4. PRESENTASJON OG DISKUSJON AV DATA
4.4 V IKTIGHETEN AV Å HA GODE LESE - OG SKRIVEFERDIGHETER
Antes da intervenção pedagógica. Das relações que estabelece, Sílvia apercebe-se, em algumas delas, do significado que os símbolos assumem. Por exemplo, na determinação da expressão que representa o perímetro de um triângulo escaleno, a aluna atribui à variável o significado da medida do lado de qualquer triângulo escaleno que verifique as condições dadas (Figura 26):
Figura 26 – Resolução da Questão 1 (PréT).
Embora simplifique a expressão geral que representa o perímetro desses triângulos em função da variação conjunta das medidas dos seus lados, ao determinar o perímetro de um deles, com o conhecimento da medida de um dos seus lados, a aluna reproduz a representação
pictórica, concretiza a variável e de seguida aplica a fórmula do perímetro. Na estratégia que adopta, a representação pictórica tende a prevalecer em relação à representação simbólica, o que parece dever-se à falta de reconhecimento pela aluna da utilidade que os modelos matemáticos têm na resolução de situações problema.
Uma outra situação que evidencia que a aluna prefere recorrer a outras estratégias em vez de procurar, embora identifique regularidades, inferir uma lei geral é a que diz respeito à determinação do número de pontos de uma figura de uma dada ordem de uma sequência (Questão 3, Anexo 4) (Figura 27):
Figura 27 – Resolução da Questão 3b) (PréT).
Apesar de não obter uma lei geral, a aluna estabelece uma relação numérica que lhe permite responder à questão. A capacidade que aparenta ter para manipular expressões ajuda a aluna a resolver uma equação fraccionária sem recorrer às regras de resolução de equações com denominadores (Figura 28):
Figura 28 – Resolução Questão 6 (PréT).
Ao deparar-se com uma equação fraccionária, Sílvia apercebe-se do significado que a incógnita assume na expressão do numerador e na expressão do denominador. Considera que todos os valores verificam a condição pela relação que identifica entre estas expressões, sem especificar o tipo de valores a que se refere e o domínio de validade, assunto ainda não tratado até ao momento da resolução do Pré-teste.
A capacidade que revela em manipular mentalmente os termos de uma equação também se verifica na análise que faz dos termos de uma inequação. Sílvia reconhece a relação de ordem que pode estabelecer entre as duas expressões, independentemente do valor que a variável possa assumir (Figura 29):
Figura 29 – Resolução Questão 10 (PréT).
A análise da condição como um todo não condiciona o significado que atribui ao papel que a variável desempenha em cada termo dos membros da inequação. Ao compará-los, constata que o termo constante da expressão do 2.º membro é quem determina o número de soluções da inequação.
Durante a intervenção pedagógica. Sílvia evidencia reconhecer que os seus conhecimentos matemáticos lhe podem ser úteis quando resolve problemas de contexto da vida real (NC_08/02/10). Numa primeira experiência com problemas de modelação, com recurso ao CBR para recolher dados e produzir um gráfico relativo à distância em função do tempo, a aluna começa por efectuar o seguinte esboço gráfico (Figura 30):
Figura 30 – Resolução da Tarefa “Modelar com o CBR”.
Questionada acerca da forma como procederia para encontrar a expressão algébrica do 3.º segmento, do esboço que fez, Sílvia recorre aos conhecimentos que adquiriu na unidade de Geometria, tema que estudou antes das Funções, ao afirmar: “equação reduzida; primeiro tem dois pontos, depois vamos formar um vector com eles, e depois calcular a equação” (RAA4). A aluna aplica os seus conhecimentos a novas situações mas não distingue, com os atributos que
retira do gráfico, a diferença entre os valores que x e y podem assumir para definir uma recta ou uma semi-recta (Figura 31):
Figura 31 – Resolução da Tarefa “Modelar com o CBR”.
Sílvia recorre a valores exactos para “arredondar os valores de x para ser mais fácil as contas” (RAA4). Destaca os valores que atribui à variável independente sem referir os valores que o parâmetro pode assumir. Obtém a equação reduzida da recta sem preocupação de testar o modelo que encontrou. Ao recorrer à visualização do gráfico na calculadora, a aluna percebe que a expressão que encontrou é o modelo de uma recta que contém o segmento pretendido: “a equação que escrevemos não representa totalmente a recta, temos que dizer que está entre o 7 e o 9” (RAA4) (Figura 32):
Figura 32 – Resolução da Tarefa “Modelar com o CBR”.
A aluna evidencia ainda não compreender o que representa um modelo matemático e qual a sua utilidade em novas situações, embora use notação simbólica para o escrever e compreenda o seu significado.
Apesar de inicialmente não procurar modelar matematicamente as situações com que se depara, com as actividades que desenvolve ao longo da intervenção pedagógica vai-se apercebendo da sua importância e aplicabilidade. Por exemplo, na resolução do problema de conversões de temperaturas, entre graus Celsius e Fahrenheit, Sílvia reconhece a importância e a finalidade de obter um modelo matemático que represente essa conversão (Figura 33):
Figura 33 – Resolução da Tarefa “Função afim”.
A modelação da situação leva-a a refutar a sua conjectura, a generalizar a aplicação do modelo que definiu, o que lhe permite converter quaisquer temperaturas nas duas escalas, e a relacionar assuntos que estuda na disciplina de Matemática e de Físico-Química.
Numa outra situação de modelação, relativa ao problema do “Voo dos patos”, Sílvia estabelece a relação entre as variáveis. A sua primeira tendência é para usar uma expressão conhecida que traduza o problema “analiticamente, a função é (…) devia dar aquela recta [bissectriz]” (RAA13). Após estabelecer esta conjectura apresenta um esboço do gráfico acompanhado das respectivas expressões analíticas (Figura 34):
Ainda que reconheça tratar-se de uma regressão linear, Sílvia foi “condicionada pela resolução de um problema de Funções quadráticas” (NC_18/03/10), realizado anteriormente e em primeiro lugar associou a formação em “V” que observa na figura do enunciado à forma de uma parábola. Ao colocar os valores nas listas da calculadora introduz os valores todos na mesma lista, o que faz com que obtenha um gráfico que não se assemelha com o que esperava: “devia ser linear (…) mas não dá” (RAA13). Da discussão com o grupo turma recomeça todo o processo, introduz separadamente os valores em quatro listas e representa graficamente os modelos encontrados com o intuito de verificar se coincidem com a imagem da situação que modelou. Ao visualizar os gráficos, reconhece que apenas lhe interessam os valores cujas imagens são positivas embora não compreenda de imediato como fazê-lo: “como é que eu digo isso?” (RAA13). Depois de várias tentativas e discutindo as suas hipóteses com os colegas de grupo, a aluna compreende que para cada expressão precisa delimitar os valores que a variável
x pode assumir (Figura 35):
Figura 35 – Resolução da Tarefa “O voo dos patos”.
No novo esboço gráfico que efectua, a aluna apresenta o domínio de validade de cada uma das expressões que representam a forma da disposição do voo dos patos. Apesar de reconhecer que as imagens geométricas das expressões são simétricas em relação ao eixo das ordenadas, não conseguiu transformá-las numa única expressão com base na noção que tem de módulo de um número.
Durante o estudo das Funções, Sílvia resolveu vários problemas de modelação matemática. Por exemplo, na realização de um trabalho prático, no estudo da função quadrática, a aluna comprova a aplicabilidade deste tema a situações da vida real: “ao observarmos a nossa cidade encontramos vários exemplos de parábolas” (REA16).
Parte de uma situação de contexto real para elaborar o enunciado de um problema e modela-o para dar resposta, com recurso a materiais tecnológicos, à questão que ela própria formula (Figura 36):
Figura 36 – Resolução da Tarefa “Á procura de Parábolas”.
Tendo as equações das duas parábolas, já é possível resolver o problema. É necessário calcular o vértice de uma das parábolas: V(3,19;4,77). A altura é dada pela distância do vértice até “ao fim” da parábola: h=7,45cm. Na imagem a altura é 7,45 cm, mas aplicada na construção da porta teria que ser 1,35 m de acordo com a escala. A largura (L) é medida no ponto de intersecção (I) das duas parábolas: I(5,08;−1,02), I =i 3,80 cm. Mas é preciso também medir a distância entre os vértices (dV) das duas parábolas, para que a porta fique com a forma do símbolo: dV =3,78cm. (REA16)
Figura 37 – Resolução da Tarefa “Á procura de parábolas”.
A largura “total” é duas vezes de uma das parábolas, ou seja, é 7,6 cm e a distância entre os vértices (dV) é 3,78 cm. Na porta a largura teria que ser 1,37m e a distância entre os vértices teria que ser 0,68m, de acordo com a
escala. As dimensões da porta teriam que ser: Altura=1,35m; Largura=1,37m; dV=0,68m. (REA16)
Sílvia insere a imagem da forma que pretende modelar no GSP, recolhe as coordenadas de um conjunto de pontos com o auxílio deste
software
, insere estas coordenadas nas listas da calculadora, determina os modelos que melhor se ajustam aos dados recolhidos através da técnica da regressão quadrática e valida os modelos que obtém através da sua representação gráfica no GSP sobre a imagem inicial, o que lhe permite “reproduzir” a forma pretendida. Apercebe-se que o valor e o sinal do coeficiente do 2.º grau se relacionam com a forma e com a concavidade das parábolas. Apesar de efectuar um conjunto de procedimentos matemáticos para obter as dimensões que procurava, preocupa-se em estabelecer uma relação que converta as unidades com que trabalhou no GSP em medidas reais, o que revela sentido crítico na análise das respostas que obtém (Figura 38):Figura 38 – Resolução da Tarefa “À procura de Parábolas”.
Na escala que considera, a aluna usa o valor de 135cm, como valor de referência, para limitar a altura real da porta representada no seu problema e compara este valor com as dimensões da altura da porta no papel (NC_17/05/10).
Na resolução de problemas que implicam a descoberta de modelos matemáticos, Sílvia vê-se confrontada com a necessidade de trabalhar com letras e com o seu uso enquanto variáveis, incógnitas ou parâmetros. Na resolução do problema “A inclinação dos postes” (Anexo 14), a aluna precisa de descobrir a que distância do solo se cruzam duas cordas que unem as extremidades de dois postes colocados num terreno irregular. Na primeira abordagem ao problema, Sílvia insere um referencial que lhe permite estabelecer as primeiras relações que identifica e escolhe uma letra para representar o desnível do segundo poste em relação à horizontal: “um eixo por aqui, a altura vai aumentar, mas a distância entre os postes vai ser na mesma 11, aqui vai ser (11, )y ” (RAA15). Escolhe a letra y por esta corresponder à altura no eixo das ordenadas, sem se aperceber que deste modo “está a usar a mesma letra em situações
diferentes” (NC_10/05/10). Na discussão com os seus colegas de grupo opta por usar
α
pois “assim não se confunde com o y da função” (NC_10/05/10) (Figura 39):Figura 39 – Resolução da Tarefa “A inclinação dos Postes”.
Ao escrever as coordenadas do segundo poste em função de
α
, Sílvia manifesta compreender o papel da variável que escolheu. Usa as equações que escreveu anteriormente, substituindo y porα
e escreve uma expressão que segundo ela “funciona para saber onde se cruzam as cordas, qualquer que seja o desnível do terreno” (NC_10/05/10) (Figura 40):Figura 40 – Resolução da Tarefa “A inclinação dos Postes”.
A instalação do referencial na figura que ilustra o enunciado do problema e a forma como usa a equação reduzida da recta para definir as equações que representam as cordas, evidencia a capacidade que Sílvia tem de trabalhar com múltiplas representações das Funções, mobilizar conhecimentos e modelar situações reais.
Noutras situações, como por exemplo na resolução do problema “Área e Perímetro de triângulos equiláteros”, a aluna opta por generalizar relações entre as grandezas de triângulos equiláteros em detrimento de o fazer numericamente, como o faz, por exemplo, com as áreas desses triângulos (Figura 41):
Figura 41 – Resolução da Tarefa “Área e Perímetro de triângulos equiláteros”.
Ao constatar que um triângulo equilátero foi subdividido em 16 triângulos equiláteros geometricamente iguais, a aluna apercebe-se das relações que pode obter entre a área e o perímetro do triângulo de partida e cada um dos triângulos que resultam da subdivisão deste. Nas relações estabelecidas, a variável x é usada para representar diferentes quantidades como a área do triângulo maior e a medida do lado desse triângulo.
Após a intervenção pedagógica. No Pós-teste, Sílvia considera as expressões que estabelece para determinar o valor de uma variável em função do valor de outra. Por exemplo, no problema sobre o triângulo escaleno, enquanto no Pré-teste estabeleceu uma expressão algébrica do perímetro, embora incorrecta, mas não a utilizou, no Pós-teste estabelece correctamente a expressão e usa-a em diferentes situações (Figura 42):
Figura 42 – Resolução Questão 1 (PósT).
A aluna determina o valor do perímetro do triângulo através da atribuição à variável do valor que traduz a medida de um dos lados do triângulo. Reconhece que os valores da variável condicionam a variação dos outros lados e, consequentemente, a variação do perímetro. Revela capacidade estrutural na resolução da equação que lhe permite partir do valor do perímetro de um dos triângulos para determinar o valor da variável que representa a medida do menor lado. Atribui significado a esse valor e à variação conjunta das medidas dos outros lados.
Na resolução de um problema sobre padrões (Questão 3, Anexo 4), enquanto no Pré- teste recorre a estratégias numéricas, no Pós-teste a aluna procura escrever uma expressão geral que lhe permita determinar o termo de uma dada ordem (Figura 43):
Figura 43 – Resolução da Questão 3 (PósT).
Partindo do número de pontos que determina para a 5.ª figura e da regularidade que identifica nas cinco primeiras figuras da sequência, a aluna estabelece uma expressão algébrica para determinar o número de pontos da figura de ordem 30. Em comparação com a resposta que deu no Pré-teste, traduz o seu raciocínio numa expressão geral em detrimento de efectuar somente cálculos numéricos.
A percepção que a aluna revela em generalizar também se verifica na forma como resolve uma equação (Questão 6). Embora não conheça ainda o procedimento de resolução das
equações fraccionárias, apercebe-se da relação que há entre as expressões do numerador e do denominador que constituem a expressão do 1.º membro da equação (Figura 44):
Figura 44 – Resolução Questão 6 (PósT).
Na generalização de algumas situações, Sílvia manifesta a preocupação de sustentar matematicamente as suas respostas, como, por exemplo, se observa na determinação dos valores que satisfazem uma desigualdade entre duas expressões (Questão 10) (Figura 45):
Figura 45 – Resolução Questão 10 (PósT).
Para além de explicar o seu raciocínio através da linguagem corrente, fundamenta a sua resposta através da concretização de três valores representativos dos subconjuntos dos números reais que considera. Esta preocupação em alargar as relações que estabelece a novas situações parece denotar que Sílvia reconhece a utilidade da generalização, o que corrobora os procedimentos que adopta para validar casos gerais a partir de um número limitado de casos.
Numa outra tarefa, a aluna recorre à calculadora para comparar y=x com y= x . Só a partir do esboço gráfico da função y= x é que a aluna fez uma extensão à família de Funções que resultam da translação do gráfico desta função (Figura 46):
Figura 46 – Resolução da T4 (E)
Da observação de um número limitado de casos, da translação do gráfico da função
y= x , a aluna infere que a deslocação na vertical é intuitiva o que já não acontece na horizontal: “quando somo valores positivos o gráfico sobe, quando somo valores negativos desce; quando faço isso no x é ao contrário” (E). Sílvia revela compreender a influência da variação dos parâmetros na deslocação de gráficos de Funções, o que exprime na escrita e na interpretação que faz na generalização dessas deslocações.
Após a intervenção pedagógica Sílvia revela capacidade de aplicar diferentes conceitos matemáticos na resolução de problemas. Exemplo dessa aplicação é o uso que faz de diferentes representações na resolução do problema “Triângulo de maior área”(Anexo 19). A aluna considera as dimensões de uma folha de papel; identifica as variáveis que representam a base e a altura dos triângulos que vai obter das sucessivas dobragens da folha, a partir de um dos seus vértices em relação à base do lado oposto; reconhece a relação entre os três lados desses triângulos, o que lhe permite escrever uma das variáveis em função da outra; determina a expressão geral das áreas desses triângulos; efectua um esboço gráfico da área em função de uma das variáveis; e, com recurso à calculadora, determina a área máxima que esses triângulos podem obter (Figura 47):
Figura 47 – Resolução da T12 (E).
A aluna usa várias letras para distinguir os entes a que se refere (base, altura e área), opera com expressões com essas letras, critica o esboço gráfico que efectua em função do contexto do problema e reconhece a utilidade da expressão geral na determinação da área máxima.