A partir de uma abordagem que poderíamos chamar de fisiológica proposta por Lettvin, Marurana, McCulloch e Pitts (1959 apud RADFORD, 2010b), Radford destaca que o ser humano, com um sistema visual consideravelmente complexo, é capaz de discernir uma enorme quantidade de similaridades e diferenças nas mais diversas situações. Sem essa
15 (…) those social processes through which the students grasp the cultural logic with which the objects of knowledge have been endowed and become conversant with the historically constituted forms of action and thinking (RADFORD, 2009, p. 5 e 6).
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The objectification of the mathematical structure behind a pattern that was mediated by words and gestures may be deepened by an activity mediated through other types of signs (RADFORD, 2010a, p. 45).
capacidade de distinção, a formação de conceitos seria simplesmente impossível de ser realizada e o mundo diante de nós estaria reduzido a um amontoado de fatos singulares:
tudo seria diferente de tudo mais e seria impossível de se imaginar semelhanças entre as coisas. Não seríamos capazes de generalizar, pois, como Kant (1800/1974) afirmou, a generalização baseia-se em sintetizar
semelhanças entre coisas diferentes, assim como, diferenças entre coisas
semelhantes17
(RADFORD, 2010b, p. 2, tradução livre das autoras).
Porém, saindo desse campo, o autor destaca que a experiência visual, assim como todas as demais experiências sensoriais, está susceptível ao contexto social. Nesse sentido, o que vemos não são, puramente, imagens físicas da matéria ou ações e fatos isolados e descontextualizados. Pelo contrário, o que enxergamos é ‘resultado de estímulos já filtrados por significados e informações sobre objetos e eventos no mundo – significados expressos pela linguagem e outros sistemas semióticos culturais’18
(RADFORD, 2010b, p. 2, tradução livre das autoras).
Em vista disso, a percepção e a generalização de objetos concretos e eventos ocorrem por meio de um processo mediado por artefatos culturais moldados por nossas práticas históricas. Portanto, existem incontáveis maneiras de abstrair e generalizar aquilo que é captado por nossos sentidos e filtrado pela nossa cultura, pois, ‘no curso de nosso desenvolvimento ontogenético, os sentidos e o nosso conhecimento vêm sendo moldados de maneira histórica, à medida que nos envolvemos em práticas socioculturais19
(RADFORD, 2010b, p. 2, tradução livre das autoras).
No campo da Educação, a busca pelo entendimento das maneiras sociais através das quais percebemos e generalizamos os fatos e objetos é um tema que tem recebido considerável atenção dos pesquisadores. Radford (2010b) afirma que, nos últimos anos, no campo da Educação Matemática, em particular, o processo de generalização de sequências elementares por estudantes de diversos níveis tem despertado cada vez mais o interesse dos estudiosos da área.
17(…) everything would be different from everything else and resemblances between things would be impossible to imagine. We would not be able to generalize, for as Kant (1800/1974) contended, generalization rests on synthesizing resemblances between different things and also differences between resembling things (RADFORD, 2010a, p. 2).
18(…) what we see is not the result of direct inputs but of stimuli already filtered by meanings and information about objects and events in the world – meanings conveyed by language and other cultural semiotic systems (RADFORD, 2010b, p. 2).
19
In the course of our ontogenetic development, the senses and our understandings become shaped in certain historically formed ways as we engage in sociocultural practices (RADFORD, 2010b, p. 2).
Assim, a forma como os estudantes percebem os termos dados de uma sequência e encontram um modo cultural de generalizá-los tem merecido destaque nas pesquisas. Segundo Radford (2010b), a análise dos procedimentos dos estudantes pode trazer alguma luz acerca do tipo de pensamento necessário para realizar esse tipo de tarefa e sua relação com o pensamento algébrico. Logo, assim como nem toda simbolização é algébrica, nem toda atividade envolvendo padrões e sequências conduz/promove o desenvolvimento do pensamento algébrico. Mais precisamente, nem toda generalização pode ser considerada como algébrica.
Segundo o autor, em uma sequência, ‘a apreensão de uma regularidade é a formação do que, na terminologia Aristoteliana, é chamado de gênese (...) que resulta de uma abstração, exigindo que os estudantes façam distinções entre o que é similar e o que é diferente nos termos dados de uma sequência’20 (RADFORD, 2011, p. 307, tradução livre das autoras). Em outras palavras, é em virtude da gênese que verificamos algum sentido para que vários termos estejam juntos ou agrupados formando uma sequência.
Porém, o autor defende que apenas a identificação da gênese de uma sequência e seu uso para estendê-la para termos vizinhos além dos termos dados, bem como para identificar se um termo pertence ou não à sequência, não podem ser considerados o resultado de um processo algébrico.
De fato, segundo Radford (2010a), quando os alunos apreendem uma regularidade nos termos dados de uma sequência, mas não a utilizam para a elaboração de uma regra que lhes permita encontrar qualquer termo dessa sequência, eles ainda não estão trabalhando em um campo algébrico. Na verdade, nesse caso, eles trabalham no campo aritmético e, portanto, uma generalização desse tipo é considerada pelo autor como uma generalização aritmética.
Para ele, ainda que tal processo seja extremamente complexo, pode não haver características algébricas nele. De forma mais clara, o pesquisador argumenta que
De fato, perceber o que é realmente comum e característico nos termos de uma sequência ou em um conjunto de objetos é um aspecto central da formação de conceito. (...) tais fatos desempenham um papel importante na emergência das ideias algébricas nos estudantes, mas não é, por si só, o resultado de um processo algébrico. Na verdade, encontrar um traços semelhantes nos termos de uma sequência ou de um conjunto de objetos não
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The grasping of the commonality is the formation of what, in Aristotelian terminology, is called a genus, (…) results from an abstraction that requires the students to make distinctions between what is similar and what is different in the given terms of the sequence (RADFORD, 2011, p. 307).
é uma habilidade específica dos humanos. De fato, Sue Savage-Rumbaugh e sua equipe, bem como outros pesquisadores do campo da cognição animal, verificaram que chimpanzés (e aves também) podem distinguir entre vários tipos de objetos – classificando-os como “comestíveis” e “não comestíveis”’21 (RADFORD, 2011, p. 308, tradução livre das autoras).
Portanto, não é porque os chimpanzés são capazes de perceber regularidades ou semelhanças em um conjunto de objetos que podemos afirmar que eles estão pensando algebricamente. Da mesma forma, o fato de nossos estudantes conseguirem perceber uma regularidade e estender uma sequência além dos termos dados não é suficiente para concluirmos que eles já estão pensando algebricamente, visto que ‘a generalização não é específica da álgebra. A generalização é um traço geral típico da cognição humana e animal e que pode ser de natureza diversa – aritmética, geométrica ou outra’22 (RADFORD, 2011, p. 308, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, concordamos com o autor que, dentre as formas de generalização, nem todas são algébricas. Em particular, em alguns casos, temos o raciocínio indutivo, ainda que esse raciocínio seja expresso com símbolos considerados no campo da matemática como algébricos.
Para melhor entendimento do que Radford (2010a) chamou de raciocínio indutivo, abordaremos novamente o exemplo da atividade com uma sequência de círculos dispostos em duas linhas, trabalhada por ele e sua equipe com uma turma de alunos com idade igual a 14 ou 15 anos23
– figura 1.
Segundo o autor, para encontrar uma expressão que representasse o termo geral da sequência, alguns grupos de alunos propuseram regras como “vezes 2 mais 1”, “vezes 2 mais 2” ou “vezes 2 mais 3” e foram checando a sua validade para alguns termos da sequência. Seguindo essa lógica, os integrantes de um dos grupos, ao apresentarem a expressão ‘n x 2(+3)’ como solução, foram solicitados a explicar como eles haviam encontrado tal regra. A
21Indeed, noticing what is really common and characteristic of the terms of a sequence or set of objects is a central aspect of concept formation. (…) it plays an important role in the emergence of the students’ first algebraic ideas, but is not itself the result of an algebraic process. In fact, finding a characterizing attribute of the terms of a sequence or a set of objects is not specific to humans. Indeed, Sue Savage-Rumbaugh and her team as well as other researchers in the field of animal cognition have established that chimpanzees (and birds too) can distinguish between several sorts of objects—classing them as “edible” and “inedible” (RADFORD, 2011, p. 308).
22
Generality is not specific to algebra. Generality is a typical general trait of human and animal cognition and can be of diverse nature—arithmetic, geometric or other (RADFORD, 2011, p. 308).
resposta apresentada por eles foi que a fórmula havia sido encontrada ao acaso.
Em vista disso, as regras e fórmulas encontradas pelos alunos por meio de tentativa e erro são consideradas pelo autor heuristicamente diferentes daquelas obtidas através da percepção de características comuns em figuras dadas e extensão de tais características às demais figuras da sequência. O primeiro procedimento baseia-se em uma regra que é formada a partir de “chutes”, que, como já citado acima, o autor considera um tipo de indução, classificada por ele como ingênua, a fim de distingui-la de outros tipos de indução mais sofisticados. O segundo procedimento ‘sugere um dos traços que pode constituir o cerne da generalização de um padrão, que se trata da capacidade de perceber algo geral no particular’24 (RADFORD, 2010a, p. 42, tradução livre das autoras).
Como exemplo do segundo procedimento, o autor mostra uma resolução apresentada por outro grupo de alunos na mesma atividade abordada acima:
os estudantes buscaram uma regularidade nas figuras dadas. Mel, por exemplo, escreveu: “A linha de cima sempre tem um círculo a mais que o número da figura e a linha de baixo sempre tem dois círculos a mais que o número da figura”. A fórmula de Mel foi: (n + 1) + (n + 2)25 (RADFORD, 2010a, p. 41, tradução livre das autoras).
Porém, Radford (2010a), apoiando-se em Kieran, mais uma vez afirma que somente esse traço pode não ser o suficiente para caracterizar a generalização algébrica de padrões. Além de perceber o geral no particular, deve-se ser capaz também de expressar tais descobertas algebricamente, pois, segundo Kieran apud Radford (2010a), pensar algebricamente é mais do que pensar sobre o geral. ‘É pensar sobre o geral ou o generalizado de um modo que o torne indistintivamente algébrico em sua forma de raciocinar e em sua forma de expressão26
’(RADFORD, 2010a, p. 42, tradução livre das autoras). Nesse sentido,
a generalização algébrica de um padrão está baseada em uma capacidade de apreender um traço semelhante em alguns elementos de uma sequência S, estando consciente de que essa semelhança aplica-se a todos os termos de S e sendo capaz de usá-la para encontrar uma expressão direta de qualquer termo
24 (…)
suggests one of the traits that may constitute the core of the generalization of a pattern, namely the capability of noticing something general in the particular (RADFORD, 2010a, p. 42).
25(…) the students searched for a commonality in the given figures. Mel, for instance, wrote: “The top line always has one more circle than the number of the figure and the bottom line always has two circles more than the number of the figure.” Mel’s formula was: (n +1) + (n + 2) = (RADFORD, 2010a, p. 41).
26
It is to think about the general or the generalized in a way that makes it distinctively algebraic in its form of reasoning as in its expression (RADFORD, 2010a, p. 42).
de S.27 (RADFORD, 2010a, p. 42, tradução livre das autoras).
Dessa forma, o simples fato de os estudantes generalizarem uma semelhança local observada em algumas figuras dadas, sem serem capazes de usar tal informação para definir uma regra geral que lhes possibilite encontrar qualquer termo da sequência, não constitui, necessariamente, uma generalização algébrica.