Na literatura econômica, Barro e Sala-i-Martin (2004) e Acemoglu (2009) sustentam que os retornos da educação, aliados aos anos de escolaridade (utilizados como base de mensuração do Índice de Capital Humano) são uma medida sugestiva de crescimento e desenvolvimento econômico.
Assim, para aferir o comportamento e o impacto da abertura comercial, do crescimento do PIB e do estoque de capital sobre o Índice de Capital Humano, adotou-se como fundamento teórico um modelo de dados em painel estimado pelo Método dos Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E) com variáveis instrumentais para efeitos fixos e aleatórios.
O Método dos Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E) pode ser aplicado em equações simultâneas, como, por exemplo, a oferta e demanda de certo bem. Gujarati e Porter (2011) destacam que a ideia básica do MQ2E é substituir a variável explicativa endógena por uma combinação linear das variáveis predeterminadas no modelo e utilizar essa combinação como a variável explanatória em vez da variável endógena original. Assim como o Método de Variáveis Instrumentais, é uma tentativa de correção do problema de endogeneidade de variáveis explicativas do modelo, pois a combinação linear das variáveis predeterminadas serve como “instrumento” ou proxy para o regressor endógeno.
Inicialmente deve-se construir a matriz de instrumentos Z. As variáveis que são exógenas serão consideradas instrumentos delas mesmas. Isso feito passa-se aos estágios do MQ2E. No primeiro estágio, deve-se regredir cada variável explanatória do modelo estrutural em função dos instrumentos (estimação das formas reduzidas) e gerar uma matriz de valores ajustados em cada uma das regressões; no segundo estágio, deve-se estimar o modelo para a variável resposta em função dos valores obtidos para os regressores.
Para os fins do presente estudo, e de acordo Maddala (2003), a não utilização do Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) se deve ao fato de as variáveis explicativas serem relacionadas ao termo de erro. A estimação do modelo pelo MQ2E, em vez do MQO, se baseia pelo fato da maior consistência de seus estimadores, possibilitada pela utilização do método das variáveis instrumentais.
Wooldridge (2013) define que as variáveis instrumentais devem ter duas propriedades: (1) devem ser exógenas (não determinadas no próprio modelo), ou seja, devem ser não correlacionadas com o termo de erro da equação estrutural; (2) devem ser
correlacionadas com a variável explicativa endógena. Acrescenta que encontrar uma variável com essas duas propriedades é, normalmente, desafiador. Maddala (2003) expõe que as Variáveis Instrumentais são algumas variáveis que “estão por perto”, isto é, cujos dados são disponíveis, mas não pertencem à equação original.
Os Modelos com Variáveis Instrumentais são um método caracterizado pela consistência dos estimadores quando o termo de erro e a variável explicativa são correlacionados. Nesta hipótese, o método dos Mínimos Quadrados Ordinários fornece estimadores viesados e inconsistentes.
A variável instrumental (Z), ou instrumento, para ser válida, deve ser correlacionada com a variável explicativa e não ser correlacionada com o termo de erro da equação original.
Por meio das variáveis instrumentais, pode-se isolar a parte da variável explanatória que não está correlacionada com o termo de erro, sendo possível a obtenção de estimadores consistentes e não viesados dos parâmetros da regressão. O modelo é dado por:
= + + ... + + ... + W ⋯ + , (4.3.1.1)
onde ,.... representam i variáveis explicativas endógenas (correlacionadas com o termo de erro); e W ... representam os n regressores exógenos (não correlacionados com o termo de erro).
Os parâmetros do modelo são estimados pelo MQ2E. No primeiro estágio, realiza-se a regressão de cada uma das variáveis que estão correlacionadas com o erro sobre as variáveis instrumentais e sobre as variáveis que não estão correlacionadas com o erro. Assim, as variáveis endógenas (X) serão as variáveis “resposta” e as variáveis instrumentais (Z) e exógenas (W) são as variáveis explicativas. Assume a seguinte estrutura:
= + + ... + + ... + W ⋯ + (4.3.1.2)
No primeiro estágio, estimam-se os parâmetros da equação (4.3.1.2) por MQO. Após o cálculo desses parâmetros, pode-se obter os valores previstos ( , para cada variável endógena, a partir da seguinte estrutura:
No segundo estágio, realiza-se a regressão da equação do modelo de variáveis instrumentais, sendo que as variáveis endógenas são trocadas pelos seus valores estimados, calculados no primeiro estágio. Assim, a estrutura equação do segundo estágio será:
= + + ... + + ... + W ⋯ + , (4.3.1.4)
Dentre os métodos mais comuns para estimar modelos de dados em painel com efeitos não observados estão as estimações por efeitos fixos e efeitos aleatórios.
Wooldridge (2013) expõe que pela estimação por efeitos fixos utiliza-se a transformação para remover o efeito não observado antes da estimação. Quaisquer variáveis explanatórias presentes no tempo são removidas com . Também designada pela transformação de efeitos fixos (transformação intragrupo), assim representada:
= + + , , , … , . (4.3.1.5)
Especifica-se a média da equação ao longo do tempo por:
= ̅ + + (4.3.1.6)
Como o efeito fixo aparece em (4.3.1.6) e em (4.3.1.5), ao se subtrair (4.3.1.6) de (4.3.1.5), obtém-se:
( ̅ , , , … , . (4.3.1.7)
ou
, , , … , . (4.3.1.8) Na equação (4.3.1.8), verifica-se que o efeito não observado desapareceu. Contudo, se for não correlacionado com , é tecnicamente mais adequada a utilização do estimador por efeitos aleatórios.
O estimador que usa a variação entre as observações ignora informações importantes sobre como as variáveis mudam ao longo do tempo.
A adição de mais variáveis explicativas à equação provoca poucas alterações. O modelo de efeitos não observados original é:
Note-se que sob uma hipótese de exogeneidade estrita das variáveis explicativas, o estimador de efeitos fixos é não viesado. Assim, o erro idiossincrático (clássico) deve ser não correlacionado com cada variável explicativa ao longo de todos os períodos de tempo.
O estimador de efeitos fixos leva em conta uma correlação arbitrária entre e as variáveis explicativas em qualquer período de tempo. Deste modo, qualquer variável explicativa que seja constante ao longo do tempo para todo i é removida pela transformação de efeitos fixos: = 0, para todo i e t, se for constante ao longo de t.
Em síntese, o estimador de efeitos fixos é eficiente quando os erros idiossincráticos são serialmente não correlacionados (como também homoscedásticos), e não elaboramos nenhuma hipótese sobre a correlação entre o efeito não observado e as variáveis explicativas. Assim, como na primeira diferença, qualquer variável explicativa constante no tempo é eliminada pela análise.
Segundo Wooldridge (2013), o efeito não observado é não correlacionado com todas as variáveis explicativas. Tendo-se bons controles na equação, pode-se crer que qualquer resto de heterogeneidade que tenha sido negligenciada induz correlação serial somente no termo de erro composto, mas não causa correlação entre os erros compostos e as variáveis explicativas.
Tendo como base o mesmo modelo de efeitos não observados, como anteriormente, temos:
= + + ... + + , (4.3.1.10)
Em que, explicitamente, inclui-se um intercepto de maneira que se possa presumir que o efeito não observado, , tem média zero.
Assim, ao usar efeitos fixos, a meta é eliminar , porque ele supostamente estará correlacionado com um ou mais dos . Supondo como sendo não correlacionado com cada variável explicativa em todos os períodos de tempo, o uso de uma transformação para eliminar resultará em estimadores ineficientes.
A equação (4.3.1.10) torna-se um modelo de efeitos aleatórios quando ao se presumir que o efeito não observado é não correlacionado com cada variável explicativa, ou seja:
Portanto, os pressupostos aplicáveis aos efeitos aleatórios incluem todas as hipóteses próprias dos efeitos fixos mais o requisito adicional de que seja independente de todas as variáveis explicativas, em todos os períodos de tempo.
Caso assuma-se que o efeito não observado seja correlacionado com as variáveis explicativas, deve-se usar os efeitos fixos.