1 Statement of Theory and Definitions
1.3 Preparations in front of the cement job
Depois da apresenta¸c˜ao do KIP e de sua posterior aplica¸c˜ao a um sistema particular, vamos agora apresentar uma nova estrutura alg´ebrica e posteriores desenvolvimentos que nos permi- tir˜ao propor uma forma anal´ıtica para a fun¸c˜ao κ(f ). Vamos, ent˜ao, introduzir as propriedades relacionadas a uma certa fun¸c˜ao, denominada por Kaniadakis [43] como fun¸c˜ao geradora da de- forma¸c˜ao κ10 e que, usualmente, ´e representada como g
κ(x). Esta fun¸c˜ao deformadora gκ(x)
´e, a princ´ıpio, uma fun¸c˜ao real e arbitr´aria de seu argumento, por´em, deve possui as seguintes propriedades: (i) gκ(x) ∈ R; (ii) gκ(−x) = −gκ(x); (iii) d dx[gκ(x)] > 0; (iv) gκ(±∞) = ±∞ (v) g(x) ≈ x quando x → 0.
Atrav´es da fun¸c˜ao geradora, pode-se construir uma outra fun¸c˜ao real x{κ} que depende tanto
da vari´avel x quanto de um parˆametro κ, denominado de parˆametro deformador. Arbitraria- mente, define-se a fun¸c˜ao x{κ} como
x{κ} =.
1 κsinh
−1[g
κ(κx)] (2.5.1)
A fun¸c˜ao x{κ} herda todas as propriedades da fun¸c˜ao gκ(x) e possui outras adicionais, ou seja, (i) x{κ} ∈ R; (ii) (−x){κ} = −x{κ}; (iii) dxd x{κ} > 0; (iv) (±∞){κ}= ±∞ (v) x{κ} ≈ x, para x → 0 e, portanto, 0{κ} = 0;
(vi) x{κ} ≈ x, para κ → 0 e, portanto, x{0}= x;
(vii) x{κ} = x{−κ}
Se expressarmos a fun¸c˜ao inversa de x{κ} por x{κ}, podemos usar o fato de que (x{κ}){κ} =
(x{κ}){κ}= x, e representar essa fun¸c˜ao inversa, como
x{κ} = 1 κg
−1(sinh[κx]). (2.5.2)
O prop´osito principal por tr´as das propriedades e defini¸c˜oes anteriormente apresentadas, reside, num primeiro momento, em estabelecer regras de grupo condizentes com a estrutura alg´ebrica associado a um grupo Abeliano11. Feito isso, podemos redefinir certas fun¸c˜oes e
opera¸c˜oes ordin´arias como, por exemplo, a soma e o produto entre elementos de um grupo. Por ´ultimo, e mais importante, usar essas redefini¸c˜oes para representar analiticamente certas quantidades f´ısicas usadas para parametrizar as propriedades de um sistema particular. Isso,
11Num contexto de fun¸c˜oes, qualquer conjunto que satisfa¸ca as propriedades associativa, fechamento, comuta-
claro, ter´a como consequˆencia a generaliza¸c˜ao de quantidades tais como a entropia. Contin- uando, discriminamos algumas propriedades de grupo associados a defini¸c˜ao em (2.5.2). Com ela, define-se uma regra de composi¸c˜ao como se segue
Proposi¸c˜ao 1: A κ-soma ´e definida atrav´es de
(x⊕ y)κ = x. {κ}+ y{κ}. (2.5.3)
Quando κ → 0, A soma em (2.5.3) reduz-se a uma soma ordin´aria. Pode ser mostrado ainda que a regra de composi¸c˜ao expressa na equa¸c˜ao (2.5.3) ´e associativa, possui elemento neutro 0, admite −x como elemento sim´etrico. Sendo assim, a κ-soma forma um conjunto Abeliano.
Proposi¸c˜ao 2: O κ-produto ´e definido atrav´es de
(x⊗ y)κ = x. {κ}.y{κ}. (2.5.4)
An´alogo `a κ-soma, o κ-produto reduz-se ao produto ordin´ario x.y quando κ → 0 e, tamb´em, forma um grupo Abelino, sendo, portanto, associativo, comutativo, admitindo 1{κ} como ele-
mento neutro e h 1 x{κ}
i{κ}
como elemento inverso.
Proposi¸c˜ao 3: A propriedade distributiva ´e, em rela¸c˜ao κ-soma, verificada, ou seja,,
Preposi¸c˜ao 4: A fun¸c˜ao x{κ} possui as seguintes propriedades:
i) x{κ}⊕ yκ {κ} = (x + y){κ}
ii) x{κ}⊗ yκ {κ} = (x.y){κ} (2.5.6)
Proposi¸c˜ao 5: A fun¸c˜ao x{κ} e sua inversa x{κ} obedecem as seguintes regras
de escalas: i) x′{κ′ } = zx{κ} ii) x′{κ′} = zx{κ}, (2.5.7) onde x′ = zx e κ′ = κz. Proposi¸c˜ao 6: A propriedade z.(x⊕ y) = (z.x)κ ⊕(z.y),κ (2.5.8) ´e observada.
Utilizando essas proposi¸c˜oes, construiremos duas fun¸c˜oes que ser˜ao de grande utilidade nos de- senvolvimentos subsequentes. Estas fun¸c˜oes s˜ao o que denominamos de exponencial e logar´ıtmica κ-deformadas, representadas respectivamente por exp{κ} e ln{κ}. Como veremos, s˜ao fun¸c˜oes que
retomam as formas ordin´arias quando κ → 0. Para fazer isso, definimos a κ-diferencial como
dx{κ} = d{κ}x= lim. z→xx
κ
Assim, a κ-diferencial de uma fun¸c˜ao f = f (x) ´e expressa por df (x) dx{κ} = lim z→x[f (x) − f(z)] h x⊖ zκ i−1, (2.5.10)
que reduz-se uma diferencial ordin´aria quando κ → 0. Com isso em m˜aos, definimos a exp{κ}
como
d dx{κ}
exp{κ}(x)= exp{κ}(x). (2.5.11)
Usando (2.5.11), ´e poss´ıvel mostrar que a forma alg´ebrica da κ-exponencial fica
exp{κ}(x) =n1 + [g(κx)]21/2+ g(κx)o1/κ. (2.5.12)
A fun¸c˜ao κ-exponencial possui v´arias propriedades interessantes. Pode ser visto de (2.5.12), por exemplo, que exp{κ}(x).exp{κ}(−x) = 1, ou seja, a κ-exponencial ´e uma fun¸c˜ao sim´etrica de seu argumento. Al´em dessa, temos tamb´em que
[exp{κ}(x)]r = exp{κ/r}(rx) (2.5.13)
Atrav´es da equa¸c˜ao (2.5.12), podemos ainda expressar a fun¸c˜ao inversa da κ-exponencial como ln{κ}(x) = 1 κg −1 xκ− x−κ 2 , (2.5.15)
onde ln{κ}(x) e g−1 s˜ao as fun¸c˜oes inversas de exp{κ}(x) e g, respectivamente. As equa¸c˜oes
(2.5.12) e (2.5.15) definem uma classe de fun¸c˜oes exponenciais e logar´ıtmicas deformadas que de- pendem da fun¸c˜ao geradora. Al´em de depender do parˆametro deformador κ, elas podem depender de outros parˆametros via fun¸c˜ao geradora g. Fun¸c˜oes que s˜ao deforma¸c˜oes das exponenciais e logar´ıtmica ordin´arias s˜ao bastantes comuns na literatura f´ısica. Exemplos disso, podem ser encontradas em [39, 46] que possuem um parˆametro de deforma¸c˜ao cada e em [47], que possui dois parˆametros de deforma¸c˜ao. Tamb´em, usando os postulados aqui apresentados, podemos encontrar express˜oes trigonom´etricas deformadas, construir outros grupos com regras de adi¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e propriedades particulares.
Todo o mecanismo alg´ebrico apresentado nessa se¸c˜ao, podem ser encontrado com um pouco mais de detalhe em [43,48]. Elas formam o que denominamos ´Algebra Deformada. Aqui, expomos
somente aquilo que mais tarde se tornar´a necess´ario aos nossos desenvolvimentos.
2.6
Conclus˜oes
Todo o arcabou¸co f´ısico-matem´atico desenvolvido nesse cap´ıtulo tem a finalidade de nos deixar um pouco mais ´ıntimos com esse novo formalismo estat´ıstico elaborado por Kaniadakis. A maioria das informa¸c˜oes contidas nas se¸c˜oes anteriores podem ser encontradas como um pouco mais de detalhes em [43,48]; por´em, como j´a pode ter sido percebido, ´e importante o conhecimento b´asico das ideias relacionadas `a Teoria Cin´etica. Em rela¸c˜ao a aplicabilidade da κ-estat´ıstica, ela j´a vem sendo usada a pouco mais de um d´ecada para tratar problemas no ˆambito quˆantico e relativ´ıstico, em particular, voltados para a Estat´ıstica de Sistemas N˜ao-Lineares. Em [48], Kaniadakis usa sua recente estat´ıstica para relacion´a-la a relatividade especial. Usando esse relacionamento, Silva [49] investiga a validade do Teorema H dentro de um contexto da aprox- ima¸c˜ao covariante, mostrando que a hip´otese do caos molecular ´e levemente estendida dentro
an´alise de sistemas fermiˆonicos e bosˆonciso num contexto interpolativo [51]. No presente trabalho, tencionamos aplic´a-la na an´alise das componentes de um sistema que apresenta fractalidade.
Cap´ıtulo
3
Postulados e propriedades concernentes a
κ-entropia
3.1
Introdu¸c˜ao
Desde do in´ıcio do s´eculo XX, a Mecˆanica Estat´ıstica (M.E.) sempre esteve dispon´ıvel para resolver problemas em ciˆencias naturais. Tamb´em passou por novas formula¸c˜oes durante o es- tabelecimento da teoria quˆantica sendo levada por essa a um status mais elevado. Por´em, at´e mesmo depois de sua formula¸c˜ao quˆantica, e at´e nos dias de hoje, v´arios autores propuseram condi¸c˜oes especiais onde a M.E. n˜ao seria adequada para descrever certos sistemas.
Em trabalhos recentes, Tsallis e Kaniadakis conceberam formalismos generalizados da M.E. que comportam certas divergˆencias da mesma. A proposta de Tsallis baseia-se, em princ´ıpio, no aspecto multifractal inerente em algum aspecto aos fenˆomenos f´ısico. Kaniadakis sugere, por sua vez, que muitos formalismos estat´ıstico (e isso inclui o formalismo de Tsallis) podem ser analisados sobre um mesmo ˆambito atrav´es de um princ´ıpio que permeia as intera¸c˜oes cin´eticas de um sistema: o Princ´ıpio de Intera¸c˜ao Cin´etico (KIP). Atrav´es do KIP, ´e poss´ıvel retomar, com um escolha adequada da fun¸c˜ao γ (introduzida do cap´ıtulo 2), qualquer fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao (que ´e o agente descritivo das intera¸c˜oes que ocorrem dentro do sistema), seja ela cl´assica ou n˜ao. No decorrer de mais ou menos duas d´ecada, a q-estat´ıstica de Tsallis vem constantemente sendo aplicada em v´arias ´areas da ciˆencia e vem mostrando-se bastante vers´atil na descri¸c˜ao de fenˆomenos f´ısicos; especificamente em f´ısica do estado s´olido, sistemas complexos, an´alise de sinais, astronomia e f´ısica de part´ıculas. Por outro lado, muitos pesquisadores vem utilizando o
formalismo de Kaniadakis na abordagem de problemas de cosmologia e plasma. A decis˜ao de tomar um formalismo ou outro para descrever um fenˆomeno, aparentemente reside na escolha de optar numa descri¸c˜ao geral (Kaniadakis) ou n˜ao (Tsallis). N˜ao temos a menor inten¸c˜ao e, principalmente, pretens˜ao de fazer isso. Como o teste da f´ısica reside na experimenta¸c˜ao, deixemos que essa quest˜ao seja resolvida com o tempo.
Como ambos os formalismos vem ganhando destaque e cada vez mais pesquisadores vem contribuindo para torn´a-los um conhecimento bem estabelecido, tanto matem´atica quanto fisica- mente, ´e pertinente fazer um abordagem das principais ideias relacionadas as essas estat´ısticas como primeira an´alise - se¸c˜ao (3.1) e (3.2) - embora esse trabalho tenda a espelhar os funda- mentos contidos da κ-estat´ıstica. Tamb´em, vamos mostrar como outros formalismo, como o de Fermi-Dirac, podem ser retomados dentro do formalismo de Kaniadakis - Se¸c˜ao (3.3). Nas se¸c˜oes seguintes, dedicaremos tempo em estabelecer as ferramentas que na pr´atica ser˜ao utilizadas no cap´ıtulo 4.