Kapittel IV Prioritet
Regel 38 Prioritetserklæring
Recentemente tem sido salientado o papel das representações nas investigações em Educação Matemática como um aspeto fundamental da aprendizagem dos alunos, quer para facilitar a compreensão dos conceitos matemáticos como para desenvolver a capacidade de resolução de problemas (Biza et al., 2007; Henriques & Ponte, 2014; Karatas et al., 2011). Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NTCM, 2007) fundamentam que os alunos de 12.º ano deverão ser capazes de usar a linguagem e os símbolos matemáticos de forma correta e apropriada para comunicar a suas ideias, tanto de forma escrita como oral. Estas normas salientam que à medida que os conhecimentos matemáticos dos alunos e a sua capacidade de utilizar uma vasta gama de representações matemáticas aumentam, terão um maior poder matemático que os ajudará a estabelecer conexões com outras áreas das ciências.
A medida que os alunos se tornam matematicamente mais competentes, vão desenvolvendo um repertório cada vez maior de representações matemáticas e de como as usar de forma produtiva. Este conhecimento inclui a seleção de representações específicas, com o propósito de extrair informações específicas ou de alcançar determinados fins (NTCM, 2007, p. 422).
São vários os autores que definem representação matemática. Para Goldin (1998) uma representação é qualquer configuração ou relação de carateres, imagens ou objetos concretos que representam algo. Castro e Castro (1997) afirmam que “as representações são as notações simbólicas ou gráficas, específicas para cada noção, mediante as quais se expressam os conceitos e procedimentos matemáticos assim como as suas caraterísticas e propriedades mais relevantes” (p. 96). Para Mata-Pereira e Ponte (2012) uma representação é definida como uma configuração que pode usar-se para substituir, sugerir ou simbolizar um objeto. Enquanto, Henriques e Ponte (2014) posicionam as representações matemáticas como recursos que permitem compreender os processos de raciocínio dos alunos e como ferramentas que aumentam a sua capacidade de pensar, salientando igualmente a sua relevância na comunicação das ideias matemáticas.
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Gómez (2007) considera um sistema de representação como um registo de regras que permitem identificar ou criar signos com a finalidade de operar com eles e concluir as relações que se podem determinar com os mesmos, classificando-os como: simbólico, algébrico, verbal e gráfico. Neste contexto, Goldin (1998) indica que estes sistemas de representação estão constituídos por duas estruturas: uma estrutura intrínseca, onde as regras operam dentro do próprio sistema e uma estrutura extrínseca, na qual se estabelecem relações com outros sistemas de representação. Neste sentido, o autor salienta a importância de que o individuo reconheça e faça uso da estrutura extrínseca para aprofundar na compreensão do objeto representado, o que também é defendido por Tripathi (2008) ao afirmar que “diferentes representações matemáticas de um conceito destacam diferentes aspetos da sua estrutura, que se complementam no sentido da compreensão desse mesmo conceito” (p. 438).
Em relação às funções das representações, o NTCM (2007) recomenda que os alunos “criem e usem representações para organizar, registar e comunicar ideias matemáticas; selecionem, apliquem e traduzam representações matemáticas para resolver problemas; usem as representações para modelar e interpretar fenómenos físicos, sociais e matemáticos” (p. 160). Ao respeito, Stylianou (2011) adjudica às representações as funções de compreensão, registro, exploração, verificação e avaliação. Defendendo que os alunos devem familiarizar-se com uma variedade de representações para que sejam usadas de forma flexível, desenvolvendo a capacidade para traduzir dentro e entre diferentes representações, selecionar as representações adequadas para situações específicas e como meio facilitador da sua compreensão matemática. Esta experiência que vivem os alunos dentro da sala de aula de matemática através da manipulação e uso flexível das representações transcende a tarefa de aprendizagem que estão a resolver, desenvolvendo habilidades que alcançam o nível quotidiano, familiar e futuro académico do indivíduo.
As representações matemáticas que os alunos do 9.º ano 12.º ano aprendem fornecem-lhes a oportunidade de compreender o poder e a beleza da matemática, apetrechando-os de modo a poderem usar as representações nas suas vidas pessoais, no seu local de trabalho e em estudos futuros (NTCM, 2007, p. 427)
Do ponto de vista de Duval (2006), as representações constituem um papel importante para a compreensão dos conceitos matemáticos, mas usualmente são interpretadas como produtos, externas e afastadas da compreensão do conhecimento matemático. No seu trabalho, o autor refere que existem dois tipos de transformações para
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as representações semióticas: as conversões e os tratamentos, que correspondem aos processos cognitivos fundamentais do pensamento matemático durante a resolução de uma tarefa (Figura 2.2). Os tratamentos consistem em transformações dentro de um mesmo sistema de representação, como por exemplo resolver uma equação (tratamento dentro do sistema simbólico-algébrico), enquanto as conversões (explícitas ou implícitas) são transformações entre sistemas de representação, transformando a representação de um objeto, situação ou informação dada num dado sistema numa outra representação dentro de outro sistema de representação. São exemplo de conversões a passagem de uma descrição ou de uma relação em linguagem natural (sistema de representação verbal) para notação algébrica (sistema simbólico-algébrico).
Figura 2.2 Processos cognitivos fundamentais (adaptado de Duval, 2006)
Na conversão, o processo de associar um enunciado com uma representação visual pode desempenhar duas funções: como recurso para ter em conta todos os elementos que se relacionam ou como heurística para encontrar o fundamento teórico que sustenta a resolução da tarefa. No entanto, a conversão não deve reduzir-se a uma codificação da informação. Por exemplo, nos problemas que envolvem equações polinomiais, Duval menciona que é essencial distinguir dois níveis de conversão: um nível relacionado com a expressão literal das quantidades desconhecidas do enunciado e outro nível diz respeito ao estabelecimento da igualdade na formulação da equação. Por outro lado, o autor considera que a resolução de uma tarefa e as atividades matemáticas feitas pelo aluno caraterizam-se por ter, por um lado o conteúdo matemático conceptual não semiótico e por outro lado, as representações semióticas que podem ser escolhidas segundo a necessidade de comunicação ou de tratamento. Considerando o conteúdo matemático como um objeto mental e as representações como externas a este, pelo que a conversão passaria a ser o
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resultado da compreensão conceptual e qualquer dificuldade neste processo de transformação seria produto de conceções erróneas; pois “o problema que a maioria dos estudantes encontram é tão profundo que a conversão pode ser considerada como a porta da compreensão” (Duval, 2006, p. 149).
Outro aspeto apresentado pelo autor relaciona-se com o facto de que o fazer matemática satisfaz dois requisitos que frequentemente entram em conflito: as representações semióticas devem ser usadas necessariamente e os objetos matemáticos representados não devem confundir-se com o significado dessas representações. Este conflito pode ter lugar quando se resolvem problemas que respondem a um contexto real, pois exige que os alunos utilizem a sua experiência física ou diária e a suas representações mentais.
Por último, o autor conclui que a importância das representações semióticas está na capacidade intrínseca para serem transformadas noutras representações. Os dois tipos de transformação são cognitivamente independentes, embora matematicamente as conversões dependam dos tratamentos. Por isso, é essencial considerar estas transformações em separado para analisar o que fazem os alunos no momento de resolução de problemas.