Finalidades da modelação no ensino da Matemática
Cada vez mais se dá importância ao trabalho com modelação matemática no ensino da Matemática. Os vários programas enfatizam a implementação de tarefas de modelação matemática. Nas "Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar" do NCTM (1991) recomenda-se que todos os alunos: “apliquem o processo de modelação matemática a situações problemáticas do mundo real” (p. 163).
Ainda antes de aparecerem os Principles and Standards for School Mathematics elaborados pelo NCTM, Griffiths e Howson (1974) (referidos em Matos & Carreira, 1994b), também indicavam várias razões para a integração curricular da modelação e aplicações matemáticas, de entre as quais se destaca, digamos, uma razão social: “preparação dos alunos para uma melhor inserção na sociedade” (Matos & Carreira, 1994b, p. 11).
Nesta perspetiva, que em certos aspetos coincide com o NCTM, o cidadão deveria ter a capacidade de criticar modelos e processos matemáticos, de desmontar exemplos de matemática aplicados a fenómenos reais e de questionar o uso de modelos matemáticos na sociedade na qual está envolvido (Carreira, 1995). Por outro lado, as exigências de formação profissional dos indivíduos e um mercado de trabalho em constantes mutações constituem também motivos para a inclusão de aplicações da matemática no ensino da disciplina (Carreira,1992). Para além desta razão social para a inclusão das tarefas de modelação no currículo, Griffiths e Howson (1974) apontaram outras quatro: (a) como elemento motivador; (b) como componentes culturais; (c) Como forma de evitar aprendizagens incorretas; (d) Como forma de reconhecimento de estruturas na presença de ruído. Quanto ao elemento motivador apontado por Griffiths e Howson (1974), também Pires (2001) afirma que a modelação matemática se revela uma forma eficaz para motivar os alunos e despertar o interesse dos mesmos pela disciplina. Carreira (1992), por seu lado, menciona que a modelação matemática é do agrado dos alunos, evidenciando- se uma maior motivação nestes para com a disciplina. Partilhando a ideia de Griffiths e
30
Howson (1974), Carreira (1992) refere-se às tarefas de modelação como uma mais-valia para evitar aprendizagens incorretas, dando um exemplo: por vezes, os alunos usam a matemática nas aulas de Física sem terem adquirido as noções corretas, valorizando a memorização de fórmulas que não são compreendidas. Se estes alunos trabalharem a Matemática envolvida nos tópicos de física nas aulas de Matemática, podem vir a compreendê-la verdadeiramente. O sucesso desta solução depende de uma cooperação entre as duas disciplinas. Por fim e tendo em conta a última razão apontada Griffiths e Howson (1974), podemos adiantar que o recurso às tarefas de modelação pode ajudar os alunos a reconhecerem estruturas, conceitos e regras matemáticas em diversos contextos extra matemáticos. Segundo estes autores, neste sentido as propostas pedagógicas deverão incorporar a construção de modelos matemáticos concretos da física, da química e da própria matemática onde se reconheçam uma determinada estrutura matemática.
Niss (1992) também apresenta algumas justificações para que a modelação matemática seja integrada na escola e no currículo: (a) uma delas é que a Matemática tornou-se uma disciplina para todos e porque a competência matemática tem adquirido uma extrema e crescente importância para um grande número de profissões, assim como a preparação de jovens para as constantes mudanças da sociedade; (b) para que os alunos perante situações do mundo real consigam usar matemática não é suficiente saber-se apenas matemática pura; (c) serve de motivação e apoio para a aquisição e compreensão, pelos estudantes, métodos e resultados matemáticos; (d) a modelação matemática permite tornar visível o significado da Matemática para compreender o mundo, criando situações autênticas. Uma dificuldade apontada tem a ver com a autenticidade das situações a modelar; se as situações não forem autênticas, isto é, não representarem situações do mundo real, os alunos poderão pensar que estas são um jogo e afinal a matemática escolar não terá poder suficiente para enfrentar situações e problemas da realidade concretas, assumindo aos olhos dos alunos, um papel inútil.
Para Swetz (1992) existem razões para que se integre modelação matemática na escola: (a) permite preparar jovens para atuarem de forma conhecedora e confiante em situações problemáticas do mundo real; (b) coloca em ação uma variedade de competências matemáticas e força a atenção sobre o problema como um todo, e não sobre uma solução única; (c) a modelação permite a compreensão do fenómeno e adquire uma natureza ativa e dinâmica em vez de estática e passiva. Quem constrói o modelo experimenta uma sensação de participação e controlo no processo de solução; (d) permite
31
a manipulação de vários parâmetros e variáveis; (e) a modelação ajuda a exteriorizar a dinâmica que é inerente a muitas situações problemáticas; (f) os alunos podem apreciar melhor certos conceitos como as limitações de um dado processo e a sua maximização; (g) a modelação permite uma melhor perceção do poder da matemática e (h) pode permitir a introdução de novos conceitos. Este autor ideia também já referida por Niss, menciona uma dificuldade inerente à modelação matemática em sala de aula, se esta não for integrada e contextualizada: a separação e o isolamento da modelação matemática em relação ao resto do currículo tende a levantar nos alunos a suspeita de estarem perante algo estranho ou difícil.
Também Swetz e Hartzler (1991) referem que a modelação matemática deve ser incluída no ensino da disciplina por focar uma grande variedade de capacidades e competências matemáticas e cognitivas de ordem superior, na procura da solução para uma questão e por proporcionar aos alunos uma ampla visão de aplicações matemáticas no mundo real. No entanto, o mundo real onde são contextualizados os problemas e tarefas deve ter significado para os alunos, pois a Matemática útil é aquela que os alunos conseguem aplicar em coisas do seu interesse (Lesh, 1979).
Fuller (2001) refere que a modelação matemática, ao incidir sobre suposições e a formulação de hipóteses, a definição de variáveis e a aplicação matemática a problemas úteis e interessantes para os alunos e o mundo que os rodeia, pode tornar a matemática mais apelativa (ideia defendida por Niss (1992)), reforçando assim o argumento da modelação enquanto elemento motivador. Deste modo, se existe interesse e motivação e se os alunos dispõem de recursos para explorar e investigar os aspetos de um mesmo problema, então os conteúdos terão hipóteses de ser melhor consolidados e aprendidos.
Carreira (1992) aponta duas linhas de orientação dos argumentos para a inclusão das tarefas de modelação no currículo: uma corrente pragmática, a qual, por um lado, deseja uma mudança nos conteúdos a serem ensinados que devem ser aplicáveis a situações da vida real assim como a outras ciências e, por outro, pretende a introdução de momentos destinados ao treino da aplicação de métodos matemáticos para a resolução de problemas reais; uma corrente científica humanista, que se preocupa mais em contextualizar o ensino da Matemática e em oferecer uma visão adequada da disciplina enquanto ciência. Neste sentido, as maiores preocupações residem na forma de introduzir e explorar os conceitos matemáticos.
32
Doerr e English (2003), baseando as suas conclusões numa investigação na qual propuseram aos alunos tarefas de modelação matemática no âmbito da Estatística, também apresentam um conjunto de contribuições e implicações deste tipo de tarefas no ensino da matemática. Entre essas contribuições, estes autores destacam que os alunos podem desenvolver, de forma independente do professor, ideias matemáticas verdadeiramente importantes. Afirmam também que, durante a resolução destas tarefas, os alunos desenvolvem capacidades de comunicação e de partilha de ideias e, como tal, desenvolvem o espírito de tolerância e de respeito pelos colegas. Uma outra contribuição que estes autores destacam é que este tipo de tarefa permite diferentes abordagens e resoluções de problemas experimentais da vida real. Ao nível das implicações das tarefas de modelação para o ensino, os autores evidenciam sobretudo três. A primeira prende-se com o facto de que enquanto os alunos desenvolvem estas tarefas reveem e redefinem as suas formas de raciocínio e expandem a própria forma de pensar sobre o problema. Uma outra implicação relaciona-se com o facto de que as diferentes formas de abordagens dos problemas dão aos alunos, assim como aos professores, oportunidades de ver e compreender interpretações e visões alternativas do problema. A terceira implicação a que se referem estes autores é a mais centrada no professor, uma vez que nela é expressa a ideia de que a categorização do raciocínio dos alunos será bastante útil para que o professor elabore um esquema de forma a reconhecer quais as possíveis abordagens que os alunos farão às diversas tarefas.
Podemos afirmar que são as tarefas de modelação, que levam a que os alunos aprendam a conjeturar, a experimentar diversas abordagens para resolver problemas, construir argumentos matemáticos (NCTM, 2000) e a aplicar conceitos e processos matemáticos para resolver situações relacionadas com a realidade. Estas tarefas devem ser desenvolvidas em sala de aula em ambientes adequados, os quais são criados, em grande parte, pelos professores. A aprendizagem dos alunos, quando lhes é proposta uma tarefa de aplicação ou modelação matemática, é muitas vezes mais eficaz do que esperar que aprendam um método ensinado pelo professor, pois são eles a descobrir a forma de resolverem uma dada questão e não apenas a aplicar um procedimento rotineiro (Ponte, 2004). A modelação surge como uma orientação metodológica em documentos internacionais e nacionais, sendo entendida por alguns autores (Blum & Ferri, 2009; Kaiser, Blum, Ferri & Stillman, 2011) como uma forma de promover uma mudança no ensino da Matemática, promovendo o trabalho interdisciplinar.
33
As tarefas de modelação
Na sua prática de ensino, um professor pode propor diversas tarefas aos seus alunos. Ponte (2005) aponta variadas hipóteses: problemas, exercícios, tarefas de investigação, projetos e tarefas de modelação. Mas o que são tarefas de modelação? Quais os critérios a ter em conta na elaboração/criação de uma tarefa de modelação? As tarefas de modelação poderão partir de situações reais e conhecidas pelo aluno ou então de situações que possibilitem a mobilização do conhecimento extra matemático do aluno no reconhecimento dessas situações como significativas para ele. O que se deve ter em conta, primeiramente, na criação de uma tarefa modelação é o contexto (Matos & Carreira, 1994b), o partir de situações reais e significativas para o aluno, indo ao encontro do seu interesse. Estas tarefas requerem a construção de um modelo matemático e exigem a formulação de questões pertinentes acerca da situação, bem como a seleção dos fatores considerados mais relevantes nessa situação, a identificação das variáveis que lhe estão associadas, a experimentação e a análise da adequação do modelo matemático à situação. As tarefas de modelação consoante o grau de estruturação poderão aproximar-se da resolução de problemas ou de investigações. Lesh e Yoon (2007) definem tarefas geradoras de modelos matemáticos (modeleliciting activities) como resolução de problemas dos quais se extraem modelos matemáticos, mas que requer dos alunos a explicitação dos seus raciocínios de modo a testá-los e refiná-los várias vezes, se necessário. As soluções e conclusões finais da atividade matemática baseada em tarefas geradoras de modelos matemáticos envolvem, obviamente, o modelo matemático criado e, também, todo o processo desenvolvido e inerente à sua construção, que inclui os sistemas de conceitos que esse modelo possa envolver. Lesh e Yoon (2007) apresentam os princípios que consideram fundamentais ter em conta na conceção de tarefas geradoras de modelos matemáticos:
(i) Devem permitir aos alunos envolverem-se no problema de modo que sintam a necessidade de rever ou aperfeiçoar as suas formas atuais de pensamento sobre a situação/problema; (ii) Devem fazer com que os alunos se sintam desafiados e motivados a expressar o seu conhecimento atual sobre o problema, de modo que eles mesmos o possam testar e rever várias vezes; (iii) Devem impelir os alunos a partilhar, com os seus pares, as ferramentas conceptuais que constroem e, também, a reutilizá-las noutros contextos, além da situação específica em que as construíram (p.163).
Kaiser e Maaβ (2007) referem que a resolução de problemas de modelação matemática promove um maior enriquecimento da educação matemática porque toda a
34
atividade matemática dos alunos, decorrente destes problemas, é diversificada e por isso mais rica, no sentido em que se relacionam e interagem na sala de aula com uma diversidade de conhecimentos, não só matemáticos, como também sociais, ou baseados nas vivências e crenças dos alunos. O equilíbrio entre uma formulação mais aberta do enunciado da tarefa e a necessidade, por parte dos alunos, de simplificá-la, dentro da complexidade do mundo real, permite desenvolver na sala de aula discussões ricas acerca da resolução do problema e do estabelecimento de relações a partir das diferentes atividades matemáticas dos alunos, de acordo com as suas capacidades e perspetivas.
As tarefas de modelação poderão ter várias “entradas”: poderá ser dado à partida o modelo matemático; não ser dado o modelo matemático e este ser construído a partir de dados fornecidos ou mesmo serem os próprios alunos a recolher os dados reais e a partir desses construírem o modelo matemático que melhor se ajuste a esse conjunto de dados. A decisão quanto ao grau de estruturação da tarefa de modelação cabe ao professor e deve ter em conta os objetivos dessa tarefa, o contexto, os alunos em questão, os conteúdos matemáticos e o ciclo de modelação. Como já foi referido é crucial o contexto, pois é importante que os alunos reconheçam nesse, algo motivador, conhecido e de utilidade e que consigam mobilizar o conhecimento extra matemático (Ferri, 2006) na construção do modelo para a sala de aula e identifiquem as variáveis que terão que manipular de modo a que consigam testar esse modelo e reajustá-lo caso seja necessário.