O já citado trabalho de Thompson (1989) constitui-se num exemplo de que diferentes concepções sobre resolução de problemas muitas vezes se fazem simultaneamente presentes. Nele lê-se, em alguns pontos, a expressão "ensinar para a resolução de problemas"18 utilizada pela autora para designar uma abordagem que envolve, além de propor problemas para os alunos resolverem, ajudá-los a utilizar e relacionar os recursos matemáticos que conhecem com os métodos de resolução e a coordená-los com fatores afetivos e contextuais.
Essa é a visão que considera a Matemática como utilitária de modo que, embora a aquisição de conhecimento matemático seja de primordial importância, o propósito principal do ensino é ser capaz de utilizá-lo. Nessa concepção o professor concentra-se no modo como a Matemática que está sendo ensinada pode ser aplicada na resolução de problemas.
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Ele se preocupa com a habilidade dos alunos de transferirem o que aprenderam num contexto para problemas em outros contextos, ou seja, ele ensina para a resolução de problemas.
Um estudo desenvolvido por Penteado Silva (1989), entre professores de 5a série do 1o grau, revelou que a maioria deles apresenta os problemas após desenvolvida a parte teórica referente a um determinado tópico, de fato como aplicação de conteúdos.
Um grande perigo da adoção dessa visão é que ela pode levar a configurar a resolução de problemas como uma atividade que os alunos só podem realizar após a introdução de um novo conceito, ou após o treino de alguma habilidade de cálculo ou de algum algoritmo (SCHROEDER; LESTER, 1989; GAZIRE, 1988). Portanto, de acordo com essa visão, a Matemática freqüentemente é ensinada separada de suas aplicações. Isto faz com que esse modelo seja melhor aplicado a problemas rotineiros, uma vez que problemas não rotineiros exigem mais do que um único conceito, operação ou estratégia para a sua resolução. Eles, em geral, requerem interpretação, transferência de conhecimentos e elaboração de conjecturas. A concepção da resolução de problemas como aplicação de conteúdos, considerada simplista pelos autores, pode ser representada pelo seguinte diagrama:
É possível perceber que a concepção que ora descrevemos se refere à tendência que Contreras e Carrillo (1998) denominaram tendência tecnológica na resolução de problemas. Nela, os problemas apresentam-se como questões propostas ao final dos temas e como aplicação da teoria desenvolvida, ou seja, a resolução de problemas é utilizada para dotar a teoria de um significado prático. Nesse contexto, o aluno capta, repete estilos e aceita processos e resultados; sua atividade se limita a tentar assimilar os conceitos teóricos aplicando-os e reconstruindo processos. O professor propõe e contextualiza o problema, espera e corrige as respostas dos alunos, oferece chaves semânticas explícitas e implícitas
Representação matemática Solução matemática Solução do problema real Problema do mundo real Mundo matemático Mundo "real" (SCHROEDER E LESTER, 1989, p.35)
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e, finalmente, expõe seu processo de resolução como o mais correto. A avaliação é, portanto, um recurso sancionador em que os processos são considerados adequados ou não, de acordo com o que foi previsto pelo professor.
Van de Walle (2001) dá a esse tipo de abordagem de ensino o nome de paradigma do teach-then-solve, referindo-se à abordagem em que há uma nítida separação entre o que é ensinar Matemática e o que é resolver problemas, realizados nessa ordem.
Tal compreensão é compartilhada por Santos (2002). Ele assevera que nessa abordagem, freqüentemente o professor inicia comunicando o novo conteúdo, mostrando, em seguida, algumas aplicações através de exemplos. Segue-se, então, uma bateria de exercícios em que o aluno deverá aplicar o novo conhecimento; são os chamados exercícios de fixação.
Brasil (1964) dá a essa forma de ensinar o nome de ensino "atomístico": consiste em utilizar muitas aulas ensinando aos alunos os "átomos" necessários à compreensão de um conteúdo maior ou à solução de um problema, ambos posteriores àquelas aulas. Ressaltam- se primeiramente os aspectos lógicos para, depois, aplicar o conteúdo à resolução de problemas. Tais problemas são empregados como um meio de verificar se o aluno aprendeu a aplicar a teoria, ou como exercício para a fixação da aprendizagem.
Nas considerações que apresenta sobre as aplicações da Matemática, Lima (2000) advoga que correspondem a empregos das noções e teorias da Matemática para obter resultados, elaborar conclusões ou previsões em problemas que vão desde situações simples do dia-a-dia até questões mais sutis relacionadas a outras áreas científicas, tecnológicas ou sociais. Ele considera que "[...] as aplicações constituem a principal razão pela qual o ensino de Matemática é tão difundido e necessário [...]" (p.2), e acrescenta que, da forma como entende, as aplicações do conhecimento matemático incluem a resolução de problemas. Ao analisar o papel que os exercícios de manipulação desempenham na resolução de problemas, ele reconhece que o manuseio eficiente de expressões numéricas e símbolos favoreça a formação de hábitos mentais desejáveis a quem faz Matemática. Tais exercícios, segundo ele, são imprescindíveis, entretanto precisam ser, entre outras coisas, comedidos e, sempre que possível, úteis ao emprego posterior, ou seja, passíveis de aplicação.
Lima (2000) reforça, ainda, a grande importância que atribui à aplicação dos conteúdos matemáticos na resolução de problemas quando afirma que "encontrar aplicações significativas para a matéria que está expondo é um desafio e deveria ser uma preocupação constante do professor" (p.5).
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Com certeza, os usos e aplicações da Matemática merecem a atenção do professor e alunos, entretanto, a Matemática não pode ser ensinada como um acessório, subordinada a seus campos de aplicação. Os conceitos, as relações entre eles e os princípios que os unificam devem ser compreendidos.(ONUCHIC, 1999, 2003a; ONUCHIC; ALLEVATO, 2004)
Entendo que esta forma de considerar a resolução de problemas ajude a tornar o ensino de Matemática mais interessante e dotado de sentido para os alunos. Porém pode também favorecer, nos alunos, a formação de uma concepção de Matemática que considero limitada: a de que a Matemática é "utilitária", ou seja, de que ela sempre tem (ou deveria ter) aplicação imediata. As limitações desta visão a respeito da Matemática, da forma como entendo, ocorrem por duas razões: porque limita a atividade do aluno à resolução de problemas rotineiros, uma vez que os problemas devem exigir a aplicação da teoria matemática já supostamente aprendida pelos alunos; e, também, porque ignora o potencial formador da Matemática, no tocante ao desenvolvimento do raciocínio, da capacidade de abstrair, relacionar, representar, tomar decisões e, por que não, criar.