Os atuais programas de Matemática contemplam cada vez mais o uso desta disciplina como uma forma poderosa de compreensão e intervenção no real. Neste contexto faz todo o sentido trazer situações do mundo real para a sala de aula e usar a Matemática para a sua compreensão. Estamos inseridos numa sociedade cada vez mais matematizada e para a compreender são usados cada vez mais modelos matemáticos em todas as áreas do saber. Mas o que é modelação matemática? Como se faz? Para que serve e com que objetivos? De que forma se integra no currículo? Esta secção dedicar-se-á a tentar dar respostas e clarificar estas questões com o objetivo de caracterizar modelação matemática e perceber como ensinar Estatística com recurso a esta.
Definição de modelação matemática
A modelação matemática surge da necessidade do Homem em compreender os fenómenos que o cercam para interferir ou não no seu processo de construção e é uma forma privilegiada de resolução de problemas do mundo real.
A palavra modelação aparece intimamente associada aos problemas da realidade, procurando-se sistematizar dados obtidos da realidade e analisá-los sob pontos de vista matemáticos, conjeturando fórmulas, gráficos ou esquemas para interpretá-los e extrapolar para outras situações previsíveis, da realidade.
Apresentaremos algumas definições de modelação matemática encontradas na literatura. Bassanezi (1994) refere que:
A modelação matemática é um processo dinâmico de busca de modelos adequados, que sirvam de protótipos de alguma entidade. (Bassanezi, 1994, p. 45)
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Para Bassanezi (2002), o processo de modelação consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e de resolvê-los interpretando as suas soluções na linguagem do mundo real.
Numa visão semelhante, Biembengut (1997) descreve modelação matemática como o processo requerido para obtenção de um modelo matemático. Acrescenta, no entanto, que tal processo pode, sob alguns aspetos, ser considerado um processo artístico. Na perspetiva da autora, para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o “modelador” deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta para descrevê-lo, além de senso lúdico para “jogar” com as variáveis envolvidas. Biembengut (1997) considera que a modelação é como um meio para integrar dois conjuntos aparentemente disjuntos: matemática e realidade. Isto sugere traduzir a linguagem do mundo real para a linguagem do mundo matemático, ou seja, relacionar dois domínios ou mundos distintos.
Outros autores como Swetz (1992) definem modelação matemática como um: “processo de idealizar um modelo matemático” (Swetz, 1992, p. 45).
Para Swetz (1992) a modelação matemática é uma forma privilegiada de resolução de problemas da vida real e apresenta as seguintes fases do processo de modelação matemática: formular o problema; isolar os fatores relevantes (quais os parâmetros? Quais as variáveis?); determinar as relações matemáticas que existem, os fatores relevantes e que são úteis para resolver o problema; estabelecer a relação e criar um modelo; testar o modelo, determinar valores para situações conhecidas e examinar o ajustamento; refinar o modelo, para obter informações mais úteis e precisas.
Segundo Niss (1992), a modelação está associada à aplicação da matemática a situações e problemas extra matemáticos e ocorre por meio de modelos matemáticos. Um caso de modelação matemática para que seja considerado autêntico terá que estar associado a uma disciplina ou atividade existente fora da Matemática e que compreende fenómenos, objetos, questões e problemas que têm interesse genuíno de uma perspetiva extra matemática para pessoas ligadas a essa disciplina ou atividade, ideia esta também defendida por Ferri (2006), tal como mostraremos na secção seguinte. Esta autora apresenta as várias fases da modelação matemática: clarificar o objetivo de aplicar um modelo matemático ao contexto dado (problema); especificar os aspetos a considerar e as questões a responder, tal como assunções e condições subjacentes; realizar o processo de
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matematização, isto é, traduzir os elementos e relações importantes da situação extra matemática para um universo matemático, o que conduz a um modelo matemático; métodos e resultados matemáticos para obter resultados matemáticos a respeito das propriedades dos modelos; interpretar esses resultados em termos da situação extra matemática; validar o modelo.
A modelação, ao ser essencialmente entendida como um processo, como foi referido anteriormente, é descrita, usualmente, através de um esquema: o ciclo da modelação. Vários autores (por exemplo, Kerr & Maki, 1979; Lesh, 1981; Ponte, 1992; Lança & Canavarro, 2008; Lesh & Zawojewski (2007), Ferri (2006)) apresentaram diferentes versões para este ciclo. Alguns desses modelos serão apresentados na próxima secção.
Modelo matemático e ciclos de modelação
Um modelo físico é uma construção que reproduz um objeto real. À semelhança dos modelos físicos, também os modelos teóricos podem ser construídos. Um modelo teórico é um conjunto de regras e leis que representa um objeto ou fenómeno (Swetz & Hartzler, 1991).
O modelo matemático pode ser definido como uma estrutura matemática que descreve, aproximadamente, as características de um fenómeno em questão e pode ser determinado através da experimentação, observação e cálculo (Swetz & Hartzler, 1991). Segundo Edwards e Hamsom (1990) um modelo matemático é o produto da transferência de um conjunto de elementos matemáticos (como sejam, funções ou equações), com vista à obtenção de uma representação matemática de uma parcela do mundo real. Já para Swetz e Hartzler (1991), modelo matemático de um objeto ou de um fenómeno real é um conjunto de regras ou leis, de natureza matemática, que representam adequadamente o objeto ou o fenómeno na mente de um observador.
Entre estas duas definições existem algumas diferenças, sobretudo no que se refere à aplicação da matemática para explicar uma parcela do real. Em qualquer dos casos, é necessário, previamente, definir-se a situação real que se quer estudar, ou seja, identificar com precisão em que consiste o problema. Uma vez ultrapassada esta fase, segue-se a escolha da estrutura matemática utilizada para representar o problema, ou seja, são escolhidas as variáveis que se relacionam de algum modo. Definida a formulação
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matemática do problema, esta terá que ser testada e analisada de modo a retirar conclusões. Estas, por sua vez, terão que ser interpretadas à luz da situação inicial. É esta a fase de avaliação do modelo. Posteriormente, consoante os resultados, decide-se redefinir o problema, considerar novas variáveis ou alterar a via de resolução. Toda esta descrição constitui um ciclo, o ciclo de modelação.
No ciclo de modelação elaborado por Kerr e Maki (Fig. 1) está presente o modelo para a sala de aula, o que o torna particularmente interessante para a educação. Este modelo para a sala de aula implica uma maior simplificação do problema, considerando- se apenas o que é mais relevante e, como tal, abandonando alguns dos seus aspetos (Matos & Carreira, 1994b), com vista a torná-lo mais interessante e compreensível para os alunos.
Figura 1: Modelação na sala de aula (Kerr & Maki, 1979)
Podemos interpretar o ciclo de modelação de Kerr e Maki da seguinte forma: a primeira etapa consiste em identificar o problema do mundo real; depois, na seguinte fase do processo de modelação, constrói-se um modelo real da situação problemática, para o qual é necessário identificar e definir em que consiste o problema. Por sua vez, este modelo real será traduzido por uma estrutura matemática onde são representadas as variáveis e estabelecidas as relações existentes entre si, isto é, é feita a substituição das palavras e conceitos por símbolos e expressões matemáticas – surge, então, o modelo matemático. É neste modelo matemático que procuramos utilizar as ferramentas matemáticas ao nosso dispor para o analisar, de modo a chegar a novas conclusões (Kerr & Maki, 1979; Ponte, 1992). Estas conclusões ou resultados têm de ser interpretados de acordo com a situação real, de modo a ser avaliada a adequação e utilidade do modelo ao
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objetivo inicial. Evidentemente, nem sempre é obtido o modelo mais indicado e, nestes casos, terá de ser construído um novo modelo.
Ponte (1992) refere que um modelo é uma descrição simplificada duma situação, real ou imaginária. Em Ponte (1992), por exemplo, podemos encontrar uma versão do ciclo de modelação onde não consta o modelo para sala de aula. No entanto este autor valoriza o recurso a estas tarefas dentro da sala de aula, descrevendo as etapas do ciclo como se este se desenvolvesse neste contexto. Para este autor, o primeiro passo do ciclo de modelação é traduzir a situação real através de um problema; a seguir temos que escolher uma estrutura matemática (modelo matemático) para o representar; ao mesmo tempo sugere que se selecione as variáveis que estão evidentes na formulação do problema e se estabeleçam relações entre si; posteriormente e uma vez representado o problema, usamos as ferramentas matemáticas que o conhecemos para o analisar e tirar conclusões; de seguida refere que as conclusões obtidas têm que ser interpretadas de acordo com a situação do mundo real e criticadas; por último temos que avaliar a adequação do modelo inicial e caso este não seja adequado temos que reajustá-lo, procurar novas variáveis, estabelecer novas variáveis e se for preciso repetir várias vezes este ciclo até obtermos resultados que consideremos satisfatórios e adequados à situação real inicial. Como se constata, este autor, não fala como em outros ciclos apresentados por outros autores, em modelo para a sala de aula, pois fala da constituição do modelo e “salta” para o modelo matemático, no entanto está subjacente que este está presente e é construído durante todo este processo de modelação.
Alguns autores defendem que os modelos matemáticos podem assumir naturezas diversas. Carreira (1995), por exemplo, distingue três grandes etapas para as aplicações e modelos matemáticos: a descrição, a prescrição e a previsão, também defendido por Lesh e Zawojewski (2007), como descreveremos em parágrafos seguintes. O caráter descritivo da matemática pode ser exemplificado quando, ao nos confrontarmos com uma dada situação problemática real, questionamos o que nos é apresentado e traduzimo-lo para linguagem matemática. O caráter prescritivo dos modelos matemáticos está presente especialmente em situações reais no contexto social, quando, após a obtenção dos resultados de um modelo, tomamos decisões quanto ao que fazer. O aspeto preditivo dos modelos matemáticos será aquele que, em contexto de sala de aula, mais nos interessará. Ormell (1991) dá um grande destaque à natureza projetiva dos modelos matemáticos, afirmando tratarem-se de instrumentos de simulação de hipóteses. Este tipo de modelação
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é usado para se saber o que esperar de uma determinada alteração no modelo inicial, através da análise de um cenário de implicações onde são definidos critérios para a manipulação das variáveis. Estes critérios visam, por sua vez, a maximização de vantagens e a minimização de desvantagens (Carreira, 1995). Este aspeto de previsão dos modelos matemáticos está bem explícito na definição de modelo matemático dada por Canavarro (2004):
Um modelo matemático é algo que nos ajuda a compreender melhor uma situação e proporciona-nos o poder de prever aquilo que não conhecemos. Por isso é muito mais importante que descreva bem o essencial do fenómeno e que proporcione as indicações pertinentes sobre o futuro do que não se adapte perfeitamente ao início da situação (...) (p. 63).
Neste contexto, o crucial é que o modelo que é criado inicialmente nos ajude a conjeturar e testar hipóteses emergentes do problema, de modo a que nos possibilite a previsão de resultados. Esse modelo como pode ser reajustado, caso não se adapte exatamente à situação inicial, proporcionará após reajustes e testagens de novas hipóteses, à construção de um novo modelo.
Edward e Hamson (1990) defendem que ao ser criado um modelo matemático dá- se um deslocamento do mundo real para o mundo abstrato dos conceitos matemáticos e, depois de utilizado o modelo para responder ao problema, dá-se um novo deslocamento para retornar ao mundo real, com vista a interpretar a solução encontrada matematicamente, no contexto. Estes deslocamentos foram também considerados por Lesh e Zawojewski (2007) quando consideraram o esquema da figura 2 que ilustra ciclos na modelação:
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A resolução de problemas de modelação requer que os alunos tenham um determinado tipo de pensamento, perante um problema real, mais relacionado com aspetos de estrutura e sistematização, revelando aspetos muito pessoais da sua forma de pensar enquanto indivíduo. Contudo, há um ciclo comum, apresentado na figura 2, que todos os estudantes devem percorrer enquanto estão envolvidos em tarefas de modelação. A descrição refere-se à criação do modelo que envolve uma transição do “mundo real” para o “mundo modelado”. A manipulação do modelo matemático acontece dentro do “mundo modelado” quando nele se executam operações relacionadas com questões e hipóteses provenientes do “mundo real”. A previsão (Prediction) transporta os resultados relevantes do “mundo modelado” para o “mundo real”, sendo a verificação o processo de validar de forma crítica no “mundo real”, os resultados obtidos no “mundo modelado”. Caso os resultados não sejam válidos no contexto real é necessário proceder a testes e revisão do processo experimental. É neste sentido que as tarefas de modelação oferecem a possibilidade de desenvolver o espírito crítico dos alunos, preparando-os para serem agentes ativos e críticos na sociedade atual.
Um outro ciclo de modelação (Figura 3) de Ferri (2006) sugere que se comece com uma construção real da situação, de modo que o aluno consiga de imediato e com o conhecimento extra matemático que possui estabelecer uma conexão com a realidade.
Figura 3: Ciclo de modelação de Ferri (2006)
Segundo Ferri (2006), a primeira fase começa com uma situação real, sendo importante que haja uma construção da representação real, por exemplo foto, de modo a captar a atenção do aluno e a possibilitar a conexão imediata com o mundo real. A
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segunda fase passa pela construção do modelo real. Os alunos ao compreenderem a situação real, são eles próprios que criam as suas próprias associações no que respeita aos elementos da realidade apresentados, tendo em conta o conhecimento extra matemático que possuem. A um nível muito inconsciente eles começam a construir o chamado modelo real. A partir do modelo real, entramos na terceira fase do ciclo,a construção do modelo matemático. Os alunos mobilizam fortemente o seu conhecimento extra matemático e transformam o modelo real em algo matemático, passando das ideias e palavras para uma linguagem matemática. A seguir, os alunos irão trabalhar matematicamente, quarta fase do ciclo de modelação. Aplicando conhecimentos matemáticos, os alunos trabalham com o modelo obtido e chegam a resultados matemáticos. Ao obterem resultados os alunos terão que interpretá-los (quinta fase do ciclo de modelação), tendo em conta a situação real e a seguir terão que validar o modelo (sexta fase do ciclo de modelação), que consiste na comparação entre a matemática e a realidade.
Ao comparar os três ciclos de modelação, o modelo de Lesh é um refinamento do modelo de Kerr e Maki, já justificado anteriormente. O modelo de Lesh é o que se salienta por ser o mais “diferente”, pelo menor número de fases e pela abrangência. Numa primeira leitura poderá levar a que o leitor o ache “simplista”, o que na realidade não é, pois prevê três fases importantes: a descrição, a prescrição e a previsão, já discutidas anteriormente por Carreira (1995). Em Lesh, tal como em Ferri, existem dois mundos paralelos, o real e o mundo matematizado, onde se manipulam dados e a partir do qual se fazem previsões para o mundo real. O modelo de Ferri alerta para a necessidade de construir uma tarefa que permita uma construção real da situação e representativa para os alunos. É o único modelo que enfatiza esse aspeto. Este modelo é o único que se preocupa com critérios a ter em conta na construção de tarefas de modelação e os vários tipos de modelação que poderão existir e o único modelo a dar ênfase à importância do conhecimento extra matemático e à representação mental da situação proposta. Os ciclos de Kerr e Maki e de Ferri são semelhantes no percurso do processo de modelação, embora o de Ferri pareça mais completo (pois traduz a diferença entre o real e o real tal como nos vemos/interpretamos), referindo- se ao conhecimento extra matemático, o que nos leva a interpretar que este tipo de conhecimento é essencial para a construção do modelo real e consequentemente do modelo matemático. E será esse conhecimento que permitirá validar o modelo matemático a partir
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da testagem desse mesmo modelo e seu refinamento ou não consoante a interpretação dos resultados obtidos e sua adequação à situação real.