A atividade “Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana” foi trabalhada com a turma no dia 05 de julho de 2011, no 5º horário de aula da manhã.
O desenvolvimento da tarefa contou com o estudo e análise de uma sequência de figuras que representam mesas e cadeiras em determinado ambiente, de forma que as cadeiras estão dispostas ao redor das mesas segundo um padrão, conforme indicado na figura abaixo:
Figura 10: Sequência de mesas e cadeiras. Fonte: Matemática em Cena, 8º ano do Ensino Fundamental, página 57.
Portanto, nosso objetivo ao elaborar e aplicar tal atividade foi que os alunos percebessem o padrão envolvido em tal sequência, encontrassem um regra geral que relacionasse o número de mesas enfileiradas e o número de cadeiras ao redor de tais mesas e, por fim, expressassem tal regra utilizando a linguagem simbólica. Vale ressaltar que, neste momento, buscamos maior enfoque para o surgimento e desenvolvimento da linguagem algébrica padrão, visto que os resultados das atividades anteriores mostraram que a turma já estava criando familiaridade com o trabalho envolvendo sequências e padrões.
Em busca de maior envolvimento dos alunos, para o estudo de tal sequência de mesas e cadeiras, criamos uma história que foi contada em sala de aula em uma apresentação
de slides com a utilização de Data Show, visto que em experiências anteriores – alheias ao trabalho de campo do mestrado – os alunos disseram adorar as aulas com o auxílio de tal recurso.
Nesse sentido, decidimos trabalhar com essa sequência tendo em vista a possibilidade da criação de um contexto para abordá-la junto aos alunos. Acreditamos que tal abordagem seria um diferencial em relação às demais atividades trabalhadas até o momento, fato que poderia estimular ainda mais a participação da turma.
Assim, além da disposição espacial dos elementos da sequência a ser trabalhada, os alunos teriam o modo contextual em que a sequência estava sendo formada como mais um aliado na percepção de uma regularidade e formulação de uma regra para o cálculo do número de cadeiras disponíveis em função do número de mesas enfileiradas.
Resolvemos desenvolver a aula novamente a partir de uma exposição e discussão coletiva, em que, aos poucos, apresentaríamos a sequência aos alunos, instigando-os a perceber uma regularidade e encontrar uma regra geral relacionada à sequência em questão, para, em seguida, expressarem tal regra utilizando a linguagem simbólica.
Seguindo tais considerações, no dia 05 de julho, terça-feira, cheguei à sala da turma e, primeiramente, expliquei que, antes do registro escrito, eu gostaria que eles prestassem bastante atenção na história que eu ia lhes contar. Os alunos estavam silenciosos e quietos e o aluno A12 ficou encarregado de auxiliar-me na passagem dos slides. Dessa forma, iniciei a exposição, fazendo a leitura em voz alta do primeiro slide e, na sequência, apresentando o segundo slide:
Figura 12: Segundo slide apresentado à turma.
Eu explico aos alunos o significado da figura do segundo slide, em que o retângulo maior representa a mesa e os quatro retângulos menores, colocados em cada um dos lados do retângulo maior, representam as cadeiras em volta da mesa.
Em seguida, iniciei a leitura do terceiro slide:
Figura 13: Terceiro slide apresentado à turma.
Finalizada a leitura do slide, inicio uma discussão relacionada ao número de cadeiras disponíveis e o número de pessoas presentes na festa. Houve confusão, visto que alguns alunos estavam com a ideia de que, acrescentando uma mesa enfileirada com a primeira, aumentaria para três o número de cadeiras disponíveis. Depois de explicar aos alunos por que não havia aumentado 3 lugares, mas somente 2, com o auxílio de uma caneta que emite uma luz de laser, apontei para cada uma das cadeiras da imagem do terceiro slide, seguindo a ordem indicada na figura 14, e fiz a contagem:
Figura 14: Ordem de contagem das cadeiras.
Depois de concluirmos que à medida que acrescentávamos uma mesa, aumentavam-se dois lugares disponíveis, seguimos adiante com a leitura do quarto slide:
Figura 15: Quarto slide apresentado à turma. Antes que eu finalizasse a leitura, o aluno A12 falou: A12: Aumentou 4!
P: Aí, aumentou quantos lugares?
A12 e A17: 4! (Indicando o número quatro com as respectivas mãos direitas). P: Aumentou 4?
A4: 2! A6: 2!
P: Ah, do início... A12: É!
P: ...aumentaram 4 lugares! Mas, em relação à passada... A12: São 2.
A10: 2.
P: ...que tinha 6 pessoas, só aumentaram 2.
A12: (Apontando para a imagem das 3 mesas) A cadeira que ‘tava’ ali no meiozinho (indicando a
junção da segunda com a terceira mesa) passou pra lá! (Apontando para o final da figura, indicando a ponta da terceira mesa).
P: A que ‘tava’ aqui (apontando com o laser a junção da segunda com a terceira mesa) passou pra cá
(apontando com o laser para o final da figura, indicando a cadeira que estava na ponta da terceira mesa), não é isso?
A7: É!
P: Então aumentaram quais lugares? A12: 2!
P: Esse... (Apontando com o laser para a cadeira de cima da terceira mesa). A12: E o de baixo!
P: ...e esse! (Apontando com o laser para a cadeira de baixo da terceira mesa). Certo?
Continuo a aula, fazendo a leitura do quinto slide:
Figura 16: Quinto slide apresentado à turma
Em seguida, passamos para o sexto slide, em que proponho aos alunos completarmos juntos a tabela:
Figura 17: Sexto slide apresentado à turma.
O aluno A12, que já estava auxiliando na passagem dos slides, ficou responsável de ir digitando os valores na tabela, à medida que a discussão avançasse. Dessa forma, começamos:
P: Se eu tiver 2 mesas, quantos lugares... Turma: 6!
P: ...quantas pessoas? A10: Coloca 6 aí, A12!
P: Como que a gente descobriu? Contando, olhando, não é? E se forem 3 mesas enfileiradas, quantos
lugares?
A6, A7, A10 e A12: 9! 9! P: 9?
A6: 8!
A10: 8! 8! Aumenta 2! P: Vamos ver?
Em vista da dúvida surgida, pedi ao aluno A12 que retornasse ao quarto slide – no qual havia a figura com 3 mesas enfileiradas – para verificarmos se seriam 8 ou 9 lugares no caso de 3 mesas enfileiradas. Enquanto o aluno A12 procurava o slide, o aluno A10 continua afirmando que a resposta correta era 8, visto que aumentava 2, e os alunos A4 e A6
concordando.
Exposto o quarto slide, eu retomo, apontando para a figura com 3 mesas enfileiradas:
P: Olha, 3 mesas, quantos lugares? A4: 8!
A10: 8! Aumenta 2!
Depois da verificação, retornamos à tabela para registrar o valor encontrado para 3 mesas e continuar com os valores seguintes. Nesse sentido, depois de completar com o número 12, a tabela ficou preenchida da seguinte forma:
Figura 18: Tabela preenchida até o número de 5 mesas enfileiradas.
Em vista disso, observando a sequência de números da coluna direita da tabela, os alunos A4, A6 e A10 começaram a gritar que o próximo número que deveríamos acrescentar era o 14. Eu chamo a atenção para a sequência numérica da coluna esquerda, destacando que, depois do 5, tínhamos o número 8.
O aluno A10, agitado em sua cadeira, pede para esperar para que ele pensasse. Eu permaneço calada, esperando que eles chegassem a uma conclusão, e alguns alunos continuam tentando outros valores:
A3: 19? A6: 18!
A12: É 14, porque aumenta 2!
Logo depois de proferir essa fala, o aluno A12 levanta-se da cadeira gritando e a aluna A6 chama a atenção para os valores na coluna esquerda da tabela:
A4: Ah não!
A6: Gente, é de 5 pra 8!
Neste momento, o aluno A12 senta-se e o aluno A10 levanta-se, pulando e gritando o valor correto (18 lugares disponíveis). Ele argumenta que encontrou a resposta contando (de 2 em 2) e a aluna A6 utiliza uma estratégia diferente que ela explica para toda a turma:
A6: De 5 pra 8, tem 3...
P: Você vai aumentar 3 mesas...
A6: É... aí... e aumentando essas 3 mesas, vai aumentar 6 cadeiras.
Terminada a explicação, rapidamente lanço a pergunta sobre 10 mesas enfileiradas, a qual os alunos A10 e A3 respondem corretamente.
Dessa forma, completamos toda a tabela do sexto slide. Antes que os alunos se dispersassem, perguntei se alguém já havia encontrado uma regra para o cálculo do número de lugares disponíveis, caso tivéssemos um número grande de mesas enfileiradas. O aluno A4, antes que eu concluísse minha fala, levanta-se e apresenta a regra em que o número de cadeiras disponíveis é igual ao número de mesas vezes dois, mais dois. Eu explico a regra apresentada por A4 para toda a turma:
P: Porque, aqui, olha (apontando o laser para a figura com 3 mesas do quarto slide que estava na tela):
em cada mesa não são 2 lugares?
A12: São!
P: Esse (apontando o laser para a cadeira situada acima da primeira mesa) e esse (apontando o laser para a cadeira situada abaixo da primeira mesa)! Esse (apontando o laser para a cadeira situada acima da segunda mesa) e esse (apontando o laser para a cadeira situada abaixo da segunda mesa)! Esse (apontando o laser para a cadeira situada acima da terceira mesa) e esse (apontando o laser para a cadeira situada abaixo da terceira mesa)! Então, se eu tiver várias mesas enfileiradas, em cada uma
delas vai ter 2 lugares! Só que ainda tem os 2 lugares das ‘cabeceiras’.
A4: Aí soma 2.
P: Então soma 2! Então a regra vai ser o que? O número de mesas... A6: Vezes 2 mais 2.
P: Isso! Os dois lugares das cabeceiras! É isso? Todo mundo ‘tá’ de acordo?
Os alunos responderam positivamente. Portanto, finalizada a discussão, mais uma vez pedi a eles que se organizassem em duplas (Apêndice B, página 219). Sempre os deixava à vontade para escolher com quem gostariam de trabalhar, mas pedia que, se possível, eles mantivessem os grupos organizados nas atividades anteriores.
Depois da turma organizada, entreguei a cada grupo uma apostila (ver Apêndice O, página 241), na qual havia toda a história contada anteriormente com o auxílio dos slides, inclusive com a mesma tabela que havíamos completado durante a discussão, para que cada grupo completasse-a novamente. Além do conteúdo exposto nos slides, havia também quatro questões, as quais descreveremos com detalhes adiante.
A primeira questão na sequência da tabela foi a seguinte:
Ao acrescentar uma mesa, quantas pessoas, além das que já se encontram sentadas, podem se sentar? Explique como vocês chegaram a essa conclusão.
O propósito dessa questão era averiguar se os alunos haviam percebido a regularidade da sequência numérica correspondente ao número de lugares disponíveis à medida que aumentávamos o número de mesas enfileiradas. A maioria dos grupos demonstrou ter compreendido a regularidade envolvida na sequência – ao acrescentar uma mesa, aumentamos dois lugares disponíveis. Mais detalhes sobre as respostas apresentadas pelos alunos, com as respectivas justificativas, são apresentados no próximo capítulo.
Mas adiantamos que a maioria dos grupos apreendeu a regularidade envolvida na sequência – acrescentada 1 mesa, aumentamos 2 lugares disponíveis.
Na segunda questão, que envolve a ideia de equação, fornecemos o número de lugares disponíveis e pedimos ao aluno para encontrar o número de mesas enfileiradas, conforme o enunciado:
Quantas mesas o garçom da festa de Poliana precisaria enfileirar para acomodar seus 52 colegas? Como vocês descobriram?
as respostas e justificativas dos grupos:
Duplas Respostas apresentadas Justificativas
Dupla 1 Figura 48 Não apresentou justificativa.
Dupla 2 23 “Contando nos dedos”
Dupla 3 26 mesas “Fazendo 52:2 que deu 26”
Dupla 4 23 mesas “10 x 2 + 8”
Dupla 5 23 mesas Não apresentou justificativa. Dupla 6 Sem resposta. Não apresentou justificativa. Trio 1 25 mesas “Nós descobrimos fazendo a
tabela” Tabela 2: Respostas dos grupos à segunda questão da tarefa V escrita.
A dupla 6 deixou a questão sem reposta e, novamente, a dupla 1 apresentou uma figura, representada abaixo, e, como podemos perceber, ao lado de tal figura havia vários cálculos.
Imagem 10: Registro dupla 1 na segunda questão da tarefa IV escrita.
Seguindo adiante, os alunos deveriam responder à terceira questão, cujo enunciado era o seguinte:
E se na festa de Poliana tiver 100 mesas enfileiradas, quantos amigos poderão se sentar? Mostrem como vocês descobriram o resultado.
Tal questão nos permitiu avaliar que conhecimentos foram mobilizados pelos grupos – se foram capazes de encontrar a regra discutida coletivamente, se descobririam outra regra ou traçaram um caminho diferente.
Conferindo as repostas dos alunos, verificamos que 5 grupos apresentaram a resposta correta e apenas 2 erraram, como mostra a tabela abaixo:
Duplas Respostas apresentadas Justificativas
Dupla 1 202 “100 x 2 + 2”
Dupla 2 202 “100 x 2 = 200 + 2 = 202”
Dupla 3 202 “Fazendo 100 x 2 + 2 = 202”
Dupla 4 202 “100 x 2 + 2”
Dupla 5 202 Não apresentou justificativa Dupla 6 44 Não apresentou justificativa Trio 1 122 Não apresentou justificativa
Tabela 3: Respostas dos grupos à terceira questão da tarefa V escrita.
De acordo com a tabela, as quatro primeiras duplas fizeram uso da regra encontrada de maneira correta. A dupla 5 apresentou a resposta correta, porém sem justificativa, não nos permitindo afirmar que houve o emprego de alguma fórmula. E a dupla 6 e o trio 1 apresentaram respostas incorretas sem justificativa ou cálculo que nos possibilitasse entender o raciocínio desenvolvido.
Chamamos a atenção para a justificativa apresentada pela dupla 2, em que verificamos a incorreção da escrita “100 x 2 = 200 + 2 = 202” que nos leva a entender que 100 x 2 = 202.
Em seguida, os grupos deveriam resolver a quarta questão51, em que eles teriam que lidar com um número qualquer de mesas, conforme o enunciado:
Imagine agora que o garçom enfileirou um número de mesas, mas você não sabe qual é. Vamos chamar este valor desconhecido de (crie dentro deste quadrinho um símbolo para representar este valor). Escreva, usando símbolos matemáticos e o símbolo que você criou,
uma expressão que represente quantas pessoas poderiam se sentar nessas mesas enfileiradas.
As respostas dos grupos para esta questão serão analisadas no próximo capítulo. De modo geral, os alunos gostaram da tarefa e se envolveram em sua realização. Embora a dinâmica da discussão coletiva tenha funcionado bem, consideramos que não era necessário tê-la levado até a elaboração da regra para o cálculo do número de lugares disponíveis em função do número de mesas enfileiradas. Entendemos que os alunos alcançaram um grau de familiaridade com as tarefas envolvendo padrões e sequências que lhes permitiria trabalhar de forma mais autônoma. Esse seria um modo de percebermos como cada grupo lidaria com a sequência, com a percepção de uma regularidade e formulação de uma regra.
Em vista disso, na tarefa seguinte decidimos trabalhar com uma sequência utilizando uma dinâmica diferente.