3. Assessments and Scientific Support
3.2 NORM Waste Management in Norway
A ênfase dada ao sentido de número no currículo de Matemática nos primeiros anos é bastante recente e muita da sua caracterização (Greeno, 1991; Howden, 1989; NCTM, 1991; 2007; Reys & Yang, 1998; Reys & Reys, 1998; Sowder, 1992; Sowder &
Schappelle, 1994) foca a sua natureza intuitiva, o seu desenvolvimento gradual e o modo como se manifesta. Segundo Yang et al. (2008b) “No século XXI, ajudar os alunos a desenvolver o sentido de número está sendo considerado, à escala global, como uma tarefa chave na educação matemática” (p. 805), reforçando, deste modo, a sua importância, quer no currículo de Matemática, quer no desenvolvimento matemático dos alunos.
Sowder (1992) salienta que um pré-requisito importante para os alunos poderem estimar é desenvolver uma intuição quantitativa, ou seja, um sentido para as quantidades representado por números. Howden (1989) ao descrever o sentido de número refere também a importância da intuição acerca dos números:
O sentido de número pode ser descrito como uma boa intuição acerca dos números e das suas relações. Desenvolve-se gradualmente como um resultado de exploração de números, visualizando-os numa variedade de contextos, e relacionando-os de maneira que não estejam limitados pelos algoritmos tradicionais. Dado que os manuais estão limitados às orientações de papel e lápis, eles podem, apenas, sugerir ideias para serem investigadas, não podem substituir “o fazer Matemática” que é essencial para o desenvolvimento do sentido de número (p.11).
Resnick (1986) defende a importância do desenvolvimento da intuição matemática para desenvolver o sentido de número, caracterizando-a de duas maneiras: é auto evidente para pessoas que a têm e encontra-se ligada na memória a situações específicas. Ambas as características podem ser encontradas nas respostas com sucesso dos alunos a tarefas como por exemplo, comparar a cardinalidade de dois números. É importante que o aluno desenvolva esta intuição matemática desde cedo. Muitos alunos, antes de entrarem para a escola, já desenvolveram capacidades de resolução de problemas, quer através da contagem, quer através da modelação informal, o que pode proporcionar o desenvolvimento da intuição matemática. Segundo esta investigadora, possuir intuição matemática
proporciona a base para a aplicação flexível e superior de conceitos bem conhecidos, notação e regras transformacionais (…) liberta da confiança excessiva nos algoritmos usuais, permite-lhes inventar procedimentos para os problemas não previamente encontrados e para trabalhar antes do ensino formal na construção do conhecimento matemático” (idem, p. 188).
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Esta autora considera que o foco da escola na manipulação de símbolo tem, de algum modo, impedido um maior desenvolvimento da intuição matemática dos alunos. Penso que estas ideias dão relevo, por um lado, à importância da intuição, ou seja, algo que não depende exclusivamente do ensino direto, mas que, por outro lado, apoia o desenvolvimento e construção do conhecimento matemático. Embora a intuição não seja fruto desse ensino, ela precisa de ser tida em conta para a aprendizagem da matemática e mais especificamente do sentido de número. Assim, o papel da compreensão intuitiva dos números e a capacidade individual para usar essa compreensão de uma forma criativa e flexível pode proporcionar o desenvolvimento de estratégias e procedimentos úteis para manipular números e operações e são aspetos importantes a ter em conta quando falamos de sentido de número. A intuição quantitativa permite e encoraja a invenção de algoritmos, desenvolve a decomposição e recomposição de números e de como os conceitos de valor de posição podem ser aplicados (Sowder, 1992).
Nas Normas para o currículo e a avaliação em matemática escolar (NCTM, 1991) é apontada esta ideia de intuição quantitativa em relação ao sentido de número - “O sentido de número é uma intuição acerca dos números que se forma a partir dos diversos significados do número” (p. 50). Para o NCTM (1991) o sentido de número engloba cinco componentes:
1. Desenvolvimento de significados acerca do número. Inclui o caráter cardinal e ordinal dos números;
2. Exploração das relações entre os números, usando materiais manipuláveis. A composição e a decomposição de conjuntos de objetos ajudam as crianças a compreender, por exemplo, que 50 são 5 dezenas, duas vezes 25, ou 4 dezenas e 10 unidades.
3. Compreensão da grandeza relativa dos números. Por exemplo, o 31 é grande quando comparado com o 4, da mesma ordem de grandeza do 27, cerca de metade de 60 e pequeno quando comparado com 92.
4. Desenvolvimento de intuições acerca dos efeitos relativos das operações com
números. Aqui é realçado o sentido de operação que será tratado mais adiante.
5. Desenvolvimento de padrões de medida de objetos comuns e de situações no seu
ambiente. Por exemplo, perceber que não tem sentido um aluno do 4º ano medir
idade. O conhecimento de intervalos razoáveis para tais medidas proporciona uma base de avaliação da plausibilidade de resultados (p. 50).
Como defende Greeno (1991) o sentido de número “é um termo que requer uma análise teórica, em vez de uma definição” (p. 171), e inclui a hipótese de que o sentido de número é um exemplo de raciocínio conceptual. Vários investigadores (Greeno, 1991; McIntosh et al., 1992; Resnick, 1987) consideram que definir sentido de número não é uma tarefa fácil dado um conjunto de componentes e capacidades a ele ligado, ou, como refere Sowder (1992) “uma rede conceptual bem organizada que permite relacionar os números e as propriedades das operações e resolver problemas numéricos de um modo flexível e criativo” (p. 381). Para Hope (1989) “o sentido de número não pode ser definido com precisão, mas situações onde claramente se nota a sua ausência podem ser facilmente reconhecidas” (p. 12), isto é, é mais fácil verificar a sua ausência quando um aluno é colocado perante determinadas situações.
Na tentativa de explicar por que é que definir sentido de número é tão difícil, Resnick (1987) categorizou o sentido de número substituindo o sentido de número por uma ordem
de pensamento superior, enunciando algumas das suas características:
[Sentido de número] é não algorítmico. Isto é, o percurso da ação não é totalmente especificado antecipadamente;
[Sentido de número] tende a ser complexo. O percurso total não é “visível” (mentalmente falando) a partir de qualquer ponto particular vantajoso;
[Sentido de número] frequentemente permite soluções múltiplas, em vez de soluções únicas, cada uma com custos e benefícios;
[Sentido de número] envolve a aplicação de julgamentos progressivos e interpretações;
[Sentido de número] envolve a aplicação de múltiplos critérios que, por vezes, entram em conflito uns com os outros;
[Sentido de número] frequentemente envolve incerteza. Nem tudo o que está disponível na tarefa é conhecido;
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[Sentido de número] envolve significados que se impõem para descobrir a estrutura numa desordem aparente;
Pensar o [Sentido de número] é trabalhoso. Há um trabalho mental consideravelmente envolvido nos tipos de elaborações e julgamentos exigidos (p. 3).
Através das características enunciadas, pode-se afirmar que o sentido de número depende de um conjunto de elementos que se interligam e que dependem uns dos outros, ou seja, não vive isolado, nem se pode definir isoladamente de todo um contexto de ensino, e, essencialmente, dos alunos. Nestas características são evidentes algumas complexidades, daí haver tanta dificuldade numa definição única. O sentido de número é algo pessoal, por isso, difere muito de aluno para aluno, requer alguma liberdade de atuação do aluno na utilização de soluções múltiplas, na aplicação de múltiplos critérios e no trabalho com alguma incerteza. Todas estas características precisam de ambientes e culturas de sala de aula que proporcionem oportunidades para pensar em vez de regras e procedimentos iguais para todos.
McIntosh et al. (1992) referem que o termo “sentido de número” é impreciso, difícil de compreender, pessoal e está relacionado com as ideias que cada um foi estabelecendo sobre os números e operações. Estas ideias nem sempre são fáceis de descrever e são muito mais evidentes em ação, designando o sentido de número como:
a compreensão geral que cada um tem de número e operações assim como a capacidade e a disposição para usar esta compreensão de forma flexível para fazer julgamentos matemáticos e desenvolver estratégias úteis para manipular números e operações (p. 3).
Estes autores sugerem um modelo para a caracterização do sentido de número numa tentativa para articular uma estrutura procurando clarificar e inter-relacionar algumas componentes, identificando-as e organizando-as segundo os temas comuns. Este modelo está dividido em três blocos, cada um com vários pontos específicos, diferenciando três áreas onde o sentido de número desempenha um papel chave, nomeadamente, o
conhecimento e a destreza com os números, o conhecimento e a destreza com as operações e aplicações do conhecimento e a destreza com os números e operações em situações de cálculo.
A Figura 2.5 ilustra as inter-relações entre as principais componentes. Estas inter-relações sugerem um processo monitorizado com ligações entre sentido de número e a metacognição. Uma pessoa com bom sentido de número pensa e reflete sobre os números, operações e resultados que estão sendo obtidos. Este pensamento reflexivo implicará, em algum momento, quaisquer componentes deste modelo.
Número Operações
Sentido do Número
contextos2
Figura 2.5 – Relações entre as principais componentes do sentido de número (McIntosh, et al., 1992, p. 5).
No bloco conhecimento e destreza com os números, os autores incluem a compreensão do sentido de regularidade dos números, múltiplas representações dos números, sentido da grandeza absoluta e relativa dos números e sistema de referências. Relativamente ao sentido e regularidade dos números é importante que o aluno compreenda o sistema de valor de posição, incluindo a sua aplicação aos números inteiros e decimais. Uma compreensão do sistema de numeração ajuda o aluno a organizar, comparar e ordenar mentalmente os números encontrados num contexto matemático. Por exemplo, quando um aluno aprende a contar a partir de 20 começa a perceber, tanto oralmente como por escrito, os padrões inerentes ao sistema de numeração. Uma vez identificados, estes padrões proporcionam um suporte importante para que o processo e a sequência de contagem continuem e se generalizem.
Nas múltiplas representações dos números, os alunos devem compreender que os números surgem em diferentes contextos e podem ser expressos numa grande variedade de representações, gráficas e/ou simbólicas. O sentido de número inclui o reconhecimento que os números podem apresentar várias formas e podem ser pensados e manipulados de
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diferentes maneiras. O reconhecimento de que algumas representações são mais úteis do que outras em certas situações de resolução de problemas é valioso e essencial para o desenvolvimento do poder matemático.
O sentido da grandeza absoluta e relativa dos números é outra característica importante de sentido de número, dado que envolve a capacidade para reconhecer o valor relativo de um número ou quantidade em relação a outro número e a capacidade para sentir a grandeza geral de um dado número ou quantidade.
O sistema de referências numéricas fornece referentes mentais essenciais para pensar acerca dos números. A variedade e a complexidade de referências na tomada de decisões acerca dos números e contextos numéricos são um indicador valioso do sentido de número. No bloco conhecimento e destreza com as operações, referem a compreensão do efeito das operações, a compreensão das propriedades matemáticas e a compreensão das relações entre as operações. Muito do dia-a-dia da matemática nas escolas é dedicado a ajudar os alunos na compreensão das operações, incluindo como são efetuadas. Por exemplo, na escola elementar uma base conceptual das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão é produzida juntamente com o desenvolvimento de competências específicas necessárias para efetuar cada operação através dum procedimento de papel e lápis.
A compreensão do efeito das operações implica a compreensão do efeito da operação com diferentes números, incluindo os números racionais e inteiros. Refletir e investigar a mudança nas respostas tendo em conta a alteração de uma das componentes da operação contribui para o sentido de número bem como refletir nas interações entre as operações e os números.
A compreensão das propriedades matemáticas, a propriedade comutativa e associativa, pode tornar mais evidente o sentido de número e, muitas vezes, os alunos, intuitivamente, aplicam as propriedades aritméticas nos procedimentos inventados para calcular.
A compreensão das relações entre as operações é outro aspeto que os alunos devem desenvolver. Estabelecer as conexões entre as operações, em especial, compreender a relação inversa entre operações, permite obter formas diferentes de pensar e resolver problemas.
No bloco aplicação do conhecimento e da destreza com os números e operações em
problema e os cálculos necessários, a consciencialização da existência de múltiplas estratégias, a apetência para utilizar uma representação eficiente e /ou método eficiente e a sensibilidade para rever os dados e resultados.
Resolver problemas da vida real requer raciocinar com números e/ou aplicar operações aos números envolvidos tomando uma variedade de decisões incluindo: decidir que tipo de resposta é apropriado (exata ou aproximada); decidir que ferramenta de cálculo é eficiente e/ou acessível (calculadora, cálculo mental); escolher uma estratégia e procedimento; aplicá-los; rever os dados e a razoabilidade dos resultados e talvez repetir o ciclo utilizando estratégias e procedimentos alternativas. Este processo envolve vários tipos diferentes de decisões. Primeiro, envolve compreender a relação entre o contexto do problema e o cálculo necessário. O contexto do problema fornece pistas não somente para as operações apropriadas, mas igualmente para os números a serem utilizados nestas operações e se a solução aproximada ou exata é apropriada.
Segundo, requer ter consciência da quantidade de estratégias possíveis para efetuar cálculos e uma inclinação para escolher uma estratégia eficiente. O sentido de número envolve reconhecer que, frequentemente, existem diferentes estratégias de resolução para um dado problema e perceber que, se uma estratégia inicial parece improdutiva, o formular e aplicar um nova estratégia deve ser um caminho a seguir. É importante também que os alunos tomem consciência de que, por vezes, algumas estratégias e/ou ferramentas de cálculo são mais eficientes do que outras. Esta consciencialização é um indicador do sentido de número.
Finalmente, é importante que o aluno tenha sensibilidade para rever refletidamente a resposta e para verificá-la tendo em conta a sua relação com o contexto do problema original. Esta visão requer que os alunos considerem os números incluídos tal como as questões colocadas para determinar se a sua resposta faz sentido.
O modelo proposto por McIntosh et al. (1992) envolve um conjunto de relações que atesta por um lado, a complexidade da definição do sentido de número, por outro lado, reforça a importância que todas as componentes têm na sua definição e para o seu caráter abrangente, desenvolvendo-se ao longo do tempo e perante diversas situações, em que a experiência é um fator determinante.
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desenvolve e amadurece com a experiência e conhecimento” (p.114). Esta autora, embora não apresente as componentes referidas por McIntosh et al. (1992) apresenta cinco características que podem ajudar na compreensão do sentido de número e onde são visíveis alguns aspetos considerados pelos referidos autores:
1. Olhar para um problema holisticamente antes de confrontar detalhes;
2. Olhar para as relações entre números e operações e considerar o contexto em que a questão é colocada;
3. Escolher ou inventar um método que favoreça a sua própria compreensão das relações entre os números e as operações e procurar a representação mais eficiente para a tarefa dada;
4. Usar um sistema de referências para julgar a grandeza de um número, por exemplo, 2/5 de 49 é menos do que metade de 49;
5. Reconhecer resultados não razoáveis para o cálculo no processo normal de reflexão das respostas (p. 115).
Algumas destas características também estão implícitas tanto no estudo desenvolvido por Markovits & Sowder (1994) como no de Reys e Yang (1998) e que estes autores consideram associadas ao sentido de número, nomeadamente: (i) uso de múltiplas representações dos números; (ii) reconhecer a grandeza relativa e absoluta dos números; (iii) selecionar e usar números de referência; (iv) decompor e recompor números; (v) compreender o efeito das operações sobre os números; e (vi) desempenho apropriado e flexível do cálculo mental e estimação.
Mais recentemente, alguns investigadores têm vindo a desenvolver estudos sobre o ensino e a aprendizagem do sentido de número que têm subjacentes modelos e diferentes características do sentido de número desenvolvidas tanto por psicólogos como educadores matemáticos, tendo como referência as componentes definidas por McIntosh et al. (1992), Markovits e Sowder (1994), Reys (1994) e Reys e Yang (1998). O modelo subjacente na maioria dos estudos está organizado em torno de cinco componentes:
(i) Compreensão dos significados dos números. Esta compreensão implica compreender os números e o desenvolvimento da compreensão conceptual dos mesmos;
(ii) Reconhecimento da grandeza dos números que inclui a capacidade para comparar números (números inteiros, frações, decimais) para ordená-los corretamente e reconhecer a sua densidade;
(iii) Uso adequado de números de referência, que inclui a capacidade para desenvolver e usar, de modo flexível números de referência em diferentes situações, tais como, 1, ½, 100, etc;
(iv) Compreensão do efeito relativo das operações. Este aspeto inclui a capacidade para identificar o modo como as diferentes operações afetam os resultados dos problemas;
(v) Desenvolvimento de estratégias apropriadas para avaliar a razoabilidade de uma resposta. Este aspeto implica o desenvolvimento e o uso de diferentes estratégias (tais como, estimação, cálculo mental) para resolver problemas de modo adequado e o reconhecimento da razoabilidade do resultado (Hsu, Yang & Li., 2001; Yang, 2003; Yang & Huang, 2004; Yang et al., 2008b).
As cinco componentes referidas nos estudos anteriores para analisar o sentido de número têm sido progressivamente reformuladas e reorganizadas de acordo com outros estudos que estes investigadores têm vindo a desenvolver em diferentes níveis de escolaridade e com diferentes tópicos matemáticos (Yang & Wu, 2010; Yang et al., 2008a).
O estudo desenvolvido por Yang et al. (2008b) demonstrou que o modelo das quatro componentes é mais apropriado do que o modelo com cinco componentes propostas em vários estudos (Yang, 2003; Yang et al., 2001; Yang et al., 2004; Yang et al., 2008a), considerando, assim, que as componentes chave para avaliar o sentido de número dos alunos do 5.º ano de escolaridade são: (i) reconhecer a grandeza relativa dos números; (ii) ser capaz de usar múltiplas formas de representação de números e operações; (iii) reconhecer a razoabilidade dos resultados; e (iv) compreender o significado básico dos números (Li & Yang, 2010).
Estas quatro componentes emergiram repetidamente em três estudos sobre o sentido de número em diferentes níveis (Hsu et al., 2001; Yang et al., 2008a; Yang et al., 2008b). Assim, estes autores consideram que em cada nível de ensino deverá ser feito um ajustamento nas componentes a analisar. Recentemente, Yang e Wu (2010) desenvolveram um estudo com alunos do 3.º ano de escolaridade com o objetivo de analisar o seu sentido de número tendo definido quatro componentes, embora com algumas alterações relativamente às referidas no estudo de Yang et al. (2008b): (i) compreender o significado básico de números e operações; (ii) reconhecer a grandeza relativa e absoluta dos números; (iii) ser capaz de usar números de referência de forma apropriada; e (iv) julgar a razoabilidade dos resultados.
O relatório National Mathematics Advisory Panel (2008) referindo-se ao sentido de número define-o em duas perspetivas, uma com um sentido mais elementar e outra considerando um tipo mais avançado do sentido de número. Na fase mais elementar, considera que o sentido de número “envolve uma capacidade para identificar, de forma imediata, o valor numérico associado a pequenas quantidades, facilidade com
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competências de contagem básicas e uma proficiência na aproximação à grandeza de um pequeno número de objetos e operações numéricas simples” (p. 27).
Numa fase mais avançada, defende que os alunos devem adquirir o sentido de número através do ensino formal e que tal “exige uma compreensão do modo de funcionamento do valor de posição, de como os números inteiros podem ser compostos e decompostos e do significado das operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão” (idem, p. 27). Este relatório refere ainda que é importante a compreensão das propriedades das operações e o conhecimento de como aplicar estes princípios na resolução de problemas. Embora não aponte um modelo para analisar o sentido de número, este estudo contém em si aspetos considerados importantes nos vários estudos referidos anteriormente.