Schlegel’s theory on the origin of language

Faz-se mister que o conceito de Fronteira Invertida (ou dupla envoltória), seja desenvolvido antes da apresentação dos resultados deste trabalho, pois o modelo proposto nesta pesquisa prevê a utilização do recurso. De acordo com Correia et al. (2011), modelos DEA clássicos, ou mesmo suas versões mais recentes, ainda apresentam um problema recorrente: fornecerem muitos empates entre as DMU avaliadas. A utilização da Análise Envoltória de Dados para o benchmarking já foi discutida anteriormente e, embora a aplicação dos modelos permita o ordenamento das unidades produtivas sem a necessidade da interferência dos gestores, mesmo assim há pouca rigidez no tratamento das DMU avaliadas. Mais especificamente, unidades tomadoras de decisão podem ser caracterizadas como benchmarks valendo-se apenas de algumas das variáveis, aquelas que lhes são mais benéficas. Sobre o tema, vale reproduzir o comentário de Rosano-Peña

et al. (2012):

As restrições implícitas nos modelos DEA permitem a total flexibilidade das ponderações imputadas aos insumos e produtos. Parte-se do princípio que as unidades avaliadas podem combinar produtos e insumos diferentemente, destacando suas melhores características, suas especializações, o que deve ser tomado em consideração na hora de avaliar suas eficiências. Assim, é possível a atribuição de peso nulo, marginalizando produtos ou insumos da determinação da eficiência, localizando um grande número de unidades na fronteira eficiente e reduzindo a capacidade discriminatória dos modelos. Quando a especialização em alguns produtos em detrimento de outros é indesejada, um dos métodos que permite uma melhor discriminação é a fronteira invertida.

Dessa forma, a ausência da discriminação mais precisa entre as DMU, causada pelo elevado número de empates entre as unidades 100% eficientes, justifica o interesse da literatura pelo desenvolvimento de métodos que mitiguem a problemática supracitada

escolha dos benchmarks, dado que estes seriam apenas as unidades produtivas mais eficientes dentro dos agrupamentos semelhantes, e não dentro de todo o espectro das unidades produtivas (TALLURI, 2000).

como, por exemplo, avaliações cruzadas, supereficiência, restrições diretas aos pesos e a fronteira invertida76_.

O conceito de Fronteira Invertida foi inicialmente desenvolvido por Yamada et al. (1994) e Entani et al. (2002). Esse método consiste em uma avaliação pessimista das DMU, por meio da inversão dos papeis entre inputs e outputs do modelo original. É possível compreender o conceito de duas formas: (i) a fronteira invertida é composta pelas DMU com as piores práticas gerenciais, sendo assim uma fronteira ineficiente; (ii) ou, seguindo o raciocínio inverso, as DMU pertencentes à fronteira invertida têm as melhores práticas sob uma ótica oposta (SOARES DE MELLO et al., 2005).

Segundo Leta et al. (2005), o trabalho de Angulo Meza et al. (2003) foi o pioneiro no uso da fronteira invertida com vistas a reduzir o problema do baixo poder discriminatório dos modelos DEA tradicionais. Nos últimos anos, buscando dar mais robustez aos resultados da modelagem DEA, o método da Fronteira Invertida teve várias aplicações práticas77_.

Portanto, o emprego da Fronteira Invertida permite a estimação de uma fronteira ineficiente (ou pessimista) a partir da combinação linear das piores práticas empiricamente observadas. Mais especificamente, de acordo com Silveira et al. (2012), as projeções das DMU na fronteira invertida sugerem algo como um anti-alvo, uma combinação linear de anti-benchmarks. Considerando um modelo DEA-CCR clássico com dois insumos e um produto, a figura abaixo mostra que os conjuntos de possibilidade de produção da DEA padrão e aquele gerado pela Fronteira Invertida são diferentes, assim como também são as suas avaliações.

76 _{Para uma revisão sobre os modelos de discriminação para DEA recomenda-se o trabalho de ANGULO}

MEZA, L.; LINS, M. P. E. Review of Methods for Increasing Discrimination in Data Envelopment Analysis. Annals of Operations Research, 116, 225-242, 2002.

77_{Por exemplo, Novaes (2002); Pimenta et al. (2003), Lins et al. (2005); Leta et al. (2005); Correia et al.}

Figura 2– Representação Bidimensional das Fronteiras Padrão e Invertida de um Modelo DEA

Fonte: Elaborado a partir de Entani et al. (2002).

Rosano-Peña et al. (2012) ressalta a importância de que as duas abordagens, otimista e pessimista, sejam ponderadas, haja vista que, consideradas apenas individualmente, poderiam gerar resultados enviesados. Dessa forma, a fronteira pessimista pode ser utilizada em conjunto com a fronteira de eficiência calculada pelo modelo DEA padrão, a fim de gerar um índice composto de eficiência. Embora não exista consenso sobre qual seria a formulação adequada para o índice composto das fronteiras otimista e pessimista, a maior parte dos trabalhos segue a formulação descrita abaixo78_.

𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 =𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜+(1−𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎₂ 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎) (15)

O Índice de eficiência composta, empregado por Leta et al. (2005), é calculado a partir da média aritmética entre a eficiência padrão (otimista) e o valor obtido da subtração da eficiência invertida (pessimista) pela unidade, conforme exposto em (15). A ótica da DEA padrão e aquela pessimista constroem fronteiras DEA, só que mutuamente invertidas. Ainda, o índice de eficiência composta pode ser normalizado por meio da formulação dada em (16).

𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎∗ _{𝑚á𝑥(𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎}𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎_{𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎)} (16)

78 _{Esta mesma formulação foi empregada também por Soares de Mello et al. (2003; 2008), Silveira et al.}

Uma das principais vantagens de se aplicar a Fronteira Invertida associada à fronteira de eficiência padrão é resolver um problema típico da DEA, qual seja, unidades analisadas serem consideradas eficientes (escore de 100%) mesmo não atribuindo peso maior que zero a vários multiplicadores. A ideia de maximização do índice de eficiência composta exige que a DMU tenha um desempenho satisfatório em se tratando da fronteira otimista (padrão) e, ao mesmo tempo, um desempenho ruim na fronteira pessimista (invertida).

Dito de outra maneira, a aplicação do método da Fronteira Invertida impõe o mesmo grau de relevância à avaliação otimista e pessimista. Além de um bom resultado nas variáveis que lhe são favoráveis, a DMU tem que se sair mal no critério em que for pior79_{. Assim, o escore de eficiência final (composta) irá considerar todas as variáveis}

(SOARES DE MELLO et al., 2003).

O método da Fronteira Invertida é de aplicabilidade quase universal, desde que não haja uma hipótese permitindo que as DMU em análise se especializem em algumas tarefas80_{. Diante do exposto, o presente trabalho utilizará a técnica da Fronteira Invertida,}

a fim de dar maior robustez aos resultados encontrados pelo modelo DEA padrão, evitando assim que DMU sejam consideradas benchmarks apenas por benevolência do cálculo empregado ou por default81_.