Nesting and Related Techniques

Educação estatística

A Estatística tem vindo a ganhar importância na sociedade e em várias áreas profissionais, o que leva a suscitar interesse por parte dos investigadores em educação matemática. A forma como surge diariamente na comunicação social e em estudos para o governo e empresas, leva a que a interpretação dos dados estatísticos e a forma como são apresentados (gráficos, tabelas) não sejam apenas para estatísticos, mas sim para o cidadão comum. Steen (2002) refere que a Estatística é uma das áreas que está mais presente no dia-a-dia do cidadão comum.Ser um cidadão “literado” e informado, numa sociedade exposta a uma grande quantidade de informação estatística, requer a capacidade de interpretar e avaliar criticamente os dados que aparecem no dia-a-dia e de

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comunicar e tomar decisões informadas por eles (Ben-Zvi & Garfield, 2004; Gal, 2002). Este nível de literacia leva tempo a desenvolver, justificando a integração da Estatística nos currículos de muitos países, desde os níveis de ensino mais elementares. No entanto, o aumento do tempo dedicado ao ensino não é, só por si, suficiente para preparar cidadãos estatisticamente letrados, é necessário desenvolver, também, o seu raciocínio estatístico que está fortemente associado à tomada de decisões em condições de incerteza (Batanero, Burrill & Reading, 2011; Makar, Bakker, & Ben-Zvi, 2011). Tem havido progressos relativamente à educação estatística, uma vez que se tem seguido as recomendações de outros países, relativamente às orientações curriculares, aparecendo mais enfatizada em Portugal, no programa de Matemática às Ciências Sociais e do ensino secundário profissional. No entanto, o ensino da Estatística ainda é, de um modo geral, realização de cálculos, construção de gráficos e estudo de medidas estatísticas, não dando a oportunidade aos alunos de se envolverem em todo o processo estatístico, surgindo dificuldades em usar a Estatística adequadamente como ferramenta útil na resolução de problemas do quotidiano, tanto a nível escolar como pessoal. As mudanças preconizadas para o ensino da Estatística, não dizem só respeito ao conteúdo, mas também à forma como se ensina (Batanero, Burrill & Reading, 2011). Hoje em dia, defende-se um papel mais ativo e aprofundado no ensino da Estatística e esperam-se novas abordagens no seu ensino e aprendizagem, mais holísticas e orientadas para os dados e para o desenvolvimento estatístico dos alunos, valorizando as investigações em contextos reais, tirando partido da riqueza dos dados e da tecnologia (Ben-Zvi & Garfield, 2010; Henriques & Oliveira, 2012). Tendo em conta as novas abordagens para o ensino e aprendizagem da Estatística, relativamente à realização de investigações estatísticas, discutidas por Wild & Pfannkuch (1999), estas são reconhecidas como um processo inferencial, envolvendo os alunos que as realizam na generalização a outros contextos das conclusões retiradas a partir dos dados em análise. A investigação recente usa a expressão “inferência estatística informal” para designar o trabalho dos alunos como formas de inferência estatística, desde que começam a colocar questões sobre o conjunto de dados e a estabelecer relações, passando pela operacionalização da recolha de dados até ao momento em que se confrontam com a inferência formal (Watson, 2008). Makar, Bakken & Ben-Zvi (2011) explicam que a palavra informal é usada para: (i) tornar claro que a inferência estatística é um conceito alargado e não se restringe à estimação ou aos típicos testes de hipóteses formais; e (ii) destacar que não se espera que os alunos se apoiem em medidas estatísticas e procedimentos formais para formular as suas inferências. A

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inferência estatística deve ser ensinada aos alunos a partir de contextos ricos, permitindo tirar conclusões úteis e interessantes em contexto sobre os dados.

À medida que a sociedade valoriza a análise de dados e a capacidade de raciocinar sobre eles e de usá-los de modo efetivo e crítico na tomada de decisões, contrastando com as práticas habituais de aplicação de fórmulas que requerem cálculos morosos e repetitivos e sem significado para os alunos, a Estatística tem ganho destaque nos documentos curriculares, tanto nacionais como internacionais (GAISE, 2005; ME, 2007; NCTM, 2007).

A preocupação com a forma como se ensina e aprende Estatística deu origem à educação estatística. Isso ocorreu, em parte, devido às contribuições que esta apresenta perante as grandes transformações tecnológicas e científicas da sociedade moderna. A forma como as tabelas e gráficos aparecem nos meios de comunicação social leva a que o cidadão comum deva possuir a capacidade de interpretar essa informação, ou seja possua alfabetização matemática. Campos (2007) assegura que, nessa linha de investigação, apesar do objeto de estudo ser a estatística, o foco é a educação e daí se origina a conjugação educação estatística. Wodewotzki e Jacobini (2004) afirmam que a educação estatística se trata de:

Um processo que favorece a contextualização das informações e oferece oportunidades relevantes para reflexões e para críticas, sobretudo quando se trata de informações de ordem social. (p. 233)

Uma educação estatística crítica requer do professor uma atitude de respeito face ao conhecimento extra matemático que o aluno possui e transpõe para a escola.

O trabalho com a Estatística torna-se relevante ao possibilitar ao aluno, desenvolver a capacidade de recolher, organizar, interpretar e comparar dados para obter e fundamentar conclusões, que é a grande base do desempenho de uma atitude científica, que tanto é referida nos programas de Matemática. Esses temas são essenciais na educação para a cidadania, uma vez que possibilitam o desenvolvimento de uma análise crítica sob diferentes aspetos científicos, tecnológicos e/ou sociais. A aprendizagem da Estatística poderá ser mais significativa para a formação de futuros cidadãos desde que o professor não se limite a ensinar algoritmos e a repetir cálculos, mas que valorize outras competências e recorra a informações e dados reais do contexto dos alunos e possam ir ao encontro das suas expetativas. Como Steen (2002) refere:

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Os cidadãos quantitativamente letrados precisam de saber mais do que fórmulas e equações. Necessitam de uma predisposição para observarem o mundo através de olhos matematicamente críticos, para se aperceberem dos benefícios (e riscos) da aplicação do pensamento quantitativo nos assuntos quotidianos e para abordarem problemas complexos com confiança no valor do raciocínio ponderado. A literacia quantitativa confere às pessoas o poder de pensarem por si próprias, de colocarem questões inteligentes e de confrontarem as autoridades com confiança. Estas são as competências necessárias para singrarem no mundo moderno. (Steen, 2002, p.80)

Para este autor, a Estatística permite desenvolver o conceito de cidadania, ao promover uma reflexão para quem a compreende sobre praticamente todos os grandes assuntos de interesse público. Também Gal e Garfield (1997) referem que a Estatística possibilita aos alunos a compreensão e o saber lidar com a incerteza, variabilidade e informação estatística existente no dia-a-dia e, desta forma, contribuírem para a produção, interpretação e comunicação de dados de problemas com que se deparam na sua vida profissional.

Para além de promover a cidadania, Steen (2002) menciona que a Estatística intervém em outras áreas como: cultura, educação, profissões, finanças, saúde e trabalho. Na cultura, porque o homem deve entender o papel da matemática na vida; relacionar a história da matemática com o desenvolvimento da cultura e da sociedade; compreender que as conjeturas influenciam o comportamento dos modelos matemáticos e saber como utilizá-los para tomar decisões. A Estatística é de relevo para a educação porque muitas são as áreas científicas que necessitam da Estatística, por exemplo:a biologia, a medicina e as ciências sociais. Nas profissões, a Estatística desempenha um papel importante porque à medida que a interpretação de dados se tem tornado cada vez mais relevante em decisões que afetam a vida das pessoas espera-se que os profissionais de praticamente todas as áreas sejam capazes de usar ferramentas quantitativas. Neste contexto e tendo em conta as mudanças sucessivas e necessidades da sociedade e do mundo, a escola tem o papel importante de preparar os alunos para esse mundo em constante mudança. A Estatística assume deste modo um papel preponderante nessa preparação porque proporciona ferramentas metodológicas gerais para analisar a variabilidade (Gal & Garfield, 1997), determinar relações entre variáveis, desenhar as suas próprias experiências e tomar decisões em situações de incerteza (Batanero & Diaz, 2004).

Os avanços na tecnologia e a crescente facilidade de acesso a dados reais, fornecem aos professores novas ferramentas para adotar abordagens informais orientadas

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para os dados, usando contextos ricos e significativos para os alunos, como os proporcionados pelas investigações estatísticas (Ben-Zvi et. al., 2012) e porque não, também a modelação. Os múltiplos recursos tecnológicos hoje disponíveis têm sido incorporados na educação estatística de modos diversificados, em particular como instrumento de apoio aos alunos na exploração e análise de dados, na resolução de problemas estatísticos envolvendo dados reais e na compreensão de conceitos complexos e ideias estatísticas, com o objetivo de desenvolver o seu raciocínio estatístico (Ben-Zvi, 2006; Ben-Zvi & Garfield, 2004).

Assim sendo, é necessário que a escola prepare os alunos para que consigam pensar e refletir sobre a sociedade que os rodeia de forma crítica e ativa.

A Estatística como ferramenta na modelação matemática

A Estatística é uma ciência que se dedica à recolha, análise e interpretação de dados. Preocupa-se com os métodos de recolha, organização, resumo, apresentação e interpretação dos dados, assim como tirar conclusões sobre as características desses mesmos dados, para melhor compreender as situações.

Através do desenvolvimento do raciocínio estatístico é possível organizar e analisar melhor as informações recolhidas, possibilitando a compreensão de sua estrutura e interpretações adequadas (Wodewotzki & Jacobini, 2005).

Apesar da importância da Estatística no ensino da Matemática apontada por vários autores e a sociedade em geral, existem dificuldades inerentes ao ensino da Estatística. Os professores têm eles próprios que saber problematizar uma situação, organizar, tratar, interpretar os dados e conseguir saber se estes são ou não adequados (Batanero et al., 2004). Isto está de acordo com as quatro etapas inerentes a uma investigação estatística apontadas por Franklin et. al., (2007). Outros autores como Kader e Perry (1994) ainda destacam uma quinta fase que passa pela comunicação de resultados obtidos, importantíssima quando se realiza com os alunos tarefas de modelação matemática. Para outros autores, Wild e Pfannkuch (1999) existem quatro dimensões que dividem o pensamento estatístico: (1) ciclo investigativo; (2) tipos de pensamento; (3) ciclo interrogativo e (4) disposições (Figura 4).

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(1) Ciclo investigativo

Figura 4: A primeira dimensão do pensamento estatístico: ciclo investigativo (Wild & Pfannkuch,1999)

Segundo Shaugnessy (2007), esta é primeira fase dos inquéritos estatísticos, cujas fases coincidem com as apresentadas por Pólya (1945) para a resolução de problemas: compreender, planificar, executar e revisão do problema. No entanto, este autor refere que em Estatística, de um modo geral, não é concedido muito tempo à fase da problematização e da planificação, uma vez que quando aos alunos são apresentadas tarefas, nestas já aparece a problematização da situação e a recolha de dados, o que empobrece o ciclo investigativo. A formulação do problema de investigação estatística, como indicam Makar e Fielding-Wells (2010) constitui a base fundamental para o trabalho a realizar. Na sua perspetiva, as questões iniciais devem motivar os alunos, estar relacionadas com os seus interesses e serem desafiantes, e não causem frustrações ao nível da sua resolução. Heaton e Mickelson (2002) acrescentam que as questões devem ser abertas, estatisticamente ricas, com conteúdo apropriado aos alunos e relacionadas com outras áreas do currículo e do saber, referindo, que por vezes, esta fase é muitas vezes desvalorizada. No caso da modelação matemática e nesta investigação em particular o ciclo investigativo é mais rico, porque os alunos tiveram a oportunidade de serem eles, com base nas suas motivações e contextos profissionais fazerem conjeturas e formularem eles próprios problemas de situações por eles conhecidas e que quiseram ver estudadas. Neste sentido, a recolha de dados teve por base a organização de eventos e de atividades contextualizadas ao curso profissional em questão e foram eles próprios que se envolveram na operacionalização da recolha de dados e que foram posteriormente trabalhados em contexto de sala de aula. Deste modo, o ciclo investigativo do pensamento

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estatístico proposto por este autor pode ser trabalhado de forma mais rica e adequa-se perfeitamente ao que se pretende em modelação matemática.

Durante o planeamento da investigação estatística, cabe aos professores ajudar os alunos a tomar decisões metodológicas, que podem passar por, usar população em vez de amostras (Makar & Fielding-Wells, 2011). Contudo, esta fase também é frequentemente desvalorizada em sala de aula, não proporcionando aos alunos ferramentas para resolver problemas estatísticos na sua fase inicial (Shaughnessy, 2007). Outros autores, Heaton e Mickelson (2002) defendem que os professores devem responsabilizar os alunos por esta fase de planeamento.

A segunda fase do pensamento estatístico: Tipos de pensamento (Wild & Pfannkuch,1999)

(2) Tipos fundamentais do conhecimento estatístico:

 Reconhecimento da necessidade dos dados

 Transnumeração (mudança de representações para proporcionar compreensão)

Recolha de medidas do sistema real Mudança de representações de dados Comunicação de mensagens nos dados

 Consideração da variação Perceber e reconhecer

Medir e modelar para o propósito de prever, explicar ou controlar Explicar e lidar com estratégias investigativas

 Raciocinar com modelos estatísticos Raciocínio baseado em agregados

 Integração da estatística e do contexto Conhecimento, informação e conceções

Tipos gerais:

 Estratégico

Planear, antecipar problemas Ter em atenção restrições práticas

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Procurar explicações

 Modelar

Construção seguida de utilização

 Aplicar técnicas Seguir precedentes

Reconhecer e utilizar exemplos-tipo

Usar instrumentos de resolução de problemas

Para Shaugnessy (2007), o pensamento estatístico implica não só pensamento intrínseco não só à Estatística como também associado a pensamentos mais gerais e estratégicos, tal como a heurística de Pólya propõe.

A necessidade dos dados e o reconhecimento destes é a base do raciocínio estatístico e do seu pensamento, pois quando esta vertente é focada e porque o estudo inicia-se com um problema que se pretende resolver e interpretar, sendo imprescindível a recolha de dados para o problema em estudo (Burgess, 2007). Para a modelação matemática e neste estudo em particular, esta fase revela-se de extrema importância uma vez que os problemas surgem da necessidade dos alunos compreenderem o real e das situações inerentes à sua futura profissão, sendo necessário a recolha de dados reais e reconhecida a importância dessa mesma necessidade.

A transnumeração consiste na capacidade de se ordenar os dados, criar tabelas ou gráficos e deste modo encontrar a medida de localização que melhor se adapte aos dados, isto é, mudar a representação dos dados de modo a que esta faça sentido (Wild & Pfannkuch, 1999).

A variação afeta a tomada de decisões tendo em conta os dados, pois temos que compreender que os dados variam (Burgess, 2007). Na modelação matemática e uma vez que partimos da realidade, ao recolher os dados reais temos que perceber que os resultados que iremos obter a partir dos dados serão comparados a essa realidade e não a outra, não podendo avançar com generalizações.

O raciocínio com modelos, segundo Burgess (2007), é a fase necessária para dar sentido aos dados, incluindo tabelas, gráficos e medidas. Na modelação matemática em Estatística esta fase está presente, pois após a recolha dos alunos e do estabelecimento de conjeturas e hipóteses, é necessário organizar dos dados em tabelas e gráficos, permitindo

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posteriormente e na fase seguinte do ciclo de modelação à construção do modelo matemático.

Por último, a fase da integração da estatística e do contexto, corresponde à relação existente entre o conhecimento do contexto (no caso da modelação matemática, do conhecimento extra matemático) com o conhecimento estatístico, relacionando os dados da situação com os dados obtidos (Wild & Pfannkuch, 1999). Esta fase na modelação matemática corresponde à fase da interpretação dos resultados matemáticos, no caso deste projeto, resultados estatísticos com a situação real.

(3) Ciclo interrogativo

Figura 5: A terceira dimensão do pensamento estatístico: o ciclo interrogativo (Wild & Pfannkuch, 1999)

Wild e Pfannkuch (1999) referem que o ciclo interrogativo está associado a dados recolhidos a partir de atividades que permitam gerá-los, procurar informação, criticar os resultados e validar ou não, revelando-se uma dimensão interessante para a modelação matemática, dadas as suas fases sequenciais (Ferri, 2006). Nesta fase de investigação estatística, para além de se recolher e controlar os dados, faz-se uma “limpeza” dos mesmos (Martins & Ponte, 2010; Wild & Pfannkuck, 1999). Segundo Makar e Fielding- Wells (2011), os professores com experiência na orientação do trabalho dos alunos facilmente reconhecem oportunidades para aprendizagens significativas durante a discussão entre estes, relativa a problemas surgidos a partir da recolha de dados.

Este ciclo interrogativo, na modelação matemática é importantíssimo porque ao chegarmos a resultados matemáticos e ao compará-los com a realidade temos que ter a

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capacidade de nos interrogar acerca da sua adequabilidade à situação real e concluir se o modelo matemático construído e escolhido é válido ou não.

Quarta dimensão do pensamento estatístico (Wild & Pfannkuch, 1999)

(4) Disposições  Ceticismo  Imaginação  Curiosidade e consciência -Observação e atenção  Abertura

-Ideias para alterar preconceitos

 Uma propensão de procurar um significado mais profundo

 Ser lógico

 Envolvimento

 Perseverança

Segundo Shaugnessy (2007), as disposições apontadas por Wild e Pfannkuck (1999), para se tentar resolver um problema é necessário ter curiosidade em estudá-los e encontrar soluções; ser cético, característica essencial para criticar os resultados e não os aceitar de imediato; ter imaginação; ser aberto a várias e possíveis interpretações equerer aprofundar o assunto, podendo haver a possibilidade de voltar atrás no ciclo se tal se justificar. Estas disposições são essenciais no ciclo de modelação matemática adotado neste estudo, pois é a curiosidade sobre situações profissionais e conjeturas que os alunos fazem, que levam à criação de modelos reais e modelos matemáticos e é o seu ceticismo e capacidade crítica que pode conduzir estes alunos a aceitarem ou não o modelo matemático ao confrontarem resultados matemáticos com a realidade.

Wodewotzki e Jacobini (2005) enfatizam que para a compreensão e construção do pensamento estatístico, o estudo não deve ser feito isoladamente; é importante que seja trabalhado com dados reais, relevantes para os estudantes e, principalmente, obtidos por eles mesmos. Esta ideia vai ao encontro do que se pretende para este estudo, pois o objetivo é ensinar tópicos de Estatística através da modelação matemática e que sejam os próprios alunos, a partir das suas motivações e necessidades, face ao curso profissional

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em que estão integrados, a organizar atividades em contextos profissionais que levem à recolha de dados e ao surgimento de variáveis que possam levar ao estabelecimento de relações. Esta ideia é defendida por Burak (2004), pois segundo este autor, a modelação matemática vai ao encontro das expetativas do aluno, por dar sentido ao que ele estuda e por satisfazer esses interesses e motivações. O aluno passa a trabalhar com mais entusiasmo e perseverança, formando atitudes positivas face à Estatística e gosto por esta. O facto de relacionarmos a aprendizagem da Estatística com o contexto e motivações do aluno poderá ser um meio facilitador da aprendizagem.

O ensino e aprendizagem das distribuições bidimensionais

O conceito de covariação aparece na resolução de problemas do quotidiano e por isso faz parte dos currículos internacionais de vários países, surgindo em Portugal nos programas de Matemática do ensino secundário regular e profissional (ME, 2001a e 2001b) e mais recentemente no documento das metas curriculares para o 11.º ano de Matemática A (ME, 2013). Este conceito está relacionado com o raciocínio covariacional e é um dos aspetos fundamentais do pensamento estatístico, uma vez que envolve processos sobre o estabelecimento de relações entre variáveis, a representação gráfica dos dados bivariados permitindo a identificações de relações ou padrões e a justificação verbal sobre a covariação (Garfield & Ben-Zvi, 2008).

Várias investigações evidenciam alguma complexidade no ensino e aprendizagem das distribuições bidimensionais (Engel & Sedlmeier, 2011; Estepa & Batanero, 1996; Garfield & Ben-Zvi, 2008; Mugabe, Fernandes & Correia, 2012). A compreensão da regressão e correlação exige conhecimento básico sobre funções e, acima de tudo, a consideração da variação à volta de uma possível tendência (Engel & Sedlmeier, 2011). Covariação, num sentido mais alargado, é uma correspondência entre variáveis cujos valores envolvem alguma forma de associação (Batanero, Estepa & Godino, 1997; Moritz, 2004; Zieffler & Garfield, 2009). A definição de covariação é frequentemente incluída na definição de associação, segundo Moritz (2004). A primeira é distinta desta porque o termo associação estatística pode referir-se a associações entre duas variáveis

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