Um outro método para o traçado das curvas de nível da abóbada, proposto por Maurice Leroy, em 1962, centra-se numa outra forma geométrica, a espiral logarítmica [18]. Arcos horizontais, cujo eixo tem a forma de uma espiral logarítmica, permitem uma variação regular da curvatura da curva [18].
A equação da espriral logarítmica [18] (figura 2.23), expressa em coordenadas polares, tem a seguinte forma:
e
a0 (2.12)
onde
é o comprimento do vector raio num ponto da espiral,
0 é o comprimento do vector raio do ponto da espiral associado ao ângulo
0
,e
é o número de Euler,a
é a co- tangente do ângulo
, entre o vector raio e a tangente à espiral num ponto, e
é o ângulo entre o vector raio e o vector raio na origem do referencial.As coordenadas polares na espiral logarítmica referem-se ao centro da espiral, sendo o vector raio na origem (
0) a referência para a medição do ângulo
.
0
X'
Y'
X
Y
Figura 2.23 – Espiral logarítmica e respectivos parâmetros com indicação do referencial em relação ao qual é expressa a equação polar da espiral (
X
,Y
) e do referencial cujo eixo das abcissas é tangente ao arco na zona de fecho (X'
,Y'
) (adaptado de [18]).Os parâmetros
0 ea
definem por completo a espiral logarítmica. Quando
0
,
0, ou seja, o raio é igual ao raio no fecho do arco. A espiral logarítmica apresenta outra propriedade: o ângulo
entre a linha radial e a tangente num determinado ponto da espiral é constante.Com efeito, verifica-se a seguinte relação:
tan
1
a
(2.13)onde
é o ângulo entre a linha radial e a tangente à espiral logarítmica ea
é o parâmetro que regula a abertura e o sentido da espiral.O parâmetro
a
é nulo, quando o ângulo
90º
, ou seja, quando a curva é circular. À medida quea
aumenta,
diminui, e a espiral afasta-se da forma da circunferência [18]. O parâmetroa
comanda assim a variação de curvatura da espiral.Recorde-se novamente o raciocino da distribuição do carregamento da pressão hidrostática entre um conjunto de arcos horizontais e de consolas verticais, que representa o corpo da barragem. Num vale estreito e profundo (
L
H
1
), os arcos horizontais são muito mais rígidos do que as consolas verticais e por esta razão, os primeiros resistem à maioria das solicitações externas [18]. Nesta situação, o carregamento radial é constante ao longo do arco e a forma circular é a mais indicada (a0
) [18].Por outro lado, num vale mais aberto, as consolas laterais ao diminuírem de altura tornam-se mais rígidas, sendo tanto mais rígidas quanto mais perto estiverem dos encontros [18]. O aumento de rigidez nas consolas permite que parte da carga seja absorvida por estas. Os arcos, junto às zonas onde as consolas são mais rígidas, devem reduzir a sua curvatura [18]. O parâmetro
a
deve, então, ser proporcional à abertura do vale [18]. Um exemplo da distribuição da pressão hidrostática entre os arcos horizontais e as consolas verticais pode ser visualizado no resumo do cálculo, pelo método “trial load”, da barragem do Cabril (figura 2.24).Figura 2.24 – Distribuição da pressão hidrostática pelos arcos horizontais e consolas verticais, radiais, da barragem do Cabril, com indicação das deformadas das consolas [34].
O fecho dos arcos no topo da barragem, pouco solicitados pelo facto da pressão hidrostática não ser muito elevada nesta zona, sofre uma deformação para jusante devido principalmente às deformações das consolas centrais [18]. A rigidez destes arcos contraria a deformação do topo da consola, o que equivale a considerar que o topo da consola central está solicitado por forças que actuam de jusante para montante. A uma maior profundidade, arcos e consola dividem a solicitação entre si.
Uma vez que a rigidez da consola aumenta com a profundidade, a sua influência na absorção da pressão hidrostática também aumenta. A influência da consola relativamente aos arcos, na absorção da solicitação, é também mais elevada nas consolas mais curtas.
A abertura do vale não é, no entanto, o único factor a influenciar a variação da curvatura dos arcos. A forma do vale (“U” ou “V”) é também importante na definição do parâmetro
a
[18]. Para a mesma relaçãoL
H
, um vale em “V” apresenta consolas junto aos encontros mais rígidas do que um vale em “U” e, como consequência, as consolas mais rígidas dispensarão a curvatura dos arcos nessas zonas [18]. O parâmetroa
deve ser mais elevado em arcos de barragens inseridas em vales em “V”, por comparação com os arcos de barragens nas mesmas condições, mas inseridos em vales em “U”.Sempre que as condições topográficas ou geológicas obriguem a um aumento da espessura dos arcos junto aos encontros, a rigidez relativa entre estes e as consolas pode também se alterar nesta zona, modificando também a variação de curvatura ideal para o arco [18]. Existe então a necessidade de estabelecer um critério mais preciso para a determinação do parâmetro
a
, que será a deformação do arco [18].Num arco cuja curvatura tenha sido criteriosamente escolhida, em função da configuração do carregamento externo (forma antifunicular), e em que as condições de apoio induzam exclusivamente esforços tangenciais ao eixo do arco (figura 2.3), não existirão momentos flectores. A deformação sofrida pelo arco (figura 2.25) será apenas consequência do encurtamento do material, submetido unicamente a tensões uniformes de compressão [18]. No caso da pressão hidrostática uniforme, o arco circular estabelece a curvatura adequada para se verificarem as condições anteriores.
No entanto, se os encontros do arco estiverem encastrados, nestas zonas surgem momentos flectores e a deformação (figura 2.26), na mesma zona, é menor do que no fecho [18]. Sempre que os encontros passam a ser encastrados, o surgimento de momentos flectores é inevitável. Uma deformação aceitável para um arco bi-encastrado, solicitado por um determinado carregamento, corresponderia a uma zona central com deslocamentos radiais aproximadamente constantes, ocorrendo depois uma transição suave para a zona próxima do encastramento [18]. Esta situação verifica-se na deformação do arco da figura 2.26. O arco passa a estar encastrado nas extremidades, mas se a forma do antifunicular for mantida, os momentos flectores, apesar de existirem, são reduzidos.
Se a forma do arco for alterada para uma parábola, mantendo o mesmo vão, carregamento, condições de apoio e secção, a deformada (figura 2.27) é muito mais desfavorável e os momentos flectores serão mais elevados. O parâmetro
a
pode então ser escolhido de maneira a estabelecer uma determinada variação de curvatura ao longo do arco, que favoreça a obtenção da deformada pretendida [18].X Y Z
Figura 2.25 – Deformada típica (ampliada) , a traço interrompido, de um arco circular de inércia constante, com apoios radiais deslizantes nos dois encontros (à semelhança daquele representado na figura 2.3), quando submetido à acção de uma pressão radial uniforme.
X Y Z
Figura 2.26 – Deformada típica (ampliada), a traço interrompido, de um arco circular de inércia constante, encastrado nos dois encontros, quando submetido à acção de uma pressão radial uniforme.
X Y Z
Figura 2.27 – Deformada típica (ampliada), a traço interrompido, de um arco parabólico de inércia constante, encastrado nos dois encontros, quando submetido à acção de uma pressão radial uniforme. O comprimento do vector raio no fecho (
0) influência directamente o ângulo de incidência das nascenças do arco nas encostas do vale [18]. Para um determinado valor do parâmetroa
, quanto maior for
0, mais favorável será o ângulo de incidência no terreno [18]. No entanto, o aumento de
0, originando um arco mais abatido, provoca um aumento do esforço normal no arco e também valores de impulsos nas nascenças mais elevados [18]. Um grande aumento do esforço de compressão poderá conduzir à necessidade de aumentar a espessura do arco para reduzir as tensões de compressão, o que provocará um aumento de rigidez da peça e consequente agravamento dos esforços [18]. É então necessário estabelecer um compromisso entre estes factores.Habitualmente, nos arcos do topo da barragem,
0 é determinado impondo um ângulo de incidência de 45º [18]. Nos arcos a uma maior profundidade, é possível manter e até melhorar este ângulo de incidência [18]. No entanto, o ângulo de incidência do arco no terreno pode ser maior do que o ângulo da reacção de apoio do arco com a curva de nível, pelo facto de existir a possibilidade da reacção de apoio não ser tangente ao eixo do arco nas nascenças [18]. Isto poderá acontecer sempre que a resultante de compressões não seja coincidente com o eixo do arco. Na verdade, o verdadeiro ângulo de incidência do impulso do arco no terreno pode não estar contido num plano horizontal, pois a direcção do impulso será coincidente com uma das direcções principais dos esforços na casca, quando solicitada pelas acções externas. O estabelecimento de um ângulo de incidência dentro de limites razoáveis permite precaver a outra situação, descrita anteriormente, relacionada com a necessidade de aprofundar as fundações do arco.Outro factor importante para a escolha de
0, em cada um dos arcos, é a necessidade de obter consolas que possam crescer isoladamente, não colocando em causa os custos e a execução de trabalhos na obra [18]. Ao mesmo tempo, a distribuição do peso próprio da barragem deve ser tal que, quando combinada com a pressão hidrostática, resulte num estado de tensão fundamentalmente de compressão.Se a barragem não for simétrica, o estabelecimento de ângulos de incidência adequados aos dois encontros poderá conduzir à necessidade de estabelecer diferentes raios no fecho para as duas metades do arco [18]. Nesta situação, deverá garantir-se a mesma curvatura para as duas espirais na secção de fecho [18].