4.1 Perception of the food system actors of the ‘skolefrukt’ and ‘skolemelk to the idea of organic milk and fruit
4.1.6 Possibilities for the introduction of organic milk and fruit
Nesta Seção demonstraremos a existência do estado ligado no modelo completo, i.e. vamos mostrar que as conclusões sobre a existência dos estados ligados continuam valendo fora da aproximação em escada. Novamente, nos limitaremos ao caso atrativo,
onde os estados ligados aparecem abaixo da banda, e portanto tomamos ℵ > 0. A idéia consistem em “perturbar” a solução encontrada na aproximação em escada. A perturbação é pequena devido ao decaimento de K. Assim nossa estratégia é mostrar que os estados ligados encontrados na Seção anterior (na aproximação em escada) continuam existindo, tendo apenas sido “ligeiramente” deslocados. Mais precisamente mostramos a proposição abaixo.
Proposição I.3.3 Para κ > 0 suficientemente pequeno o primeiro ponto no espectro de massa acima da massa m(κ) de uma partícula é isolado, sN (sN−1)
2 vezes degenerado
e obedece mb = 2m − | ln(1 − γ)| + O(κ). Para δ > 0 suficientemente pequeno, mb é o
único ponto do espectro de massa no intervalo (m, mb+ δγ).
Nossa estratégia para demonstrar a proposição acima, consiste em considerar a família de operadores
Tκ(ν, ε) ≡ ˆL ˆD0+ ν ˆM′Dˆ0, (I.3.3.1)
para ν ∈ C, tal que |ν| < ν0, com ν0 suficientemente pequeno. É o operador
ν ˆM′Dˆ0 que desempenha o papel de pequena perturbação ao operador da aproximação em escada ˆL ˆD0. Escolhemos o operador ˆM′ tal que κ ˆM′ = ˆM , de forma que o
parâmetro ν “controla a intensidade da pertubação”, assim Tκ(κ, ε) = ˆK ˆD0, i.e. estamos
considerando o modelo completo, ao passo que Tκ(0, ε) = ˆL, ou seja estamos na
aproximação em escada. Nosso objetivo, é construir um cenário onde possamos aplicar o Teorema Analítico de Fredholm para ˆK(ε) ˆD0(ε). Supondo que possamos mostrar que
o Teorema Analítico de Fredholm se aplica, então garantimos que (1 − ˆK(ε) ˆD0(ε))−1
existe para todo ε a menos de um possível conjunto de valores discretos. Se mostrarmos que existe um ε para o qual o operador (1 − ˆK(ε) ˆD0(ε))−1 não existe, então a equação
ˆ
K(ε) ˆD0(ε)f = f tem uma família de soluções de dimensão finita. Para aplicarmos o
Teorema Analítico de Fredholm, precisamos mostrar que, para ε proximo de εl e κ = ν
suficientemente pequenos, o operador Tκ(ν, ε) é compacto e analítico. Por um lado,
já sabemos que os operadores ˆL e ˆM são compactos e analíticos, uma vez que ˆL tem domínio finito e ˆM é um operador de classe Hilbert-Schmidt (veja a Ref. Reed e Simon[1978b]). Mais ainda, conhecemos cotas superiores para estes operadores dadas por k ˆLk = ℵ e k ˆM k = cκ. Portanto, precisamos estabelecer uma cota superior para
ˆ
é o operador de multiplicação H(~p, ε) dado pela Eq. (I.3.2.20), e para a norma de ˆ
D0 temos k ˆD0k = (2π)d1sup~p∈Td|H|. De forma que o problema de determinar cotas
para ˆD0 pode ser atacado através da obtenção de cotas para os Hi´s. Para tratar este
problema temos o lema abaixo:
Lema I.3.3.A Para κ > 0 suficientemente pequeno
a) e para ε ∈ R, 0 < ε 6 2m, i = 1, 2, 3, temos Hi(~p, ε) > 0, ∂H∂εi(~p, ε) < 0; b) e para 0 < Re ε 6 2m, i = 1, 2, 3, temos |Hi(~p, ε)| 6 Hi(~p, Re ε) > 0; c) e para ε0− δγ < Re ε 6 ε0+ ln 2, temos i) H1(~p, ε) = (2π)2 d G2 2
1−eε[1 + O(δ)] + O(κ)
∂H1 ∂ε (~p, ε) = 2 (2π)d G2 2e−ε
1−eε [1 + O(δ)] + O(κ)
ii)
H2(~p, ε) = 4G2R dˆσ~p(E)(1 + O(κ)) = O(κ) ∂H2 ∂ε (~p, ε) = 4G2O(κ 2)e−εR dˆσ ~ p(E) iii)
H3(~p, ε) = 2(2π)d(R dˆσp~(E))2(1 + O(κ)) = O(κ2) ∂H3
∂ε (~p, ε) = 2(2πd)O(κ2)e−ε(R dˆσ~p(E))2
Demonstração -
a) Segue diretamente do cálculo da expansão de Hi, i = 1, 2, 3, em potências de κ.
b) O problema aqui é considerarmos ε com uma parte imaginária. Seja Di o
denominador de Hi, i = 1, 2, 3, assim Di(χ + iψ) = cosh(u) − cosh(χ + iψ),
onde χ + iψ = 2m − ε e u = E + E′. É suficiente mostrar que, para χ, ψ reais,
|Di(χ + iψ)| > Di(χ). Temos que
|Di(χ + iψ)| = | cosh u − cosh(χ + iψ)| > cosh u − max
ψ | cosh(χ + iψ)|.
Uma vez que | cosh(χ + iψ)|2 = cosh2
χ − sinh2ψ, temos |Di(χ + iψ)| > cosh u −
c) É uma conseqüência do Lema I.3.2.E.
Agora vamos usar o lema acima para estabelecermos cotas superiores para consideremos o estabelecimento de cotas superiores para ˆK ˆD0, de forma a mostrar que
ˆ
K ˆD0 é compacto. Temos o seguinte resultado.
Lema I.3.3.B Para ε = ε0 + ∆ε, ∆ε = ln 2 e κ suficientemente pequeno, temos
| ˆK(ε) ˆD0(ε)| < 1
Demonstração - Da desigualdade triangular, segue que | ˆK ˆD0| 6 | ˆL ˆD0| + | ˆM ˆD0|, de
outro lado temos | ˆL| = ℵ e | ˆM | 6 cκ. Pelo Lema I.3.3.A, as contribuições H2 e H3 para
| ˆD0| são de ordem O(κ). Para levarmos em conta as contribuições de H1, notamos que
(2π)dsup ~
pH1(~p, ε) 6 2G22(1 − e−ε)−1+ O(κ). Por outro lado
(1 − e−ε)−1 = (γ + (1 − γ)(1 − e−∆ε))−1 = 2 1 + γ. Assim, temos ˆD0 = 4G 2 2 (1+γ) + O(κ) e | ˆL ˆD0| 6 | ˆL|| ˆD0| 6 2γ 1 + γ + O(κ). Lembramos que γ = 1 2ℵG2 2, e portanto γ = 1 − G2 2
G△, de outro lado a restrição ℵ > 0
implica que G2
2 < G△. De onde temos γ < 1 e portanto | ˆL ˆD0| < 1, de onde segue o
resultado.
Nota I.3.b Do Lema I.3.3.A (especificamente dos itens a e b) e do Lema I.3.3.B, podemos ver facilmente que, para 2m > Re ε > ε0+ ln 2 e κ suficientemente pequeno,
temos | ˆK(ε) ˆD0(ε)| < 1. Então usando o Lema I.3.3.B e o item c do Lema I.3.3.A,
vemos que (1 − ˆK ˆD0)−1 existe em ε + δγ < Re ε < ε + ln 2, para δ suficientemente
O resultado acima mostra uma região onde ˆK ˆD0 são compactos. Seguindo
nossa estratégia, agora precisamos mostrar que existe um ε para o qual (1 − ˆK ˆD0)−1
seja singular. Para isto, vamos retornar a análise do operador Tκ(ν, ε) da Eq. (I.3.3.1).
Vamos tratar Tκ(ν, ε) como sendo o resultado de uma “perturbação” aplicada ao
operador Tκ(0, εL). Em outras palavras, escrevemos Tκ(ν, ε) = Tκ(0, εL) + δTκ(ν, ε),
onde temos a “perturbação” dada por δTκ(ν, ε) = Tκ(ν, ε)−Tκ(0, ε)+Tκ(0, ε)−Tκ(0, εL).
Então nosso primeiro passo para analisar o espectro de Tκ(ν, ε) é estabelecermos o
espectro de Tκ(0, εl). O espectro de Tκ(0, εl) nada mais é que o espectro de ˆK(ε) ˆD0(ε)
na aproximação em escada que foi estabelecido na Seção anterior. Seja σ(B) o espectro do operador B, com essa notação temos o lema:
Lema I.3.3.C Para κ suficientemente pequeno, vale que σ(Tκ(0, εl)) ⊂ {0, 1}
Demonstração - Decompondo ˜f (~p) = ˜f0 + ˜f1(~p), onde ˜f0 é uma função constante
e ˜f1(~p) é uma função ortogonal as constantes. Na Seção anterior, mostramos na
aproximação em escada que ˆL(εl) ˆD0(εl) ˜f0 = ˜f0. Considerando agora também as funções
não constantes, podemos escrever
(˜g, Tκ(0, εl) ˜f ) = (˜g0, ˜g1) 1 A0 0 0 ˜ f0 ˜ f1 , onde (˜g0, A0f˜1) = ¯˜g0ℵ R
TdH(~p, ε) ˜f1(~p)d~p, com ¯˜g0 denotando o complexo conjugado de
˜
g0. Para κ = 0, a contribuição do produto de contribuições de uma partícula é zero. Do
princípio do módulo máximo em |κ| < κ0 (veja Ref. Reed e Simon [1972]) e do item
c do Lema I.3.3.A, temos a cota superior |A0| < c′κ. Agora, notamos que o operador
inverso (Tκ(0, εl) − λ)−1 é dado por
(Tκ(0, εl) − λ)−1 = (1 − λ)−1 λ−1(1 − λ)−1A 0 0 −λ−1
de onde vemos que o espectro é dado por {0, 1}.
Quando “ligamos” a perturbação o espectro de Tκ(ν, ε), encontrado acima vai se
modificar. Precisamos então de uma estimativa de quão grande será essa modificação, essa estimativa é dada no lema abaixo.
Lema I.3.3.D Para κ, ν0 e δ suficientemente pequenos, e para ν, ε tais que |ν| < ν0 e
|ε − ε0| < 2δγ, temos σ(Tκ(ν, ε)) ⊂ {λ||λ − 1| < 1 4 ou |λ| < 1 4}.
Demonstração - Iremos mostrar que para λ fora da região acima, o operador (Tκ−λ)−1
é limitado e portanto, o espectro de Tκ não pode estar fora do conjunto |λ − 1| < 1
4 ou |λ| < 1
4}. Então consideramos a expansão de (Tκ(ν, ε) − λ)−1 em uma série de
Neumann. Mais precisamente, vemos que a série de Neumann de
(Tκ(ν, ε) − λ)−1 = (Tκ(0, εL) − λ)−1(1 + (Tκ(0, εL) − λ)−1δTκ(ν, ε),
converge para (Tκ(0, εL) − λ)−1δTκ(ν, ε) < 1, uma vez que (Tκ(0, εL) − λ)−1 existe para
λ 6 in{0, 1}. Da demonstração do Lema I.3.3.C, para |λ| > 1
4 e |λ − 1| < 1
4, temos
|(Tκ(0, εl) − λ)−1| 6 max{|λ|−1, |1 − λ|−1, |λ|−1|1 − λ|−1|A0|} 6 16
Uma uma expansão de Taylor de ˆL ˆD0 em torno de ε = εL, mostra que
| ˆL ˆD0(κ, ε) − ˆL ˆD0(κ, εL)| 6
1 − γ
γ |ε − εl| + 2γκ
2|ε − ε
L| + O(κ)|ε − εL|.
Notamos também que | ˆD0| 6
G2 2 γ(1 + 2δ) + O(κ) e | ˆM′| < c′, ν ˆM′Dˆ0(κ, ε)| 6 2c|ν|. Então |δTκ(ν, ε)| 6 1−γγ |ε − εL| + 2γκ2|ε − εL| + 2|ν|c′ de forma que a série de Neumann
de (Tκ(ν, ε) − λ)−1 converge para κ pequeno o suficiente.
Nota I.3.c Vamos tomar κ e δ suficientemente pequenos, e ν e ε tais que |ν| < ν0 e
|ε − ε0| < 2δγ. Da teoria de perturbações analíticas (e da multiplicidade dos autovalores
autovalor λκ(ν, ε), sN (sN2 −1) vezes degenerado, tal que |λκ(ν, ε)−1| < 14, com λκ analítico
em γ e ε. Ainda para ν, ε ∈ R, Tκ(ν, ε) comuta com conjugações complexas. Portanto
tanto λκ quanto ¯λκ são autovalores de Tκ(ν, ε), de onde λκ é real.
Finalmente, iremos mostrar que existe um valor ε1(ν), tal que o autovalor
λκ(ν, ε1(ν)) = 1. Tendo feito isto podemos tomar ν = κ e estabelecer a existência de
um εb = ε1(κ) tal que λκ(κ, εb) = 1. Nossa estratégia para mostrar a existência de
ε1(ν), com as propriedades acima, vai explorar a analiticidade conjunta de λκ(ν, ε) nas
variáveis ν e ε, afim de usar estimativas de Cauchy para o controle das magnitudes das derivadas de λκ(ν, ε). Com este controle, usaremos a continuidade de λκ(ν, ε) em
ε para mostrar a existência de uma raiz para λκ(ν, ε) − 1. Mais precisamente, temos a
proposição abaixo:
Proposição I.3.4 Para κ e δ suficientemente pequenos e para |ν| < 2κ, existe um único ε1(ν), satisfazendo |ε1(ν)−ε0| 6 δ3γ, tal que o autovalor de Tk(ν, ε), λκ(κ, ε1) = 1.
Demonstração - Conforme a estratégia traçada acima, vamos usar estimativas de Cauchy para determinar cotas superiores para as derivadas de λκ nas variáveis ν e ε.
Para estas estimativas usamos discos de raios |ν| = ν0 e |ε − ε0| = 2δγ, e tomamos ν e
ε na região dada por |ν| < 2κ, |ε − ε0| < δ3γ. Neste domínio, encontramos
∂λκ ∂ν (ν, ε) < 5 4 1 ν0 , ∂ 2λ κ ∂ν∂ε(ν, ε) = 5 4 1 ν0 1 δγ.
Com isso, expandindo λκ em potências de ν e usando as estimativas de Cauchy acima,
obtemos |λκ(ν, ε) − λκ(0, ε)| 6 52νκ0. Tomando ε = εL(κ), o temos λκ(0, ε) = 1, uma vez
que estamos na aproximação em escada. Com isso, |λκ(ν, εL) − 1| 6 52νκ0. Para ε > 0,
temos ∂λκ ∂ε (ν, ε) = ∂λκ ∂ε (0, ε) + Z ν 0 ∂2λ κ ∂ν′∂ε(ν ′, ε)dν′ (I.3.3.2) onde ∂λκ ∂ε (0, ε) 6 − (1 − γ) γ + O(κ 2). (I.3.3.3)
O segundo termo no lado direito da Eq. (I.3.3.2) é limitado superiormente por 5 κ δγν2
0.
Da Eq. (I.3.3.3), vemos que para κ pequeno o suficiente, vale que ∂λκ
∂ε (ν, ε) 6 − (1−γ)
Portanto λκ(ν, ε0+ δγ) = λκ(ν, ε0) + ∂λ∂εκ(ν, ε0)δ3γ + Rε 0 Rε′ 0 ∂2λ κ ∂ε′′2(ν, ε′′)dε′′dε′ 61 −(1−γ)γ δ3+ O(κ) + O(δ4) .
Logo, temos que λκ(ν, ε0+ δ3γ) < 1, para κ suficientemente pequeno. Analogamente,
λκ(ν, ε0− δ3γ) > 1, para κ pequeno. Por continuidade, existe (pelo menos um) ε1(ν)
entre ε0+ δ3γ e ε0+ δ3γ tal que λκ(ν, ε1(ν)) = 1.
Tomando ν = κ e ε1(κ) = εb na Proposição acima, temos um estado ligado
com massa 2m − εb = 2m − |ln(1 − γ)| + O(κ) o que completa a prova da Proposição
I.3.3. Mais ainda, se mostrarmos que a derivada de λκ(ν, ε) em ε for não nula para
algum par (ν, ε) então o teorema da função analítica implícita garante que ε(ν) é uma função analítica de ν, e portanto εb é analítica em κ.
Em resumo, mostramos, sem aproximações, que no caso atrativo, o espectro de massa de duas partículas do modelo de quatro férmions, contém um ponto espectral isolado, com massa mb ligeiramente menor do que a massa de duas partículas livres.
Este é o primeiro ponto espectral, no espectro de massa, acima da massa de uma partícula. De forma que podemos associar este ponto espectral a um estado ligado de duas partículas. Mais ainda, note que as propriedades deste estado ligado são, em boa aproximação, determinadas pela aproximação em escada. Estas propriedades foram exibidas mostrando que o ponto espectral correspondente ao estado ligado de duas partículas é isolado e damos um raio de isolamento da ordem de δ3γ. Por outro lado,
as contribuições não consideradas na aproximação em escada não destroem a banda espectral contínua de duas partículas, que continua tendo seu início do limiar de duas partículas 2m. Na próxima Seção, mostraremos que para ℵ > 0 nenhum outro ponto espectral é encontrado entre 2m − εb+ δ3γ e 2m.
3.3.2
Ausência do Espectro de Massa
Nesta Seção provaremos que fixado ℵ > 0, o espectro de massa em (m, 2m) consiste do ponto espectral degenerado 2m − εb = 2m − | ln(1 − γ)| + O(κ). Mais
precisamente, temos a proposição:
Proposição I.3.5 Para κ > 0 suficientemente pequeno e no subespaço de duas partí- culas, valem as seguintes propriedades espectrais:
(a) Fixado ℵ 6 0, não há espectro de massa em (m, 2m).
(b) Fixado ℵ > 0, o espectro de massa em (m, 2m) consiste em um único ponto espectral degenerado dado por mb = 2m − εb = 2m − | ln(1 − γ)| + O(κ).
Na Seção I.3.2, mostramos que a existência de estados ligados abaixo do limiar de duas partículas depende do sinal de ℵ. No caso ℵ > 0, onde mostramos que existe um estado ligado abaixo da banda de duas partículas. O ponto espectral mb, associado
a este estado ligado, é o único ponto espectral no subespaço de duas-partículas em (0, mb+ γδ3), com delta suficientemente pequeno. Nesta mesma região, para ℵ 6 0 não
há nenhum estado ligado. A idéia aqui é mostrar que, para ℵ 6 0, o parâmetro δ pode ser tomado grande o suficiente desde que mb+ δγ não atinja o limiar de duas partículas,
o que demonstraria o item (a) da proposição acima. Em seguida, usaremos argumentos análogos, ligeiramente modificados, para excluir a existência de espectro de massa no subespaço de duas partículas em (mb+ γδ, 2m) para o caso ℵ > 0, demonstrando assim
o item b.
No que se segue, nos restringiremos a ℵ 6 0 e apenas estaremos interessados em estados ligados abaixo da banda de duas partículas.
A idéia é considerarmos aℓδ, o subespaço anti-simétrico do espaço ℓ2 com peso
(veja a Ref. Reed e Simon [1978b] para os detalhes) ℓδ = {f : A → C| Z X αa |fαa(x)|2eδ|x|dx < ∞, δ = m 8}.
Trataremos ˆD0 e ˆDL como mapas ℓδ → ℓ−δ. Portanto ˆK e ˆL são tomados como
operadores de ℓ−δ → ℓδ, de forma que ao lado esquerdo da Eq. (I.1.4.11) pode ser
reescrita na forma hf, ˆDLf i, esta expressão denota, em palavras, a ação do funcional
linear ˆDLf ∈ ℓ−δ agindo em vetores f ∈ ℓδ. A norma ℓδ de ˆDL é a norma ℓ2 de ( ˆDL)δ,
onde ( ˆDL)δ tem núcleo dado por
A idéia é mostrarmos, para |κ| suficientemente pequeno e para χ ∈ (0, 2m), que o operador ˆD : ℓδ → ℓ−δ, dado por
ˆ
D = ˆDL(1 − ˆM ˆDL)−1 (I.3.3.4)
existe e portanto não há estados ligados abaixo da banda de duas partículas para ℵ 6 0. Notamos inicialmente que a análise da Seção I.3.2 garante que, nesta situação, a norma de ˆDLlimitada (uma vez que para ℵ 6 0 não temos nenhum ponto no espectro de massa
entre a massa de uma partícula e a banda de duas partículas livres). A existência de (1 − ˆM ˆDL)−1, pode ser mostrada utilizando uma série de Neumann. Assim, precisamos
mostrar que a norma ℓδde ˆM ˆDLé menor que 1 e de onde temos a convergência da série
de Neumann para (1 − ˆM ˆDL)−1. Como veremos, as cotas superiores para a norma do
operador ˆM ˆDL dependem de cotas superiores do operador ˆDL e de limites superiores
refinados em M para distâncias pequenas.
Para obtermos, as cotas de | ˆDL|, vamos separar algumas contribuições de DL.
Vamos decompor o operador ˆDL na forma
ˆ DabLαβ(~ξ, ~η, k0) = ˆDAαβab (~ξ, ~η, k0) + ˆDabBαβ(~ξ, ~η, k0), onde ˆ DabAαβ(~ξ, ~η, k0) = (1 − ℵ ˆDab0αβ(~0,~0, k0))−1Dˆab0αβ(~ξ, ~η, k0) e ˆ Dab Bαβ(~ξ, ~η, k0) = −ℵ(1 − ℵ ˆD0αβab (~0,~0, k0))−1[ Dˆ0αβab (~ξ, ~η, k0) ˆDab0αβ(~0,~0, k0) − ˆDab 0αβ(~ξ,~0, k0) ˆD0αβab (~0, ~η, k0)].
O lema abaixo fornece cotas superiores para cada uma das contribuições ˆDA e ˆDB.
Além disso, o lema abaixo também nos dá uma cota superior para a norma de ˆDL em
ℓδ.
Lema I.3.3.E Para κ suficientemente pequeno e para −ik0 = χ ∈ (0, 2m), vale que
(a) | ˆDab
(b) | ˆDab
Bαβ(~ξ, ~η, k0)| < O(1)[1 + δ(~η)][1 + δ(~ξ)][1 + κ−1|η|2]
(c) k( ˆDab
Lαβ)δk2 < cκ−1
Demonstração -
(a) Da Eq. (I.3.2.19) temos que | ˆDab
0αβ(~ξ, ~η, k0)| < ˆDab0αβ(~0,~0, k0). Portanto, | ˆDab Aαβ(~ξ, ~η, k0)| < x 1 − ℵx, onde x = ˆDab
0αβ(~0,~0, k0). Para ℵ < 0, a função 1−ℵxx é monotonicamente crescente
e lim
x→∞
x 1 − ℵx =
1
|ℵ|, de onde segue o resultado. (b) Seja Dab
Bαβ(~ξ, ~η, k0) = −ℵ(1 − ℵ ˆDab0αβ(~0,~0, k0))−1Φabαβ(~ξ, ~η, k0), onde Φabαβ(~ξ, ~η, k0) =
[ ˆDab
0αβ(~ξ, ~η, k0) ˆDab0αβ(~0,~0, k0)− ˆD0αβab (~ξ,~0, k0) ˆD0αβab (~0, ~η, k0)]. Usando a Eq. (I.3.2.19),
obtemos |Φab αβ(~ξ, ~η, k0)| 6 4(2π)dR · · · R h sinh(E1+E2) cosh(E1+E2)−cosh(χ) i h sinh(E3+E4) cosh(E3+E4)−cosh(χ) i ×| cos(~p · ~η) − cos(~q · ~η)|dσ~p(E1)dσ~p(E2)dσ~q(E3)dσ~q(E4)d~pd~q .
Por outro lado, notamos que
cos θ − cos φ = −2 sin θ + φ 2 sin θ − φ 2 , como sin θ ± φ 2 = sin θ 2 cos φ 2 ± sin φ 2 cos θ 2 , obtemos que
cos θ − cos φ = −2sin2 θ
2 cos2 φ2 − sin 2 φ 2 cos2 θ2 = −2 1 − cos2 θ 2 cos φ 2 − 1 − cos2 φ2 cos θ 2 = −2cos2 θ 2 − cos 2 φ 2 .
Uma vez que cosθ 2 =
q
1+cos θ
2 , temos que cos θ − cos φ = (1 + cos θ) − (1 + cos φ).
Logo | cos(~p · ~η) − cos(~q · ~η)| 6 (1 − cos(~p · ~η)) + (1 − cos(~q · ~η)). Integrando em ~q, encontramos |Φab αβ(~ξ, ~η, k0)| 6 4(2π)dDˆab0αβ(~0,~0, k0)R · · · R h sinh(E1+E2) cosh(E1+E2)−cosh(χ) i ×(1 − cos(~p · ~η))dσ~p(E1)dσ~p(E2)d~p.
Da demonstração do item anterior, temos |ℵ(1−ℵ ˆDab
0αβ(~0,~0, k0))−1 ˆ Dab
0αβ(~0,~0,k0)| < 1.
E portanto, temos que |Dab Bαβ(~ξ, ~η, k0)|64(2π)dR· · ·R h sinh(E1+E2) cosh(E1+E2)−cosh(χ) i (1 − cos(~p · ~η))dσ~p(E1)dσ~p(E2)d~p.
Usando a decomposição da medida dσ~p(E), dada no Lema I.3.2.A, e relembrando
que as contribuições das integrais com dˆσ~p(E) são de O(1), temos que
| ˆDabBαβ(~ξ, ~η, k0)| < 4(2π)d
O(1) +
Z sinh(2ω(~p))
cosh(2ω(~p)) − cosh(χ)(1 − cos(~p~η))Z
2(~p)d~p
.
Como Z(~p) = G2
(2π)d+ O(κ) a última integral é limitada superiormente por cκ−1|~η|2
(c) Segue dos itens (a) e (b) acima, uma vez que
k( ˆDL)δk2 < sup ~ ξ e−δ|~ξ|X ~ η | ˆDabLαβ(~ξ, ~η, k0)|e−δ|~η| Agora, passamos à tarefa de determinar cotas para ˆM . Para estabelecer as cotas adequadas precisamos de cotas em ˆK para pequenas distâncias. Para isto, usaremos o lema abaixo,
Lema I.3.3.F Para κ suficientemente pequeno e para χ ∈ (0, 2m) a) ˆM (0, 0, k0) = O(κ
1 2)
Demonstração -
(a) Da Eq. (I.3.2.8) temos que |K(~0,~0, τ)| 6 c4
κ B4 4|τ0|+|~τ|
e uma vez que M(~0,~0, 0) = O(κ) temos o resultado.
(b) Em primeiro lugar, notemos que a coordenada relativa (~e1, −~e1, 0) equivale em
coordenadas da rede a (0, ~e1, ~e1, 0) e (~e1, ~e1, −~e1) equivale a (0, e1, 0, ~e1). Ambos os
casos, descrevem uma situação onde o cluster dos x coincide com o cluster dos y e dentro de cada cluster os campos distam de uma unidade. Então, basta mostramos a segunda igualdade. Precisamos estimar a ordem de K(~e1, ~e1, −~e1). Usando
DD−1 = I e notando que D(~0, ~e
1,~0, ~e1) = 2G22IS+O(κ2), temos D−1(~0, ~e1,~0, ~e1) = 1
2G2−2IS+O(κ2). Analogamente, D−10 (~0, ~e1,~0, ~e1) = 12G2−2IS+O(κ2), de onde segue
o resultado.
Seja B um operador em ℓδ cujo núcleo é dado por B(~ξ, ~η). A norma Hilbert-
Schmidt do operador B é definida como
kBkHS ≡
Z
e2δ|~ξ||B(~ξ, ~η)|2e−2δ|~η|d~ξd~η 12
.
Uma vez que ˆM é Hilbert-Schmidt (i.e. tem norma Hilbert-Schmidt finita), convém usarmos esta norma para estabelecermos limites superiores para ˆM DL. Para tal fim,
estabeleceremos cotas para as normas Hilbert-Schmidt de ˆM ˆDA e ˆM ˆDB. Para a norma
de ˆM ˆDA, estabelecemos o lema abaixo.
Lema I.3.3.G k ˆM ˆDAkHS < O(κ
1
4) uniformemente em −ik0 = χ ∈ (0, 2m)
Demonstração -Consideremos f (~ξ, k0) = P
~
η| ˆM (~ξ, ~η, k0)|. Da Eq. (I.3.2.8) e do
Lema I.3.3.F, vale que
f (~ξ, k0) = O(κ12) se ~ξ = ~0 O(κ14)[e− 1 4(m−O(1))|~ξ|] se ~ξ 6= ~0
Portanto a estimativa f(~ξ, k0) = O(κ1
2)[e−14(m−O(1))|~ξ|] vale para todo ~ξ ∈ Zde é uniforme
em k0 para χ ∈ (0, 2m). Do item a do Lema I.3.3.E, temos | ˆDabAαβ(~ξ, ~η, k0)| < |ℵ|−1, de
onde vemos que
| ˆM ˆDA(~ξ, ~η)| 6 O(1)
X
~ η
| ˆM (~ξ, ~η, k0)| 6 O(κ18)[e−1/4(m−O(1))|~ξ|]
que nos mostra que k ˆM ˆDAkHS 6O(κ
1
4), se δ ∈ (0,m
8)
Para determinarmos uma cota superior para k ˆM (k0) ˆD
LkHS, nos falta determi-
nar uma cota k ˆM (k0) ˆD
LBkHS. Do Lema I.3.3.E (item b),vemos que
| ˆM (k0) ˆDB(~ξ, ~η, ~k0)| 6 O(1)κ−1
X
~ η6=~0
| ˆK(~ξ, ~η, k0)|(1 − δ(~η))|~η|2.
Esta é uma situação problemática, o fator κ−1 é grande e, a primeira vista, | ˆK(~ξ, ~η, k0)|
não fornece nenhuma forma de compensa-lo em distâncias pequenas. Para controlarmos | ˆM ˆDB|δHS, precisamos de algum controle em | ˆK(~ξ, ~η, k0)| para pequenas distâncias.
Usando o Lema I.3.3.F (item b), vamos estabelecer um controle para as contribuições de distância pequena para | ˆM DB|δHS no lema abaixo.
Lema I.3.3.H Para |~ξ| = 0, 1, κ suficientemente pequeno e χ ∈ (0, 2m) temos a estimativa X |~η|=1 X ~ τ |K(~ξ, ~η, τ )| 6 O(κ)[e−12(m−O(1))|~ξ|].
Demonstração - Da Eq. I.3.2.8,
| ˆK(~ξ, ~η, k0)| 6X ~ τ |K(~ξ, ~η, ~τ)| + O(κ)[e−12(m−O(1))(|~ξ|+|~η|)], para χ ∈ (0, 2m). Seja N ≡ P~η6=~0P ~τ|K(~ξ, ~η, τ )|. Com isso, N 6X ~ η6=~0 X ~ τ
Por outro lado, temos que P|~η|>2P
~
τ|K(~ξ, ~η, τ )| 6 O(κ)[e−
1
2(m−O(1))|~ξ|], de forma que
N 6 X
|~η|=1
X
~τ
|K(~ξ, ~η, τ )| + O(κ)[e−12(m−O(1))|~ξ|].
Uma vez que min
~
τ |2~τ + ~η| = 1 para |~η| = 1, temos que
X
|~η|=1
X
~τ
|K (x1, x2; x3, x4) (~ξ, ~η, τ )| 6 O(κ).
De maneira similar, se |~η| = |~ξ| = 1 e ~ξ 6= ±~η, temos que X
~ τ
|K(~ξ, ~η, τ )| 6 O(κ)[e−12(m−O(1))].
Agora, consideremos o caso |~η| = |~ξ| = 1 e ~ξ = −~η. Podemos tomar ~ξ = −~η = ~e1.
Então temos P~τ|K(~e1, −~e1, τ )| 6 |K(~e1, −~e1, 0)| + O(κ2)[e−
1
2(m−O(1))], e pelo item b do
Lema I.3.3.E, vemos que X
~τ
|K(~e1, −~e1, τ )| 6 O(κ2)[e−
1
2(m−O(1))].
Finalmente, consideremos o caso |~η| = |~ξ| = 1 e ~ξ = ~η. Tomando ~ξ = ~η = ~e1, obtemos
P
~
τ|K(~e1, ~e1, τ )| 6 |K(~e1, ~e1, −~e1)| + O(κ2)[e−
1
2(m−O(1))], e novamente usando o Lema
I.3.3.E temos
X
~τ
|K(~e1, ~e1, τ )| 6 O(κ2)[e−1/2(m−O(1))].
Assim P|~η|=1P
~
τ|K (x1, x2; x3, x4) (~ξ, ~η, τ )| 6 O(κ)[e−1/2(m−O(1))|~ξ|], para |~ξ| = 0, 1.
Contornado o problema das distâncias pequenas, podemos mostrar que ˆM ˆDB
é tipo Hilbert-Schmidt, o que é estabelecido no lema abaixo.
Lema I.3.3.I k ˆM ˆDBkHS < O(κ
1
Demonstração - Do lema I.3.3.H, temos | ˆM (k0) ˆD B|2δHS 6O(1) X ~ ξ,~ζ e2(|~ξ|−|~η|) X ~ η6=~0 | ˆK(~ξ, ~η, k0)|2(1 − δ(~η))|~η|4 6O(1)κ2e2δP ~ ξe2|~ξ| X |~η|=1 X τ |K(~ξ, ~η, τ )| 2 +O(1)e2δX ~ ξ e−(m−O(1)−2δ)|~ξ|.
O último termo da inequação acima é majorado por O(1)e−2δ, já o primeiro termo do
lado direito é limitado superiormente por O(1)κ−2e−2δP ~ ξe2|~~ξ| P |~η|=1 P τ|K(~ξ, ~η, τ )| 2 6 R, onde R ≡ O(1)κ2e2δ X |~ξ|=0,1
O(κ2)[e−(m−O(1)−2δ)|~ξ|] +X
|~ξ|>2 O(κ)[e−(m−O(1)−2δ)|~ξ|] .
Mais ainda, vemos que R 6 O(1)e−2δ[1+O(1)e−1/2(m−O(1))] 6 O(1)e−2δ. Logo, das cotas
acima, temos que | ˆM (k0) ˆD
B(k0)|δHS < O(κ
1
8) uniformemente em −ik0 = χ ∈ (0, 2m).
Dos lemas I.3.3.G e I.3.3.I, para ℵ < 0 temos | ˆM ˆDL| < | ˆM ˆDA| + | ˆDB| <
O(κ14) + O(κ 1
8) < 1. Como discutimos no início desta Subseção, isto garante a
convergência da série de Neumann para (1 − ˆM ˆDL)−1, que por sua vez implica na
existência de ˆD(χ) para χ ∈ (m, 2m). Isso completa a parte a da Proposição I.3.5, uma vez que não temos estados ligados para ℵ = 0.
Agora passaremos a demonstração da parte b da Proposição I.3.5. A idéia é análoga a implementada para demonstrar o item parte a da proposição, exceto pelas cotas obtidas no Lema I.3.3.E. O lema abaixo modifica estas cotas, e fornece uma maneira natural para modificar os Lemas I.3.3.G e I.3.3.I, para o caso ℵ > 0.
Lema I.3.3.J Para κ suficientemente pequeno e para χ ∈ [mb + δγ, 2m), existe uma
constante positiva c tal que
a) | ˆDA(~ξ, ~η, k0)| < ℵ−1(1 + c−1)
b) | ˆDB(~ξ, ~η, k0)| < O(1)(1 + c−1)[1 − δ(~ξ)][1 − δ(~η)][1 + β−1|~η|2]
Demonstração -
(a) Novamente, da Eq. I.3.2.19 vemos que | ˆD0(~ξ, ~η, χ)| 6 ˆD0(~0,~0, χ). Mais ainda
temos que ˆD0(~0,~0, χ) é positiva e monotonicamente crescente. Chamemos I o
intervalo [mb+ δγ, 2m), então inf
χ∈I(ℵ ˆD0(~0,~0, χ) − 1) = ℵ ˆD0(~0,~0, mb+ δγ) − 1 ≡ c6,
uma vez que D0(~0,~0, χ) é crescente para χ abaixo da banda de duas partículas,
e escolhemos algum c < c6. Por enquanto, vamos supor que c > 0. Com esta
hipótese temos
| ˆDA(~ξ, ~η, χ)| 6 (ℵ ˆD0(~0,~0, χ) − 1)−1Dˆ0(~0,~0, χ) 6 ℵ−1(1 + c−1),
onde, para estabelecer a última desigualdade, usamos ˆD0(~0,~0, χ) = ℵ−1((ℵ ˆD0(~0,~0, χ)−
1) + 1) < c6.
(b) Da demonstração do item b do Lema I.3.3.E, temos que ˆ DB(~ξ, ~η, k0) = −ℵ(1 − ℵ ˆD0(~0,~0, k0))−1Dˆ0(~0,~0, k0)B(~ξ, ~η, k0), onde B(~ξ, ~η, k0) ≡ ˆD 0(~0,~0, k0)Φ(~ξ, ~η, k0) e |B(~ξ, ~η, k0)| 6 O(1)[1+β−1|~η|2]. Assim, | ˆDRa(~ξ, ~η, k0)| 6 (1 − ℵ ˆD0(~0,~0, k0))−1(1 − 1 + ℵ ˆD0(~0,~0, k0))|B(~ξ, ~η, k0)| 6 (1 + c−1)|B(~ξ, ~η, k0)|.
Para concluir a demonstração, resta demonstrar que de fato podemos tomar c > 0. Pra isso tomamos χ = 2m − ε e reescrevemos ℵ ˆD0(~0,~0, k0), substituindo a
decomposição da medida espectral dσ~p(E), dada no Lema I.3.2.A, na Eq. (I.3.2.19),
de maneira análoga ao feito na Subseção I.3.2.2. Com este procedimento, obtemos ℵ ˆD0(~0,~0, k0) ≡ Y1(κ, ε)+Y2(κ, ε)+Y3(κ, ε), onde Yi(κ, ε), i = 1, 2, 3 são as contribuições
de duas ou mais partículas, dadas na Eq. (I.3.2.22). Do Lema I.3.3.A, temos que Yi(κ, ε) > 0, e por outro lado ℵ ˆD0(~0,~0, k0) > Yi(κ, ε). Como discutido na Seção I.3.2
a contribuição dominante Y1(κ, ε), referente ao produto de duas contribuições de uma
partícula, é monotonicamente decrescente em ε e conjuntamente analítica nas variáveis κ e ε. Temos ainda, Y1(0, ε) = (1−eγ−ε), Y1(0, ε0) = 1. Assim,
c6 > Y1(0, ε0−δγ+O(κ))−1 = Y1(0, ε0−δγ)−Y1(0, ε0)+O(κ) = −∆Y1(0, ∆ε)+O(κ) ≡ c,
onde ∆Y1(0, δγ) = −(1 − γ)(1 − eδγ)(1 − (1 − γ)eδγ)−1 > 0 , logo c > 0 o que conclui a
demonstração.
Modelo de Quatro-Férmions:
Considerações Finais
“I may not have gone where I intended to go, but I think I have ended up where I needed to be. ”
Douglas Adams
Nesta primeira parte do trabalho, nós determinamos exatamente a parte inferior do espectro de energia-momento do modelo de Quatro-Férmions. Mostramos que o espectro de excitação deste modelo, contém, na região estudada, curvas de dispersão que são identificadas como partículas e estados ligados. Para tanto, desenvolvemos uma expansão em polímeros para o modelo e a usamos para se mostrar a existência das funções de correlação, e suas propriedades de analiticidade, no limite de volume infinito. De outro lado, mostramos que as funções de correlação do modelo obedecem a chamada positividade de Osterwalder-Schrader e como conseqüência existe uma teoria quântica de campos com tempo imaginário associada a este modelo. Em seqüência, usamos essa construção para definir o operador hamiltoniano e operadores de momento espacial, que comutam entre si, partindo, respectivamente, dos operadores de translação temporal e espacial na rede. Obtendo representações espectrais para funções de correlação dois e
quatro pontos adequadas, mostramos que a parte inferior do espectro destes operadores está relacionado as singularidades complexas destas funções de correlação. As funções de correlação do modelo são invariantes por várias transformações de simetria usuais da teoria quântica de campos e construímos, também uma transformação de Reflexão Temporal que se revela uma nova simetria do modelo. O uso destas simetrias implica em diversas propriedades espectrais para o modelo. Entre outras propriedades, com a simetria de conjugação de carga mostramos que o espectro da região de partículas e de anti-partículas é o mesmo. Mais ainda, com uma combinação de conjugação de carga, paridade e Reflexão Temporal mostramos que as propriedades espectrais associadas a partículas de spin +1
2 são as mesmas encontradas para partículas de spin − 1
2. Nesse
sentido, também é claro que as propriedades espectrais independem do isospin das partículas.
As singularidades das funções de correlação são obtidas por meio de um estudo detalhado das taxas de decaimento das funções de correlação. No subespaço de uma partícula, mostramos a existência de várias partículas de massa ≈ − ln κ. Já no subespaço de duas partículas encontramos diversos estados ligados próximos a banda de duas partículas livres, com energias de ligação de ordem 1. A existência destes estados ligados está associado ao sinal do parâmetro ℵ que indica a ocorrência de dominação Gaussiana no modelo. Para ℵ = 0 nenhum estado ligado é encontrado. Para ℵ > 0 (Subjulgação Gaussiana), os estados ligados aparecem abaixo da banda de duas partículas, de modo que temos um caso atrativo. Para ℵ < 0 (Dominação Gaussiana), os estados ligados aparecem acima da banda. O método utilizado para a detecção destes estados ligados é o desenvolvido para a análise da equação de Bethe-Salpeter na rede, que resolvemos em um primeiro momento em uma aproximação em escada para em seguida, através de um rigoroso controle de todas as contribuições do modelo, validar os resultados no modelo completo. Por fim, mostramos que estes resultados podem ser compreendidos no contexto de operadores de Schrödinger na rede.
Os resultados acima estendem para o caso puramente fermiônico os métodos desenvolvidos para o modelo de spins em Schor e O’Carroll [2000b,a] e Anjos, Veiga e O’Carroll [2005]. Aqui, devido ao fato dos campos fermiônicos serem operadores limitados, obtemos extensões meromórficas em regiões maiores do que as obtidas no caso bosônico (em particular no modelo de spins). Essa característica coloca
o modelo de Quatro-Férmions em uma posição especial para o desenvolvimento de novas ferramentas para a determinação de propriedades espectrais de modelos de teoria quântica de campos euclidianas na rede.
Nesse ponto existem várias questões que carecem de respostas claras. Em primeiro lugar, métodos para a obtenção de propriedades espectrais para regiões com mais partículas podem ser desenvolvidos. O conhecimento destas regiões do espectro de excitação do modelo de Quatro-Férmions, especialmente nas regiões de três, quatro, cinco e seis partículas, pode ampliar nossa intuição sobre o espectro de partículas para modelos de teoria quânticas de campo mais complexas, como é o caso da cromodinâmica quântica. De outro lado, expansões mais refinadas que a expansão de polímeros vêm sendo desenvolvidas (veja a Ref. Abdesselan e Rivasseau [1998] ) e podem permitir a construção de métodos para estender nossos resultados para uma região maior dos