Out-of-Sample Analysis

Algumas das diferentes maneiras de conceber a resolução de problemas podem, por vezes, ser associadas a uma filosofia, a uma ideologia mais ampla assumida com respeito ao ensino da Matemática. Ensinar sobre resolução de problemas, que me proponho a discutir nesta seção, corresponde a considerá-la como um novo conteúdo e tem sido associada às opções de ensino feitas após a Matemática Moderna.

Para Lima (1999), o ensino de Matemática deve abranger três componentes

fundamentais os quais chama de conceituação, manipulação e aplicações. Ele explica que durante o período da Matemática Moderna, nas décadas de 60 e 70, ocorreu no ensino de Matemática uma forte predominância da conceituação, em detrimento dos outros dois componentes. E, sob essa ótica, a Matemática que então se ensinava nas escolas era mais "[...] um vago e inútil exercício de generalidades [...]" (p.3)

A frustração resultante da comprovação de que o ensino de Matemática, nesses moldes, essencialmente conceitual e caracterizado pelo excesso de formalismo, não atingiu o resultado esperado, foi evidente. O ensino, durante o período em que se assumiu a Matemática Moderna, preocupava-se excessivamente com as abstrações matemáticas e apresentava uma linguagem matemática universal que, embora concisa e precisa, caracterizava-se por adotar uma terminologia complexa que comprometia o aprendizado, no sentido de que os alunos não conseguiam lhe atribuir significado (ONUCHIC,1999, 2003b;

Capítulo 2 Resolução de Problemas __________________________________________________________________________________________

49

ONUCHIC; ALLEVATO, 2004). Hoje se sabe que tampouco os professores, em sua maioria, compreendiam tal significado.

O quadro de insucesso configurado levou pesquisadores e educadores matemáticos a buscar alternativas para o ensino de Matemática. Voltaram-se, então, os olhos à resolução de problemas. As heurísticas ganharam força, constituindo-se em listas de sugestões e estratégias gerais, independentes do assunto particular. Elas auxiliavam a fazer aproximações, compreender um problema e dispor, eficientemente, os recursos para resolvê-lo. Portanto, foi sedimentada a crença de que era preciso ensinar os estudantes a resolver problemas ou, o que é o mesmo, ensinar sobre resolução de problemas.

Em 1980, Krulik e Reys lançaram o livro do ano do National Council of Teachers of

Mathematics (NCTM)17, totalmente dedicado a temas relacionados à resolução de

problemas, intitulado Problem Solving in School Mathematics. Em toda a obra se percebe a forte ênfase que então se dava às heurísticas como forma de orientar os alunos na resolução de problemas. Alguns capítulos, como o capítulo 3 escrito por Schoenfeld, e o capítulo 14 escrito por Musser, destacam tal enfoque inclusive no título: Heurístics in the

Classroom e Problem-solving Strategies in School Mathematics, respectivamente.

É importante observar que coube a George Polya o privilégio de ser o autor do primeiro capítulo dessa obra. Ressalte-se, ainda, que ao longo de todo o livro se pode perceber a forte influência que suas idéias, apresentadas no livro How to Solve it (1945), exerciam sobre as orientações para a implementação da resolução de problemas em sala de aula. O livro de Polya (1945) tornou-se referência nesse tema e possui uma tradução em português, relativamente recente, intitulada A Arte de Resolver Problemas (1994). Foi nesse trabalho que Polya colocou seu conhecido "roteiro" com orientações sobre como resolver um problema. Tal roteiro está reproduzido na abertura do livro de Krulik e Reys (1980). Dividido em quatro partes, ele indica que devem ser seguidas as seguintes etapas: compreender o problema, estabelecer um plano, executar o plano e fazer um retrospecto para examinar a solução obtida. O livro How to Solve it pode ser considerado, talvez, o mais importante exemplo entre os trabalhos com teor essencialmente voltado a ensinar sobre resolução de problemas.

Polya teve, e ainda tem, muitos seguidores. Pesquisadores, autores de livros e professores que seguem essa abordagem (DANTE, 2000; STEWART, 2001), defendem que, para atender às peculiaridades presentes na tarefa de resolver problemas, é

17

O NCTM é uma organização profissional, sem fins lucrativos. Tem mais de 125 000 membros e é a principal organização para professores de Matemática nos níveis K-12 (nos EUA o ensino obrigatório corresponde aos, assim denominados, prekindergarten até grade 12, pré-primário até a escola secundária).

Capítulo 2 Resolução de Problemas __________________________________________________________________________________________

necessária a adoção de estratégias que devem ser utilizadas a fim de se ter uma orientação especifica de como se resolve um problema, ou seja, ensinam a resolver problemas, ou ainda, parafraseando Schroeder e Lester (1989), "ensinam sobre resolução de problemas."

Essa concepção pode ser percebida no trabalho de Thompsom (1989), no qual sugere que a resolução de problemas deva ser mais um conteúdo a ser ensinado. Esse trabalho, entre outros desenvolvidos e escritos nesse período, traz em suas entrelinhas a expressão da frustração que resultou do ensino de Matemática nos moldes da Matemática Moderna. Além disso, a orientação no sentido de fazer da resolução de problemas o foco da Matemática (NCTM,1980) escolar também não produzira os bons resultados esperados. Iniciava-se uma fase em que se esboçavam linhas para mudanças mas, apesar disso, Thompsom (1989) afirma que a resolução de problemas ainda era, senão a única, a melhor solução para os problemas com o ensino de Matemática. No artigo, a pesquisadora trata das dificuldades em relação a esse tema e reitera as idéias de Schoenfeld (1985) segundo as quais as razões para a complexidade em aprender e ensinar resolução de problemas são devidas às interconexões que o aluno precisa estabelecer entre:

- seus recursos matemáticos, por exemplo o conhecimento de fatos, conceitos e procedimentos;

- heurística, ou seja, métodos e regras de invenção e descoberta matemática; - controle dos mecanismos necessários para coordenar esses recursos e métodos;

- crenças dos alunos sobre a Matemática, em geral, e sobre a resolução de

problemas, em particular; e,

- a variedade de fatores afetivos e contextuais que envolvem a resolução de

problemas.

Especialmente os segundo e terceiro itens, entre os cinco apresentados pela autora, nos remetem à abordagem de resolução de problemas em que se evidenciam as heurísticas. A autora ainda ressalta que se deve buscar respostas à seguinte questão: como ajudar os alunos em cada um dos aspectos anteriores e como ajudá-los a estabelecer a necessária interconexão entre eles? Ainda nesse mesmo trabalho, Thompson (1989) manifesta sua concordância com as idéias dominantes, nessa época, de que não se pode esperar progressos em resolução de problemas enquanto se ensina outras coisas, ou seja, é preciso ensinar a resolver problemas.

Em Thompsom (1989), a primeira concepção percebida entre os professores participantes de sua pesquisa insere-se nessa linha, pois sugere que, para ter sucesso na resolução de um problema, é preciso saber e lembrar o que fazer. Para saber e lembrar o que fazer é preciso aprender antes a fazê-lo.

Capítulo 2 Resolução de Problemas __________________________________________________________________________________________

51

Em seu livro, Dante (2000) afirma que "ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos" (p.30). Assim, considera que resolver problemas é uma das coisas, entre outras, que o professor deve ensinar aos alunos, ou que os alunos devem aprender. Estas outras coisas incluem ensinar conceitos, habilidades e algoritmos. Com isso, o autor deixa claro que a habilidade de resolver problemas não se fará presente ou se desenvolverá como conseqüência natural da aprendizagem de conteúdos matemáticos, conforme muitos acreditam, ou seja, que o aluno que domina os conteúdos não é, necessariamente, um bom resolvedor de problemas. Ele ressalta essa crença acrescentando que a resolução de problemas não constitui "um mecanismo direto de ensino, mas uma variedade de processos de pensamento que precisam ser cuidadosamente desenvolvidos". Desse modo, considera a resolução de problemas como algo peculiar a ser ensinado, ou seja, que ao professor cabe a função de ensinar, também, a resolver problemas.

Dentro desse espírito de ensinar a resolver problemas, autores de livros didáticos recomendam a adoção de estratégias que devem ser ensinadas na resolução de problemas. Dante (2000) nos remete a George Polya (1994) apresentando um resumo das idéias desse estudioso que tem sido considerado, talvez, o mais forte representante dessa concepção. Nos itens que compõem este resumo evidencia-se a visão de que a resolução de um problema deve ser realizada através de estratégias próprias e bem definidas. O resumo traz em sua estrutura o modelo de quatro fases, consideradas por Polya como essenciais na resolução de problemas, caracterizando-se por apresentar uma seqüência de passos a serem seguidos para chegar à solução de qualquer problema. Ademais, por considerar importante que se conheça algumas estratégias específicas para a resolução de problemas, Dante (2000) apresenta, comenta e exemplifica estratégias como: tentativa e erro organizados, procurar padrões e generalizações, resolver primeiro um problema mais simples, reduzir à unidade e fazer um caminho inverso.

Também Gazire (1989) analisa várias das idéias de Polya acerca das ditas heurísticas e explica que, na Educação Matemática, o trabalho com resolução de problemas como novo conteúdo pode ser considerado como uma prática comentada desse tema. Ela lista algumas características desta concepção: munir o aluno de princípios gerais que emergiram da análise e observação de pessoas bem ou mal sucedidas em resolução de problemas; estudo do problema pelo problema, independente do conteúdo; estudo e agrupamento de estratégias para facilitar a resolução de problemas; preparação do aluno para escolher estratégias apropriadas a cada caso; pressuposição de que o aluno já domina o conteúdo.

Capítulo 2 Resolução de Problemas __________________________________________________________________________________________

Um dos problemas que se observou no ensino de Matemática, em que a resolução de problemas era baseada na adoção e domínio de estratégias, é o fato de que muitos entenderam que esse domínio seria atingido pela repetição. No ensino por repetição o aluno era submetido a longas listas de problemas, semelhantes uns aos outros, através dos quais o aluno treinava uma determinada técnica ou estratégia de resolução. Tais listas, constituídas de problemas do mesmo tipo e que podiam ser resolvidos de modo semelhante, visavam promover a fixação do caminho adotado para se chegar à solução. Ademais, se o aluno repetisse, nas avaliações, o que o professor havia feito, concluía-se que o aluno tinha aprendido (ONUCHIC, 1999; ONUCHIC; ALLEVATO, 2004).

Quanto a este aspecto, vale lembrar que a repetição de uma estratégia ou técnica operatória, mesmo que realizada corretamente, não garante a compreensão do conceito ou conteúdo matemático envolvido. Além disso, apesar de ter representado, em grande medida, uma reação ao que se praticava com a Matemática Moderna, entendo que as estratégias ensinadas dentro desta concepção, de ensinar sobre resolução de problemas, embora sob nova forma, também se apresentam imbuídas de um certo caráter genérico que tanto foi criticado na Matemática Moderna. Enquanto essa buscava estruturar toda a Matemática a partir da teoria dos conjuntos, no ensino sobre resolução de problemas estruturou-se a atividade matemática com base em estratégias, também mantendo as generalidades, desconsiderando as aplicações e desvinculando os problemas de seu contexto específico. Os conteúdos continuam sem sentido para o aluno, que é privado da oportunidade de descobrir por si mesmo.