Para Radford (2011), os estudantes podem ingressar no estudo da Álgebra independentemente de conhecerem ou terem familiaridade com a linguagem algébrica padrão. Essa afirmação faz sentido se considerarmos a álgebra como uma forma particular de pensamento que, ao invés de ser caracterizada por símbolos alfanuméricos, está mais relacionada com uma maneira específica usada para atender aos objetos – indeterminados - do discurso. Nas palavras do autor, ‘essa maneira distinta de ser do pensamento algébrico pode ser definida, no terreno epistemológico, por indeterminação e analiticidade. Esses dois elementos são o que fazem o pensamento algébrico diferente do aritmético e de outras formas de pensamento’28
(RADFORD, 2011, p. 311, tradução livre das autoras).
A indeterminação e a analiticidade podem ser tratadas de várias formas, visto que o pensamento algébrico pode operar em diferentes níveis de generalidade, alguns mais concretos, outros mais abstratos. Dessa forma, apresentaremos tais níveis de generalidades observados por Radford (2011) e suas respectivas caracterizações.
1. Generalização Factual
A generalização factual é uma generalização algébrica que
ocorre dentro de um nível elementar de generalização – na qual o universo do discurso não vai além de figuras particulares (...). Esse nível de generalidade é mais do que um nível de ação: a gênese da sequência leva à formação de um esquema que opera em números particulares (...). Em outras palavras, na generalização factual, a indeterminação – a primeira característica do pensamento algébrico mencionada inicialmente – não atinge o nível do
27 Generalizing a pattern algebraically rests on the capability of grasping a commonality noticed on some
elements of a sequence S, being aware that this commonality applies to all the terms of S and being able to use it to provide a direct expression of whatever term of S (RADFORD, 2010a, p. 42).
28 This distinctive manner of being of algebraic thinking can be defined, on epistemological grounds, by indeterminacy and analyticity. These two elements are what make algebraic thinking different from arithmetic and other forms of thinking (RADFORD, 2011, p. 311).
discurso: ela é expressa em ações concretas29 (RADFORD, 2010a, p. 47, tradução livre das autoras).
Apesar de sua natureza aparentemente concreta, o pensamento algébrico factual, que se desenvolve nesse processo de generalização, não consta como uma forma simples de raciocínio. Para compreender melhor, retomaremos o exemplo apresentado na figura 3 (p. 30 da presente pesquisa).
A primeira tarefa dos alunos (com idade igual a 7 ou 8 anos) foi desenhar as figuras 5 e 6 dessa sequência. A segunda tarefa, que no momento mais nos interessa, foi elaborada com o intuito de que os estudantes sentissem a necessidade de encontrar um procedimento geral que lhes permitisse descobrir o número de quadradinhos em qualquer termo de tal sequência.
Para tanto, os alunos foram convidados a considerar as figuras nas posições 25 e 50. Vale ressaltar que pedir aos estudantes para considerar os termos 25 e 50 estava longe de ser trivial, visto que o conhecimento aritmético da turma em questão, de acordo com Radford (2011), ainda era bem limitado. De forma mais clara, embora eles tivessem alguma familiaridade com números grandes, eles ainda não faziam adições com números maiores que 25.
Nesse sentido, ao se propor uma atividade baseada no limite do conhecimento aritmético dos estudantes, o objetivo era promover a emergência do pensamento algébrico, pois o importante não era o resultado numérico em si, mas o caminho que os alunos iriam escolher/construir para elaborar uma regra ou método de cálculo para encontrar o número de quadradinhos em tais posições.
Segundo o autor, a questão foi prontamente respondida. Uma das alunas, Cindy, argumentando sobre a figura 12, disse: “12 mais 12, mais 1”. Analogamente, voltando-se para a figura 25, Erica disse:
Erica: Cindy! Um... Tudo bem, quanto é 25 mais 25? Cindy: (Pensando) Euh...
Erica: (Sorrindo) Depois disso, você adiciona um!
29 (…)
this generalization occurs within an elementary layer of generality —one in which the universe of discourse does not go beyond particular figures (…). This layer of generality is rather the layer of action: The genus of the sequence leads to the formation of a schema that operates on particular numbers (…). Another way to say this is that in factual generalizations, indeterminacy —the first characteristic of algebraic thinking mentioned at the beginning— does not reach the level of enunciation: it is expressed in concrete actions (RADFORD, 2010a, p. 47).
Segundo Radford (2011), para encontrar o número de quadradinhos na figura 12, as estudantes não a construíram termo a termo. Elas realizaram uma generalização que ele considerou como algébrica, apesar de não haver o uso de uma notação simbólica para expressá-la, pois
o uso de notação (ou seja, o sombolismo alfanumérico) não é uma condição necessária e suficiente para pensar algebricamente. O pensamento algébrico não se refere ao uso ou não de notações, mas se refere a raciocinar de certo modo. O que caracteriza o pensamento como algébrico é que ele lida com quantidades indeterminadas concebidas em modos analíticos. Em outras palavras, você considera as quantidades indeterminadas (ou seja, incógnitas ou variáveis) como se as conhecesse e realiza cálculos com elas como você faz com números30 (RADFORD, 2011, p. 310, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, ‘a indeterminação está presente através de instâncias da variável independente – ou seja, o número da figura (“1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6”, “12”, “25”, “50”)’31 (RADFORD, 2011, p. 310, tradução livre das autoras). Isso sugere que a indeterminação e a analiticidade estão ligadas por uma regra que permite aos alunos encontrar o número de quadradinhos em qualquer figura particular, não importando o quanto tal figura está avançada na sequência.
Na ‘fórmula’ encontrada por Érica e em sua fala, podemos perceber que sua preocupação não está no fato de se saber o resultado da soma de 25 com 25. Independente desse valor, o que se deve fazer depois de encontrá-lo é somar 1 a ele. Segundo o autor,
essa “fórmula” pode ser melhor compreendida como uma prática incorporada a uma variável tácita: a indeterminação não atinge o nível da simbolização e nem mesmo o do discurso. Não há palavras no vocabulário dos estudantes para nomeá-la. A indeterminação permanece implícita – é algo cuja presença é apenas vagamente advertida através de instâncias particulares (...)32 (RADFORD, 2011, p. 311, tradução livre das autoras).
30(…) the use of notations (i.e., alphanumeric symbolism) is neither a necessary nor a sufficient condition for thinking algebraically (Radford 2006a, 2009a). Algebraic thinking is not about using or not using notations but about reasoning in certain ways. What characterizes thinking as algebraic is that it deals with indeterminate quantities conceived of in analytic ways. In other words, you consider the indeterminate quantities (e.g. unknowns or variables) as if they were known and carry out calculations with them as you do with known numbers (RADFORD, 2011, p. 310).
31(…) indeterminacy is present through instances of the independent variable—i.e., the number of the figure (“1”, “2”, 3”, “4”, “5”, “6”, “12”, “25”, “50”) (RADFORD, 2011, p. 310).
32This “formula” can better be understood as an embodied predicate (e.g. “12 plus 12, plus 1”) with a tacit variable: indeterminacy as such does not reach the level of symbolization, not even the level of discourse. There are no words in the students’ vocabulary to name it. Indeterminacy remains implicit—something whose presence is only vaguely adverted through particular instances (…) (RADFORD, 2011, p. 311).
De acordo com o autor, o pensamento algébrico factual baseia-se em mecanismos de percepção elevados e em uma sofisticada coordenação rítmica de gestos, palavras e símbolos. Nesse sentido, a indeterminação permanece implícita e os recursos semióticos citados acima constituem a ‘substância’ das fórmulas-ações dos estudantes.
2. Generalização Contextual
Neste caso, os alunos devem ir além das figuras particulares de uma sequência para lidar com um novo objeto: uma figura geral33
. Em vista disso, no pensamento algébrico
contextual, os estudantes mergulham em um nível de objetificação mais profundo do que as ações e percepções características do pensamento algébrico factual.
Neste processo de generalização, gestos ostensivos e outros meios semióticos de objetificação são excluídos e os estudantes passam a trabalhar com formas reduzidas de expressão. Dessa forma, eles compensam essa redução de recursos semióticos com uma concentração de significados em um menor número de signos. Essa redução de signos e concentração de significados foi chamada pelo autor contração semiótica.
Os alunos, para tratar os termos desconhecidos, recorrem a termos dêiticos que, segundo Radford (2009, p. 9, tradução livre das autoras), ‘são palavras com as quais nós descrevemos, de um modo contextual, objetos no espaço’34
. O objeto indeterminado agora deve ser explicitamente mencionado com auxílio de tais termos que serão escolhidos de acordo com a tarefa que está sendo trabalhada.
Para ilustrar a generalização factual, recorreremos, mais uma vez, ao exemplo da atividade de sequência de círculos divididos em duas linhas, ilustrada na figura 1. Porém, neste caso, a atividade foi trabalhada com alunos com idade igual a 14 ou 15 anos.
Para tanto, ela foi dividida em duas etapas: na primeira, os alunos deveriam desenhar as figuras nas posições 4 e 5 e encontrar o número de círculos nas figuras das posições 10 e 100 dessa sequência; na segunda, os estudantes foram convidados a escrever uma mensagem para um estudante de outra turma do 9º ano, explicando como encontrar o número de círculos em uma figura qualquer dessa sequência e escrever uma fórmula algébrica para o número de círculos na figura n.
33 De acordo com a atividade desenvolvida por Radford (2009), a figura geral trata-se de uma figura em uma
posição qualquer na sequência abordada.
Na segunda etapa da tarefa, em que os estudantes tiveram que escrever uma mensagem indicando como encontrar o número de círculos em uma figura qualquer, Radford (2009) apresentou um exemplo do que eles escreveram: “Você tem que adicionar um círculo a
mais do que o número da figura na linha de baixo, e adicionar um círculo a mais na linha de cima do que na linha de baixo”.
Tal procedimento não corresponde a uma fórmula padrão em Álgebra. Porém, podemos observar que os estudantes recorreram a alguns termos – “de baixo”, “de cima” – para descrever de maneira contextual os objetos aos quais se referiam, e o objeto indeterminado, neste caso, está explicitamente mencionado com o auxílio do termo “número da figura”.
Portanto, percebemos de forma clara que os gestos presentes na generalização
factual são substituídos por termos dêiticos e a indeterminação torna-se objeto explícito do discurso.
3. Pensamento Algébrico Padrão
Expressar uma fórmula com palavras ou gestos é muito mais simples do que expressá-la utilizando o simbolismo algébrico padrão. Ao utilizar a linguagem oral, os alunos lançam mão de uma gama de meios semióticos, como gestos de apontamento, gestos rítmicos, termos dêiticos, entre outros, através dos quais expressarem suas descobertas torna-se uma tarefa menos árdua (RADFORD, 2009).
Porém, ao entrar para o campo da linguagem algébrica, tais recursos semióticos não desempenham um papel de tamanho destaque. Segundo o autor, a passagem para o campo algébrico simbólico constitui uma mudança drástica na forma de designação dos objetos indeterminados no discurso. Tais objetos não serão mais abordados através dos meios semióticos citados aqui. Agora, os alunos deverão recorrer a uma linguagem, muitas vezes desconhecida, para encontrar uma fórmula e tratar suas descobertas. E um dos pontos destacados como causa das dificuldades dos alunos repousa no fato de a linguagem algébrica padrão não ser natural, como, por exemplo, o idioma que falamos. Portanto, a ‘tradução’ de uma descoberta algébrica para sua linguagem específica não ocorre espontaneamente. Segundo Radford (2009, p. 10, tradução livre das autoras),
A partir de um ponto de vista ontogenético, a “tradução” direta não é algo com a qual nós podemos contar, assim como não podemos contar com uma
tradução direta de nossa língua nativa para uma nova língua, a qual nós estamos apenas começando a aprender. No caso da linguagem algébrica padrão, a situação é ainda pior, já que tal linguagem não é “natural”. Nossa linguagem algébrica padrão é artificial35
.
Dessa forma, percebemos que a manifestação do pensamento através da linguagem algébrica é muito mais complexa do que uma simples tradução, visto que tal linguagem não é naturalmente construída pelo aluno em seu cotidiano. Ao contrário, a história evidencia que sua construção dependeu de esforços durante séculos e que, muitas vezes, acabou em ‘becos sem saída’ e fracassos.
Além de toda essa complexidade com a qual está envolvida a natureza da linguagem algébrica padrão, o autor chama atenção para o fato de que algumas fórmulas encontradas por estudantes, apesar de superficialmente parecerem algébricas, não o são. A presença de letras em uma expressão matemática não garante que ela seja uma fórmula algébrica. Assim, devemos estar atentos aos mecanismos utilizados durante a elaboração de tal fórmula. Um procedimento baseado em tentativas e erros de várias fórmulas, por exemplo, ‘não está baseado em um modo analítico de pensar sobre quantidades indeterminadas – a principal característica do pensamento algébrico’36 (RADFORD, 2009, p. 11, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, a fórmula algébrica – ou não – encontrada por nossos estudantes carrega a experiência do processo de objetificação vivenciado por eles. Em vista disso, o que o autor sugere é que tais fórmulas são ícones e, muitas vezes, um tipo de descrição geométrica ou espacial da figura em questão.
Novamente recorrendo à atividade apresentada a alunos com idade igual a 14 ou 15 anos37
sobre a sequência de círculos ilustrada na figura 1, Radford (2009) destaca que a fórmula (n + 1) + (n + 2) encontrada por um dos grupos da turma narra a experiência do processo de objetificação vivenciada pelos alunos. Segundo o autor, é fácil reconhecer que o termo ‘n + 1’ contido na fórmula refere-se aos círculos situados na linha superior de cada
35
From an ontogenetic viewpoint, direct ―translation is not something on which we can count, as we cannot count on direct translation from our native language to a new one we are just starting to learn. Direct translation presupposes that you already know the target language. In the case of the standard alphanumeric algebraic language, the situation is even worse, as this language is not even ―natural. Our standard algebraic language is artificial (RADFORD, 2009, p. 10).
36
(…) is not based on an analytic way of thinking about indeterminate quantities — the chief characteristic of algebraic thinking (RADFORD, 2009, p. 11).
termo da sequência, enquanto o termo ‘n + 2’ relaciona-se com os círculos situados na linha inferior.
Logo, percebemos que a fórmula não é um artefato de cálculo simbólico abstrato; ela funciona como uma narrativa que conta uma história de maneira altamente compactada. Portanto, a fórmula surge imbuída do modo pelo qual as ideias foram desenvolvidas e as ações realizadas, e carregada de uma natureza contextual, o que muitas vezes a impede de significar as coisas de uma maneira abstrata. Assim, ‘o modo de designação deve mover para um nível diferente, em que signos tomam seus significados não a partir de coisas que eles denotam, mas a partir do modo relacional que eles significam dentro do contexto de outros signos’38 (RADFORD, 2009, p. 13, tradução livre das autoras).
Não é que esse significado icônico e essa dimensão narrativa das fórmulas devam desaparecer. O autor defende que tais características devem dar origem a um modo de significar mais abstrato. Deve haver uma mudança de modo que o significado icônico da fórmula transforme-se em algo que deixe de designar, exclusivamente, os objetos concretos em questão. ‘Semelhanças e diferenças – aspectos chaves da significação – devem deixar de ser exclusivamente baseadas em considerações espaciais e contextuais’39
(RADFORD, 2009, p. 14, tradução livre das autoras).
Nesse sentido, nesse novo modo de significar os elementos da fórmula, ele propõe uma mudança de foco: ‘a atenção, agora, deve ser direcionada para diferenças morfológicas, ou seja, diferenças em termos de letras versus números. Em resumo, o significado deve tornar- se relacional’40 (RADFORD, 2009, p. 14, tradução livre das autoras).
Portanto, nós, professores, temos o importante papel de criar oportunidades para que o aluno abandone essa característica concreta da fórmula e passe a reconhecê-la dotada de um novo significado mais abstrato.
Em vista de todo o exposto nos dois capítulos anteriores, elaboramos e implementamos uma proposta de ensino, sobre a qual, apresentamos a seguir, o contexto em que foi desenvolvida e nossas opções metodológicas.
38 The mode of designation has to move to a different layer where signs borrow their meaning not from the things they denote but from the relational way they mean within the context of other signs (Radford, 2009, p. 13). 39 Resemblances and differences
—these key aspects of signification in general — must no longer be exclusively based on spatial and contextual considerations (RADFORD, 2009, p. 14).
40(…) attention has to be directed now to morphological differences, i.e., differences in terms of letters versus numbers. In short, meaning must become relational (RADFORD, 2009, p. 14).