4. PRESENTASJON OG DISKUSJON AV DATA
4.3 O PPLEVELSER AV DET Å HA SKRIVEVANSKER
Antes da intervenção pedagógica. Na tradução do significado que as letras assumem nas expressões algébricas, Sílvia identifica os diferentes papéis que estas assumem mas não os distingue (Figura 13):
Figura 13 – Resolução da Questão 5 (PréT).
Ao considerar que as letras representam um número ou um valor desconhecido, que designa de incógnita, não distingue o papel que as letras podem assumir − parâmetro, incógnita ou variável − conforme surjam numa fórmula, expressão ou equação.
A noção que Sílvia mostra ter sobre o uso de letras nas relações entre expressões surge associada à ideia de que letras diferentes representam valores diferentes (Figura 14):
Figura 14 – Resolução da Questão 8 (PréT).
A aluna indicia que reduziu a equação dada à forma y = p. Ao traduzir uma igualdade entre letras e não uma igualdade entre uma letra e um número não considera que essa igualdade tem uma infinidade de soluções.
A capacidade que Sílvia revela na simplificação de expressões algébricas inteiras já não é a mesma quando trabalha com expressões fraccionárias (Figura 15):
Figura 15 – Resolução da Questão 9 (PréT).
A estratégia de resolução que segue passa por atribuir valores particulares às letras em vez de procurar relações entre os termos que lhe permitisse simplificá-los. Tem a noção de que para trabalhar com fracções precisa de ter o mesmo denominador, o que obtém sem considerar a ordem das letras, mas não se apercebe que poderia manipular as expressões do denominador para que isso acontecesse. A confusão generaliza-se ao manter o numerador e somar os denominadores. A atribuição de valores diferentes às letras indicia que, para a aluna, estas não assumem o mesmo valor no domínio que valida a expressão.
Fruto da actividade que desenvolveu nos diferentes anos escolares, Sílvia revela capacidade para justificar as suas conjecturas (Figura 16):
Figura 16 – Resolução Questão 7 (PréT).
Perante o conhecimento do valor de uma expressão, apercebe-se da transformação que tem de fazer para determinar o valor de outra expressão. Exprime essa transformação em linguagem corrente, mas recorre à linguagem simbólica para dar significado à interpretação que efectuou.
Durante a intervenção pedagógica. Com o decorrer da intervenção pedagógica os alunos “mostram uma maior preocupação para justificar os processos que realizam nas suas actividades” (NC_22/02/10)
No caso de Sílvia, essa preocupação verifica-se, por exemplo, na resolução do problema que solicita a determinação do valor que traduz a mesma temperatura em graus Celsius e em graus Fahrenheit(Figura 17):
Figura 17 – Resolução da Tarefa “Valores coincidentes”.
Os valores que atribui a uma das variáveis resultam da análise que faz dos resultados que obtém, o que lhe permite aperceber-se do sentido da variação dos valores dessa variável, de modo a obter a mesma temperatura nas duas escalas.
A capacidade de analisar relações também se verifica quando Sílvia estabelece novas relações a partir de uma dada relação. É o que se verifica, por exemplo, no problema “Vinho do Porto” (Anexo 19) (Figura 18):
Figura 18 – Resolução da Tarefa “Vinho do Porto”.
A partir da análise de uma relação numérica que determina a idade do Vinho do Porto, a partir da mistura de vinhos de idades diferentes, a aluna identifica o termo que corresponde à variável, estabelece novas relações e resolve a equação que estabelece.
Após a intervenção pedagógica. Nas respostas que dá no Pós-teste, relativamente às quatro questões consideradas de análise de relações, Sílvia mantém a resposta a duas delas (Questões 5 e 8) e altera a resposta que deu no Pré-teste às restantes duas (Questões 7 e 9). Uma das respostas que mantém é sobre o papel que as letras desempenham em diferentes expressões (Questão 5, Anexo 4). A aluna continua a considerar, tal como o fez no Pré-teste, que as letras, independentemente do papel que desempenham numa expressão, representam incógnitas.
A outra questão em que mantém a sua resposta é a que diz respeito à determinação do número de soluções de uma equação com várias letras (Questão 8, Anexo 4). Embora reduza os termos dessa equação, tal como o fez no Pré-teste, continua a considerar que letras diferentes não podem assumir o mesmo valor (Figura 19):
Figura 19 – Resolução da Questão 8 (PósT).
A aluna tende a considerar que as letras possuem uma identidade própria que as distingue, cuja característica transfere para os valores que podem assumir.
Nas respostas que altera no Pós-teste em relação às que apresenta no Pré-teste, Sílvia revela uma preocupação em apresentar as suas justificações numa linguagem mais formal. Por exemplo, na Questão 7, enquanto no Pré-teste determina o valor de uma dada expressão a partir da relação que analisa entre esta e o valor de outra expressão, no Pós-teste opta por resolver a equação para determinar o valor da incógnita e, de seguida, determina, por substituição, o resultado pretendido (Figura 20):
Figura 20 – Resolução Questão 7 (PósT).
Esta estratégia de resolução parece dever-se ao hábito de resolver equações através da aplicação das regras sem considerar outras possibilidades de resolução: “gosto mais de justificar por cálculos do que por palavras. Acho que matematicamente é mais correcto, é mais certo” (NC_14/06/10). Na resolução da equação, o cuidado que a aluna tem de usar o símbolo de equivalente entre as equações parece induzi-la a usar o mesmo símbolo para unir a expressão algébrica à expressão numérica que resulta da substituição da incógnita pelo valor encontrado.
A capacidade que a aluna revela em simplificar expressões algébricas inteiras já não se observa, tal como no Pré-teste, na simplificação de expressões fraccionárias (Questão 9). Porém, no Pós-teste já não concretiza as variáveis tal como fez no Pré-teste (Figura 21):
Figura 21 – Resolução da Questão 9 (PósT).
Da análise da expressão, a aluna apercebe-se que a pode simplificar, independentemente dos valores que as diferentes letras possam assumir no domínio de validade da expressão. Sílvia não identifica que os denominadores são simétricos e simplifica a expressão sem considerar as regras da adição entre fracções e sem reparar que anula o denominador:
Eu sei que para somar fracções é preciso o mesmo denominador. Não usei a regra porque a expressão era muito complicada e tinha muitas letras e baralhava-me. Tentei simplificar, pareceu-me um caso notável e como ab ba− é zero desaparece e fica só 2
2c o que simplificava tudo. (E)
Após a intervenção pedagógica Sílvia manifesta a sua preocupação em justificar as suas conjecturas. Por exemplo, na comparação dos volumes de cilindros obtidos a partir da mesma folha de papel, de formato A4, a aluna recorre à fórmula do volume dos cilindros para constatar a veracidade da sua resposta (Figura 22):
Figura 22 – Resolução da T11 (E).
Ao analisar os resultados que obtém, a aluna apercebe-se, contrariamente à sua percepção intuitiva, que é o raio da base do cilindro de menor altura que prevalece em relação à altura do cilindro com menor raio de base: “eu achei que iria ser menor o mais baixo, mas pode
ser também uma ilusão óptica. (…) Porque a base já tem lá o raio ao quadrado, ou seja, é um valor muito superior” (E).
A preocupação de Sílvia de justificar as suas respostas observa-se, por exemplo, na discussão do valor lógico de afirmações matemáticas (Figura 23):
Figura 23 – Resolução da Tarefa 10 (E).
Ao analisar a expressão algébrica, Sílvia apercebe-se da diferença entre a observação do comportamento dos parâmetros de todos os termos de um polinómio e a observação do comportamento isolado de um dos seus termos:
Para isto ficar com um polinómio do 2.º grau, nós temos que anular este e para anular este, tem que ser o menos 1 para ficar zero! Só que depois ao anular este, depois iria anular este [termo do 2.º grau] e ia ser falso. (E)
A capacidade de manipular os termos de uma expressão também se verifica na transformação dos termos das expressões 2 +x 3 e 3
30x . A aluna parece transferir o seu conhecimento da estrutura dos números inteiros para a transformação dos termos das expressões algébricas (Figura 24):
Figura 24 – Resolução da T2 e T3 (E).
Porém, nem em todas as situações com que se depara a aluna procura analisar as expressões que lhe são dadas de modo a aperceber-se das diferentes estratégias que pode usar. Por exemplo, como se verificou na resolução da Questão 7 no Pós-teste, em vez de usar uma
estratégia que resulte da análise das relações que possam existir entre as expressões que lhe são dadas, opta por determinar o valor da incógnita que surge nas expressões (Figura 25):
Figura 25 – Resolução da T6 (E)
A aluna considera que preferiu “resolver a equação, descobri quanto valia o