analítica implícita e do fato de que ∂H
∂y(y = 0) = −1(6= 0), concluímos que existe
uma função y0(κ, ~p) tal que H(κ, y(κ, ~p), ~p) = 0 e y0(κ, ~p) = κP3µ=1cos pµ + O(κ2).
Assim, tomando z = κ−1(G−1
2 + y0), obtemos
˜
ω(κ, G2, ~p) = ln(G2−1+ y0(κ, ~p))
que é analítica em um disco |κ| < B3 para qualquer ~p.
Os resultados deste Capítulo serão fundamentais para a obtenção do espectro de duas-partículas. Um dos resultados principais, neste sentido, é a existência de uma banda de duas partículas não ligadas, que começa no limiar de duas partículas −2 ln G2κ.
Uma vez que o momento espacial de cada partícula é limitado, a largura desta banda é finita. Tomando ~π = (π, ..., π), a largura da banda é dada por W = 2[w(~π) − w(~0)] = 24κG2 + O(κ2). O Capítulo seguinte será dedicado a obtenção dos estados ligados de
duas partículas. Como veremos, estes estados aparecem próximos a esta banda de duas partículas livres.
O Espectro de Duas Partículas
“We used to think that if we knew one, we knew two, because one and one are two. We are finding that we
must learn a great deal more about “and”.” Sir Arthur Stanley Eddington
Em física, um estado ligado é um estado físico constituído de duas ou mais unidades fundamentais (partículas ou corpos) que se comportam como um único objeto. No contexto da mecânica quântica, onde o número de partículas é conservado, esses estados ligados correspondem a vetores do espaço de Hilbert correspondente a duas ou mais partículas cuja energia de interação é negativa. Portanto, estas partículas não podem ser separadas sem que haja algum gasto de energia. Ainda nesse contexto, o espectro de energia de um estado ligado é discreto, diferente do espectro de partículas isoladas que é contínuo (mesmo em nossa rede discreta, como vemos pela presença da banda de duas partículas livres). Nesse sentido, é possível o aparecimento de estados ligados instáveis com uma energia de ligação positiva, nos casos onde há uma “barreira de energia” que precisaria ser tunelada afim de que o estado ligado decaia em partículas não-ligadas, como ocorre por exemplo em alguns núcleos radioativos.
Retornando ao nosso caso, o mecanismo de atração induzido pela ação (Eq. (I.1.1.4), não se dá pela interação direta das partículas mas sim por meio de um
mecanismo de polarização do vácuo. Em palavras, a polarização dos campos induzida pela Eq. (I.1.1.3), tendem a alinhar os campos da configuração de vácuo, gerando uma interação efetiva entre as partículas (veja a Ref. Dashen, Hasslacher e Neveu [1974]). Os resultados desta Seção mostram que a magnitude do potencial de interação entre as partículas depende do parâmetro ℵ. Este parâmetro ℵ, em algum sentido, mede a polarização do vácuo, ou em outras palavras nos informa em quanto e como nosso caso desvia do caso de partículas livres (o caso gaussiano).
Neste Capítulo nos dedicaremos à análise da região de duas partículas do espectro. Parte deste trabalho foi iniciado no encerramento do Capítulo anterior quando discutimos a existência de uma banda de duas partículas de largura finita. Neste Capítulo, continuaremos esta análise para mostrar a existência de estados ligados de duas partículas. Estes estados ligados aparecem acima ou abaixo desta banda dependendo do sinal de ℵ.
3.1
Operadores de Schrödinger para Dois Corpos
Antes de mais nada, vamos desenvolver alguma intuição para os nossos resulta- dos de estados ligados de duas partículas e para o método da demonstração no contexto de operadores de Schrödinger na rede. Para tanto, consideremos o hamiltoniano de duas partículas de massas iguais em (ℓ2(Zd) × ℓ2(Zd)), dado por
H2 = −
1
2m(∆1+ ∆2) + v12(~x1− ~x2) ≡ H0+ V2, (I.3.1.1) sendo ∆1 = ∆ ⊗ I e ∆2 = I ⊗ ∆, denotamos por m a massa das partículas, ~x ∈ Zd e
−∆ o laplaciano na rede. A ação do laplaciano −∆ em vetores f ∈ ℓ2(Zd) é dada por
−∆f (~x) = 2df (~x) −
d
X
i=1
f(~x + ei) + f (~x − ei) . (I.3.1.2)
O potencial de interação v12(x−y) em que estamos interessados tem a forma v12(x−y) =
λδ(x − y) + W12(x − y). Com isto, para λ > 0, temos um potencial repulsivo do tipo
esfera dura. O termo W é não local, mas possui decaimento exponencial e é da ordem m−2. Note que na Eq. (I.3.1.1), temos apenas coordenadas espaciais e não coordenadas
temporais. O hamiltoniano de uma partícula agindo em ℓ2(Zd) é
H1 = −
∆
2m + v(~x), (I.3.1.3)
onde v(~x) é um potencial externo tal que lim
|~x|→∞|~x|
1+νv(~x) = 0, ν > 0 e v(~x) = v(−~x).
Consideremos agora as translações unitárias na rede. Escrevendo T~af (~x, ~y) =
f (~x − ~a, ~y − ~a), onde ~a ∈ Zd, podemos escrever T~a = ei ~P·~a, o que define os operadores
auto-adjuntos de momento. Mais ainda, como Tei
Tej
= Tej
Tei
, temos que [Pi, Pj] = 0,
i, j = 1, · · · , d. Uma vez que [H2, T~a] = 0, temos [H2, ~P ] = 0, de forma que podemos
determinar o espectro conjunto de (H2, ~P ).
Vamos agora obter representações espectrais para o hamiltoniano H2. Note
que, no caso mais geral onde temos massas distintas para as partículas, H2 não é
separável nas coordenadas do centro de massa e nas coordenadas relativas (como ocorre no contínuo), ainda assim H2 comuta com as translações, o que nos leva a buscar uma
representação espectral a partir de expansões de f(x, y) ∈ ℓ2(Zd) nas funções ̺ não
pertencentes a ℓ2 dadas por
̺(x, y, ~p, ~k) = 1 (2π)de
i~k(~x+~y)ei~p(~x−~y).
Em um espaço de Schwarz apropriado, as funções ̺ são auto-funções do operador de momento ~P , cujo autovalor é 2~k. Neste mesmo espaço, ̺ também é uma autofunção do hamiltoniano não-interagente H0, com autovalor
K(~p, ~k) ≡ − 1 2m ˜∆(~p + ~k) + ˜∆(~p − ~k) = 1 m d X i=1 2 − cos(pi+ ki) − cos(pi− ki) = 2 m d X i=1 1 − cos(pi) cos(ki) .
Note que o operar H0 é um operador multiplicativo. O mesmo continua válido quando
temos massas distintas e K(~p, ~q) não pode ser separado nas contribuições da energia cinética do centro de massa e da energia cinética relativa. Seu espectro consiste em uma banda espectral finita, que se inicia em 0 (~p = ~k = ~0 ou ~p = ~k = ~π = (π, · · · , π) e tem como ponto mais alto o valor de energia 4d
para o sistema ~p +~k = ~π. É uma tarefa simples mostrar que nossas funções ̺ obedecem às relações de completeza e de ortogonalidade
X ~ x,~y ̺(~x, ~y, ~p1, ~k1)̺∗(~x, ~y, ~p2, ~k2) = δ(~k1− ~k2)δ(~p1− ~p2), Z Td Z Td ̺(~x1, ~y1, ~p, ~k)̺∗(~x2, ~y2, ~p, ~k)d~pd~k = δ(~x1− ~x2)δ(~y1 − ~y2).
As soluções da equação de Schrödinger dependente do tempo i∂ρ
∂t = H2ρ, são dadas por ρ(~x, ~y, t) = 1 (2π)d Z Td
a(~k)φ(~x, ~y, ~k)e−iE(~k)d~k,
onde H2φ = E(~k)φ, de forma que φ(~x, ~y, ~k) = ei~k(~x+~y)χ(~x − ~y, ~k), e χ(~x, ~k) = 1
(2π)d
R
Tdb(~p, ~k)e
i~p~xd~p. Substituindo φ em H
2φ = E(~k)φ,, e tomando a transformada
de Fourier na coordenada relativa ~x = ~x2− ~x1, temos que
h K(~p, ~k) − E(~k)ib(~p, ~k) + 1 (2π)d Z Td ˜ V2(~p − ~p′)b(~p′, ~k)d~p′ = 0.
Em nosso, caso V2 = λδ + W , de forma que considerando apenas a contribuição
dominante da equação acima, temos h K(~p, ~k) − E(~k)ib(~p, ~k) + λ (2π)d Z Td ˜b(~p,~k)d~p = 0.
Multiplicando a equação acima por (K − E)−1 e integrando em ~p temos a equação de
auto valor λ (2π)d Z Td d~p K(~p, ~k) − E(~k) = −1. (I.3.1.4)
Assim, substituindo K(~p, ~k) na equação acima, encontramos
1 + λ (2π)d Z Td d~p 2 m d X i=1
1 − cos(pi) cos(ki) − E(~k)
= 0.
da banda para λ < 0, de forma que temos aí realmente um caso atrativo. Emquanto para λ > 0 encontramos um autovalor acima da banda, ou seja temos um caso repulsivo, que pode ser entendido como um anti-estado ligado ou um estado ligado de buracos.
Estes resultados espectrais podem ser entendidos de maneira mais detalhada em termos da resolvente (H2 − z)−1. A equação de Schrödinger na forma resolvente é
dada por
(H2− z)−1 = (H0)−1− (H0− z)−1V2(H2− z)−1. (I.3.1.5)
A Eq.(I.3.1.5) é análoga a uma equação do tipo Bethe-Salpeter D = D0+ D0KD, onde
D corresponde à resolvente interagente (H − z)−1, D
0 a resolvente livre (H0− z)−1 e
K a −V2. Usando a decomposição de V2 dada acima, temos
(H2− z)−1 = (Hl− z)−1− (Hl− z)−1W (H2− z)−1, (I.3.1.6)
(Hl− z)−1 = (H0− z)−1− (H0− z)−1L(Hl− z)−1, (I.3.1.7)
sendo L(~x, ~y) = λδ(~x − ~y). Novamente, restringindo nossa atenção à parte dominante do potencial, vamos determinar as propriedades espectrais de Hl = H0+ λδ. Se z não
pertence ao espectro de Hl e H0, então a Eq. (I.3.1.7) resulta em
(Hl− z)−1(~x, ~y) = (H0− z)−1(~x, ~y) −
λ(H0− z)−1(~x,~0)(Hl− z)−1(~x,~0)
1 − λ(H0− z)−1(~0,~0)
(I.3.1.8) Para z 6∈ [0, 4d], o espectro de Hl coincide com as singularidades em z da Eq. (I.3.1.7),
i.e. dos zero do denominador da Eq. (I.3.1.8). Assim, fazendo ~k = ~0, temos a equação para os estados ligados
λ(H0+ Eb)−1(~0,~0) = λ (2π)d Z Td d~p − ˜∆(~p) + Eb = −1 (I.3.1.9)
Fixemos nossa atenção no caso atrativo λ < 0. Uma vez que, para momentos pequenos, − ˜∆(~p) ≈ |~p|2, se d = 1, 2, a integral da Eq. (I.3.1.9) diverge de forma que
para todo λ < 0 podemos encontrar um um estado ligado. Para d > 3, a integral da Eq. (I.3.1.9) converge para Eb = 0, de forma que existe um valor crítico λc < 0 para
Simon [1972]). Com este resultado a Eq. (I.3.1.6) pode ser usada para se mostrar que as singularidades de (H2 − z)−1 não estão muito distantes das singularidades de
(Hl − z)−1. Nas seções seguinte, realizaremos uma análise similar à feita aqui para a
função de quatro-pontos D. Nós iremos escrever uma equação de Bethe-Salpeter para D, e com ela determinar a existência e propriedades de decaimento do núcleo de Bethe- Salpeter K que fará o papel do potencial V2em nosso modelo. Usaremos as propriedades
de K para estabelecer uma aproximação em escada L para K, iremos resolver a equação de Bethe-Salpeter e obter os estados ligados nesta aproximação em escada, de maneira análoga ao que fizemos para a Eq. (I.3.1.7). E finalmente usaremos uma estrutura análoga a da Eq. (I.3.1.6) para validar os resultados obtidos na aproximação em escada para o modelo completo.