A comparação entre tempos característicos dos vários processos associados com o mecanismo do dínamo como, por exemplo, a convecção, rotação, amplificação e di- fusão, ajuda a medir a eficiência do efeito dínamo nas estrelas. Um outro parâmetro importante para medir essa eficiência é o chamado número de Rossby (R0). Para um
sistema em rotação, podemos interpretá-lo como a razão entre a força inercial e a força de Coriolis, designado por:
Ro =
V
ΩL. (3.32)
onde V é a velocidade típica, L o comprimento típico e Ω a velocidade angular. Lem- brando que a velocidade de rotação é inversamente proporcional ao período de rotação, podemos reescrever o número de Rossby usando τr = 2πRνr que representa o tempo car-
acterístico da rotação estelar e V=Lτ−
c 1, sendo τc o tempo característico de convecção:
Ro =
τr
τc
. (3.33)
Podemos relacionar o número de Rossby com o número de Reynolds. Este último é um paramêtro que permite a distinção entre os locais em que a difusão das linhas de campo ocorre de maneira mais intensa daqueles em que estas linhas estão congeladas. Ele é definido por:
Rm =
τdif
τcon
= V τdif
L . (3.34)
sendo τcon o tempo característico de convecção dado pela razão L/V, onde L é o com-
primento típico, V a velocidade típica e τdif é o tempo de difusão dado por L2/η.
Podemos estabelecer uma relação direta entre o número de Reynolds e o número de Rossby Ro = V ΩL ⇒ RoΩ = V L. (3.35)
Substituíndo a Eq. (3.35) na Eq. (3.34), obtemos:
Rm = τdifΩRo. (3.36)
Logo obtemos uma relação direta entre os dois paramêtros.
Existe ainda um outro parâmetro muito importante conhecido como número do dínamo (D). Ele é útil para indicar a eficiência do dínamo. Podemos usar esse número para fazer uma comparação entre os tempos de convecção, amplificação do campo magnético e da difusão. Quando o tempo característico de convecção e/ou de difusão forem menores do que o tempo necessário para amplificar o campo magnético, por meio do efeito dínamo, podemos considerar que o efeito dínamo não será muito eficiente. Esta condição pode ser expressa através da seguinte desigualdade:
D ≡ αΩL
3
η2 > 1. (3.37)
onde α é a magnitude do efeito-α, Ω é a magnitude da rotação diferencial, L é a escala de altura e η é a difusidade magnética.
Steenbeck e Krause(1969) [37] estimaram os valores de α, Ω, η e são dados por:
α ∼= νr Rl 2/L. (3.38) Ω ∼= l2νr R/L 2. (3.39) η ∼= ν l. (3.40)
onde νc é a velocidade dos elementos convectivos e νr é a velocidade de rotação. Sub-
stituíndo as equações acima no número do dínamo teremos:
D ∼= [(l/R)νr νc
]2 = R−2
o . (3.41)
fornecendo uma relação direta entre o número do dínamo e o número de Rossby. Pode- mos notar que, quanto menor for o número de Rossby, mais eficiente será o dínamo, ou seja, o número de Rossby mede o quanto a rotação se acopla à convecção para produzir um meio adequado à produção do efeito-α.
Depois dessas análises, concluimos que a eficiência do mecanismo do dínamo pode ser medida usando tanto o número de Reynolds, quanto o número do dínamo, como também o número de Rossby.
4
Os dados observacionais
Métodos como velocidade radial, fotometria e microlentes gravitacionais são utilizados para descobrir a existência de novos sistemas planetários. Com o objetivo de deixar nossa amostra homogênea, utilizamos apenas estrelas que tiveram seus planetas descobertos, pelo método de velocidade radial, assim todos os nossos dados seriam oriundos do mesmo método, vale ressaltar que cada método de detecção de planeta possui uma técnica apropriada, por isso é adequado escolher estrelas que tiveram seus planetas encontrados com o mesmo método.
Esta amostra é constituída de objetos selecionados a partir da base de plane- tas extrasolares mantida por Jean Schneider [31], com atualização em 06 de outubro de 2009, quando havia 235 planetas catalogados com o método de velocidade radial. Verificamos quais dessas estrelas possuíam fluxo de Ca II; para isso utilizamos o catál- ogo de Wright et al. (2004) [42]. Após esta seleção, a nossa amostra de trabalho é composta de 73 estrelas que se encontra na Tabela (A.1). Vale salientar que nesta tabela não estão incluídas estrelas de baixa massa. A taxa de fluxo de Ca II (R’HK)
foi medida usando os valores de S, calculados por Wright et al. (2004) [42]. O procedi- mento será discutido mais a frente na pag.12 na seção (4.1). A luminosidade de raio-X das estrelas da amostra foi retirada do trabalho realizado por Kashyap et al. (2008) [12]. Da amostra de trabalho apenas 4 estrelas não possuem raio-X. Na Tabela (B.1) encontra-se informações sobre os parâmetros orbitais planetários.
Agora discutiremos dois parâmetros relevantes para a realização deste trabalho: o indicador de atividade cromosférica log (R′
HK), e o indicador de atividade coronal,
log ( Lx Lbol).
4.1
Indicador de atividade cromosférica de CaII H e
K
Para o estudo da atividade cromosférica utilizamos o fluxo de CaII nas linhas H e K. Para calcular este fluxo utilizamos o índice S do catálogo de Wright et al. (2004) [42]. Os valores de S foram obtidos a partir das medidas realizadas com fotômetro CaII H e K, acoplado ao telescópio de 1,5m do observatório do Mt.Wilson.
O procedimento de obtenção do valor do fluxo de CaII consiste em medir o número de contagem de fótons em duas janelas centradas nas raias H e K do CaII (canais H e K), e em duas janelas do contínuo, centradas em 4000,1 ◦
A e 3901,1 A◦ (canais R e V). Então define-se uma grandeza conhecida como índice de fluxo S dada por:
S ≡ α(NH + NK) (NR+ NV)
. (4.1)
Onde α é um fator de normalização igual a 2,4.
Observando a Eq. (4.1) vê-se que o índice de fluxo S é a razão entre as taxas de contagens. Sendo, portanto, um paramêtro independente de variações na extinção at- mosférica e na sensibilidade instrumental. No entanto o índice S, não depende somente da contribuição cromosférica, ele representa também a componente fotosférica. Uma vez que as bandas H-K do espectrômetro são suficientemente largas elas admitem todas as linhas de emissão cromosférica, por isso elas também incluem o fluxo proveniente da
fotosfera estelar. Dessa forma é necessário subtrair do fluxo total as medidas do fluxo fotosférico, conhecendo assim a verdadeira medida que corresponde a emissão cromos- férica. Seguindo o procedimento dado por Noyes et al. (1984) [18], para remover a componente fotosférica, utilizamos um fator de conversão (Ccf) que transforma o fluxo
dos canais R e V para o contínuo. Nesta conversão o único parâmetro envolvido é o índice de cor B-V. Obtemos então o índice de emisão total RHK que relaciona o fator
de conversão Ccf com índice de fluxo S.
RHK = 1, 340 × 10−4CcfS. (4.2)
Onde o fator 1,340× 10−4 engloba a constante de Stefan-Boltmann. O fator de conver-
são de Ccf utilizado neste trabalho foi calculado por Rutten (1984) [24], para estrelas
da sequência principal com 0,3≤ B-V ≤ 1,6 usando a relação :
log(Ccf) = 0, 25(B − V )3− 1, 33(B − V )2+ 0, 43(B − V ) + 0, 24 (4.3)
O índice RHK representa a soma de duas contribuições RHK=R’HK+Rf oto. Para
finalizarmos o processo de determinação de R’HK, precisamos fazer uma correção no
valor de S para a contribuiçao fotosférica do fluxo nas linhas de CaII H e K. Para isto usamos a correção utilizada por Noyes et al. (1984) [18]. Determinamos o Rf oto da
seguinte forma:
LogRf oto = −4, 898 + 1, 918(B − V )2 − 2, 893(B − V )3. (4.4)
R′
HK = RHK − Rf oto. (4.5)
Entretanto achamos interessante mostrar como Middelkoop (1982) [17] estimou a conversão de S em RHK ∝ FHK/σT4.
O fluxo FH+FK, nas raias H e K por unidade de área da superficie estelar é
proporcional ao fluxo fH e fK detectado por unidade de área na Terra. Este fluxo é
definido por:
FH + FK =
FBol
fBol
(fH + fK). (4.6)
Onde FBol é o fluxo bolométrico absoluto:
FBol = σTef f4 . (4.7)
E fBol o fluxo bolométrico relativo:
fBol = γ10
−0,4(mv+BC)
. (4.8)
Onde Tef f é a temperatura efetiva, BC a constante bolométrica, mv a magnitude visual
aparente, σ e γ são as constantes.
O fluxo aparente fH + fK é proporcional à taxa de contagem NH + NK, nos
canais H e K, é definido como:
β é uma constante. Assumindo também que a extinção atmosférica e a sensibilidade instrumental são constantes, pode-se manipular a Eq. (4.1), e combiná-la com a Eq. (4.9), logo: S ≡ α(NH + NK) (NR+ NV) =⇒ S α(NR+ NV) = (NH + NK). (4.10) Tem-se fH + fK = βS α (NR+ NV). (4.11)
Substituíndo as Eqs. (4.6),(4.7) e a (4.8) na Eq. (4.11), ter-se-á:
FH + FK = σT4 ef f γ10−0,4(mv+BC) βS α (NR+ NV). (4.12)
Introduzindo o fator de conversão definido por Middelkop (1982) [16], dado por:
Ccf ≡ (NR+ NV)100,4(mv+BC)10 −4,8
. (4.13)
onde o fator 10−4,8 é um fator de escala.
Obtêm-se então para o fluxo por unidade de área da superficie estelar a seguinte expressão: FH + FK = βσ αγT 4 ef fSCcf. (4.14)
Com a introdução da unidade de fluxo, tem-se:
FH + FK = SCcfTef f4 10
−14. (4.15)
O fator arbitário 10−14, foi adicionado para expressar os resultados numa escala
mais conveniente.
A calibração absoluta das unidades arbitrárias utilizadas na definição da eq. (4.15), foi realizada utilizando os valores de fluxos relativos, dado por (fH + fK)⊙=1,69
e absoluto (FH + FK)⊙=2,17×106erg cm
−2s−1, ambos sobre a superficie solar, mostrando
que:
F (CaII) = 1, 285 × 10−8SC
cfTef f4 . (4.16)
O fator de conversão Ccf foi determinado por Middelkoop (1982) [16], com 0,45≤
B-V ≤ 1,50, para estrelas da sequência principal.
log(Ccf) = 1, 13(B − V )3− 3, 91(B − V )2+ 2, 84(B − V ) + 0, 47. (4.17)