On the conflict between reason and faith in late 18 th century Germany. The pantheism controversy

A derivação do Problema de Programação Linear (PPL) a ser resolvido pela Análise Envoltória de Dados baseia-se no trabalho seminal de Charnes et al. (1978)71_{. A}

partir do conceito básico de produtividade (razão entre produto e insumos), o escore de eficiência _{(𝜃), na presença de múltiplos insumos e produtos, é representado pela razão} abaixo.

𝐸𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝜃) = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑠_{𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡𝑠}

Assumindo que ‘n’ é o número total de DMU, cada uma com um número ‘s’ de

outputs e ‘i’ de inputs, o seu escore de eficiência relativa é o valor máximo assumido pela

razão entre a soma ponderada dos outputs produzidos (s) e a soma ponderada dos inputs utilizados na produção (i), sujeito à condição de que esta razão seja menor ou igual a um, para todas as n unidades produtivas (DMU); e também que todos os elementos referentes

71 _{Portanto, por ser baseado em Charnes et al. (1978), o problema de otimização descrito neste capítulo –}

cuja solução é dada pela DEA – assume a hipótese de Retornos Constantes de Escala (Modelo CCR ou CRS). Para maiores detalhes sobre a formulação do Problema de Programação Linear considerando um DEA com Retornos Variáveis de Escala, ver Banker et al (1984).

aos pesos sejam não negativos72 _(𝑣

𝑟 ∈ 𝔑+𝑚; 𝑢𝑖 ∈ 𝔑+𝑠). Portanto, a medida de eficiência

para uma DMU (p) qualquer pertence ao intervalo fechado e contínuo [0,1], atingindo o máximo em um.

Algebricamente, o escore de eficiência relativa (_{𝜃) para a DMU (𝑝) é obtido} mediante a solução do seguinte problema de otimização descrito a seguir.

𝑚𝑎𝑥ℎ𝑝 = ∑ 𝑢𝑟 𝑠 𝑟=1 𝑦𝑟𝑝 ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑝 (1) Sujeito a ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑦𝑟𝑗 ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗 ≤ 1𝑗 = 1, … , 𝑛. (2) 𝑣𝑟, 𝑢𝑖 ≥ 0; ∀𝑟, 𝑖 (3) 𝑟 = 1, … , 𝑠; 𝑖 = 1, … , 𝑚. onde: 𝑣𝑖 é 𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑖𝑛𝑝𝑢𝑡 𝑖; 𝑢𝑟 é 𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑟; 𝑦𝑟𝑝 é 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝐷𝑀𝑈 𝑝; 𝑥𝑖𝑝 é 𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑚𝑜 𝑖 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝐷𝑀𝑈 𝑝.

A equação (1) descreve um Problema de Programação Fracionária (PPF), cujo dual é representado abaixo.

𝑚𝑖𝑛𝑓𝑝 = ∑ 𝑣𝑖𝑥𝑖𝑝 𝑚 𝑖=1 ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑦𝑟𝑝 (4) Sujeito a

72_{Originalmente, a equação (3) apresentava a condição de não negatividade dos pesos. Porém, em 1979, os}

autores publicaram uma comunicação na qual havia uma modificação do modelo original substituindo a condição de não negatividade dos pesos pela condição de estrita positividade, já que apenas a não negatividade poderia enviesar os resultados. Além disso, a positividade se justificaria porque o modelo assume que todos os recursos e produtos têm valor positivo. (CHARNES et al, 1979). Não obstante, neste trabalho opta-se por seguir a versão original do trabalho, pois desenvolvimentos do modelo mostraram que assumir a positividade estrita faria com que o Problema de Programação Fracionário (PPF) de maximização deixasse de ser bem definido. (BOYD, G; FARE, R. Measuring the Efficiency of Decision Making Units: A comment, European Journal of Operational Research, vol. 15, nº 03, PP. 331-332,1984).

∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗

∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑦𝑗 ≥ 1𝑗 = 1, … , 𝑛. (5)

𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 0 ∀𝑟, 𝑖 (6)

O problema de programação fracionária (PPF) representado pela equação (1) pode ser convertido em um problema de programação linear (PPL) equivalente73_{, do tipo}

representado pela equação (7).

𝑚𝑎𝑥𝑧𝑝= ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑦𝑟𝑝 (7)

Sujeito a

∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑝 = 1 (8)

∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑦𝑟𝑘− ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑘 ≤ 0 ∀𝑘 (9)

𝑣𝑟, 𝑢𝑖 ≥ 0 ∀𝑟, 𝑖 (10)

A função objetivo é representada pela equação (7) e busca maximizar a eficiência da DMU (p) em análise, de forma linearizada. Em relação às restrições, aquela representada por (8) exige que o input virtual seja unitário, evitando assim o problema da multiplicidade de soluções ótimas do PPF (1) original da DEA; a segunda e terceira restrições (8) e (9), respectivamente, representam a linearização das restrições dadas por (2) e (3) no Problema Fracionário original, exigindo que a eficiência de todas as DMU, quando lhes forem aplicados os pesos da DMU (p) em análise, não possa ser superior a um (CORREIA et al., 2011).

O problema descrito pela equação (7) é resolvido n vezes, a fim de determinar o escore de eficiência relativa para todas as DMU. Cada DMU seleciona o peso dos seus inputs e outputs de modo a maximizar o seu escore de eficiência (i.e, a própria função objetivo), sendo então considerada eficiente apenas quando – e se – aquele escore é igual a um. É possível, portanto, elencar uma das primeiras vantagens do modelo DEA, a não exigência de que se atribuam arbitrariamente pesos relativos às variáveis da função objetivo, dado que estas variáveis são automaticamente calibradas pela DEA.

73 _{Para maiores detalhes sobre o procedimento realizado para a conversão do Problema de Programação}

Considerando que (7) é um Problema de Programação Linear (PPL), existe um dual cuja formulação é dada pela equação (11). Para cada DMU ineficiente, a DEA identifica um conjunto correspondente de DMU eficientes que podem ser utilizadas como referência para o aprimoramento das unidades ineficientes. As referências, ou

benchmarks, podem ser obtidas pela solução do dual do PPL da equação (7). O dual do

PPL é dado por: 𝑚𝑖𝑛𝑔𝑝 = ∑𝑚𝑖=1𝜔𝑖𝑥𝑖𝑝 (11) Sujeito a − ∑𝑠𝑟=1𝜇𝑟𝑦𝑟𝑗+ ∑𝑚𝑖=1𝜔𝑖𝑥𝑖𝑗 ≥ 0𝑗 = 1, … , 𝑛. (12) ∑𝑠𝑟=1𝜇𝑟𝑦𝑟𝑝= 1 (13) 𝜇𝑟, 𝜔𝑖 ≥ 0 ∀𝑟, 𝑖 (14)

Para obter os valores ótimos de _𝑔𝑝∗ _{e 𝑓}

𝑝∗ e os pesos 𝑢𝑖∗, 𝑣𝑟∗ ≥ 0,a DEA exige apenas

que se resolva o dual do PPL, conforme apresentado nas equações acima. A solução do problema determina quais são as melhores práticas observadas que tomam o valor de 𝑔𝑝 = 1 ou 100%, formando a fronteira eficiente. Além disso, calcula-se o nível de

ineficiência das demais DMU por meio da distância entre estas e a fronteira estimada. Baseado no problema descrito em (11), uma DMU (p) qualquer é ineficiente se for identificada uma DMU composta74_{, chamada de (h), que utiliza uma menor}

quantidade de inputs que a DMU (p), mantendo, pelo menos, os mesmos níveis de produção. As unidades envolvidas na construção daquela DMU composta (h) podem ser utilizadas como benchmarks para o aperfeiçoamento das DMU ineficientes. A Análise Envoltória de Dados também permite calcular as melhorias necessárias nos insumos e/ou produtos de uma DMU ineficiente, a fim de torná-la eficiente.

O benchmarking promove a identificação de DMU ineficientes, embora exista certa limitação no método75_{. Como bem ressalta Talluri (2000), a Análise Envoltória de}

74 _{Representa uma DMU composta por uma combinação linear de outras DMU de um mesmo conjunto,}

cujas unidades produtivas integrantes podem servir de benchmark para as DMU ineficientes.

75_{Segundo a literatura especializada em DEA, é possível que uma DMU ineficiente e seus benchmarks}

divirjam quanto às práticas operacionais, tornando-se, nesse caso, não comparáveis. A razão para esse resultado indesejado é que a DMU composta, que domina àquela ineficiente, na realidade não existe. Uma possível solução é o agrupamento das DMU, com base no seu desempenho, buscando dar mais robustez à

Dados serve, inicialmente, apenas como ferramenta para o diagnóstico da eficiência, não possuindo a capacidade de determinar qual caminho deve ser seguido se objetivo é transformar DMU ineficientes em eficientes. A implementação de possíveis melhorias ficará a cargo dos gestores, ao compreender a relação entre as unidades produtivas e dentro da unidade produtiva.