A música sempre foi conhecida por ser a arte de manifestar e organizar os sons e, através dela, muitos acontecimentos históricos e culturais foram registrados e chegaram até os dias atuais. Por outro lado, a matemática é conhecida como a arte dos números, portanto, ambas são consideras de grande aporte para a sociedade, com habilidades diferentes e supostamente, para os leigos, sem nenhuma ligação.
A descoberta da importância da música para a sociedade e o seu papel na educação se deve aos gregos. Os grandes pensadores gregos salientavam que a música influenciava no caráter daquele que a escutava e, sendo assim, muito se refletia sobre a sua função no estado, como expõe Esgo (2010).
A relação entre a Matemática e a Música é uma relação ancestral. Esta relação era tão óbvia, que as escolas de Pitágoras, Platão e Aristóteles consideravam a Música como uma parte integrante da Matemática, que em conjunto com a Aritmética, Geometria e a Astronomia formavam o quadrivium – as “quatro vias” (ESGO, 2010, p.2).
A matemática é substancial para a compreensão da música na humanidade, vale ressaltar que foi a partir dessa ciência, que na Grécia Antiga, Pitágoras fez a descoberta da ligação entre matemática e música, de onde se tem o primeiro registro corroborado entre essas
Foi desse modo, unindo percepção e razão, que Pitágoras relacionou a música com a matemática. Segundo conta a lenda, Pitágoras estava determinado a achar uma medida para a percepção sonora. Usando um monocórdio, instrumento de uma corda semelhante à lira, Pitágoras investigou o que acontecia com a percepção dos sons ao variar o comprimento da Corda (GRANJA, 2006, p. 31).
Pitágoras fez a importante descoberta de que as notas musicais eram alcançadas através de um sistema fracionário. Através dos testes realizados com o monocórdio, ilustrado pela Figura 1, Pitágoras percebeu que ao minimizar o tamanho da corda, eram produzidos novos sons, e as vibrações aconteciam com uma frequência maior do que a anterior.
Figura 1 - Monocórdio elaborado por Pitágoras Fonte: Mingatos (2006, p.25).
A partir de experimentos realizados com esse objeto, foi possível estabelecer cientificamente as distâncias de razão e proporção dos sons musicais. Santos (2013) descreve assim o modo de utilização do monocórdio:
Então a partir de estudos observou que uma corda esticada quando tocada solta produzia um determinado som, e se colocasse o dedo no meio da corda esticada e tocasse novamente obteria o mesmo som, porém, uma oitava acima. Na música, o intervalo entre uma nota musical e outra com a metade ou o dobro de sua frequência denomina-se oitava (SANTOS, 2013, p.20).
De fato, Pitágoras percebeu as associações entre o comprimento da corda e as alturas sonoras emitidas pela mesma. Ao executar a corda inteira, levou em consideração o som obtido como fundamental. Fez o mesmo procedimento apertando a corda pela metade e notou que o novo som originado era o mesmo que o fundamental, mas a uma oitava acima.
Ao fazer a redução da corda a ¾ e 2/3 do tamanho original comprovou que os sons faziam referência à quarta e à quinta, relativamente ao som fundamental. Desse modo Olegário (2013) afirma que “Ao considerar que a corda inteira, ao ser tocada livremente, produz um Dó, por exemplo, ao reduzi-la à metade, esta produzirá um dó uma oitava acima, bem como um fá a ¾ do comprimento da corda e um sol a 2/3”, conforme ilustra o Quadro 1:
Quadro 1 – Notas musicais referentes a divisão de Pitágoras, intervalos e frequências correspondentes
Nota Intervalo com a
nota básica Afinação natural Frequência (Hz)
Dó Uníssono 1=1,000 132,000
Ré Segunda maior 9/8=1,125 148,500
Mi Terça maior 5/4=1,250 165,000
Fá Quarta perfeita 4/3=1,333 175,956
Sol Quinta perfeita 3/2=1,500 198,000
Lá Sexta maior 5/3=1,667 220,044
Si Sétima maior 15/8=1,875 247,50
Dó Oitava perfeita 2=2,000 264,000
Fonte: Elaborado a partir de (ALEIXO, 2003).
Entretanto, a primeira escala musical descoberta continha somente quatro sons, e assim outras notas foram sendo descobertas conforme o passar do tempo, seguindo as mesmas definições estabelecidas por Pitágoras, até originar a escala denominada escala diatônica de Dó.
A escala diatônica possui 7 sons, sendo que o oitavo é a repetição do primeiro a uma oitava acima. Então, para fazer o descobrimento das outras notas foi realizado um procedimento denominado ciclo das quintas, no qual em termos de comprimento de corda, a quinta (ou quinta justa) de uma nota musical qualquer (PEREIRA, 2013, p.29) é determinada pela equação:
Onde Q é a nota a ser encontrada e Xn a nota inicial.
Utilizando a equação , fazemos a substituição de Xn por 1 (valor relativo a DÓ 1), a fim que possamos encontrar o intervalo de quinta relativo ao som fundamental DÓ 1 onde:
Fazendo uso novamente da equação , substituímos Xn por 3/4 (valor relativo
ao FÁ 1), para que se possa encontrar o intervalo de quinta relativo ao som fundamental FÁ 1 desse modo:
-Quinta de FÁ 1: , dessa maneira o resultado é a nota DÓ 2 que está a uma oitava (intervalo de oito notas musicais) da nota fundamental, ou seja do DÓ 1.
Para que se encontre o intervalo de quinta referente a nota de som fundamental SOL 1 faz o emprego da equação dada, substituindo Xn por 2/3, ocorrendo então:
-Quinta de SOL 1: , assim a nota que se origina é a nota ré, que tem a equivalência ao RÉ 2, ou seja está localizada na escala de uma oitava acima, e como o RÉ 1 tem o dobro de comprimento, multiplicamos o resultado encontrado (4/9) por 2 sendo assim,
.
Nessa perspectiva, para se constatar o intervalo de quinta consonante ao RÉ 1, empregamos novamente a equação, onde dessa vez substitui Xn por 8/9 de acordo que:
-Quinta de RÉ 1: , equivalente ao LÁ 1.
Seguindo com o mesmo método, com intuito de encontrar o intervalo de quinta do LÁ 1, sobrepomos 16/27 no lugar de Xn da equação, de modo que:
-Quinta do LÁ 1: , o resultado é igual ao MI 2 (ou seja está a oito notas acima da escala que queremos), mas como MI 1 possui o dobro de comprimento multiplicamos o produto por 2, onde : .
Para encontrar a última nota correspondente da escala de DÓ, é preciso encontrar através do MI 1 o seu intervalo de quinta, que se dá através da equação, de maneira que no Xn
é 64/81, logo:
-Quinta de MI 1= , que equivale ao SI 1. Nessa perspectiva Pereira (2013) ressalta ainda que:
É importante lembrar que, se uma nota está na 2ª oitava (entre DÓ 2 e DÓ 3), deve- se multiplica-la por 2 para traze-la aos limites da 1a oitava. Isto e, se o DO2 equivale à metade do DÓ 1, então o DÓ 1 equivale ao dobro do DÓ 2. Raciocínio análogo e utilizado para todas os casos acima em que as notas foram multiplicadas por 2. (PEREIRA, 2013, p.26).
A fim de sintetizar as ideias de Pereira (2013), foi-se organizando as informações conforme o Quadro 2.
Quadro 2 – Escala natural de dó com indicação das proporções
Dó 1 Ré 1 Mi 1 Fá 1 Sol 1 Lá 1 Si 1 Dó 2
Razão a partir de Dó
1
Fonte: Elaborado pelo autor
Deste modo, as notas Do, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá e Si formam a chamada escala diatônica de sete notas. Fazendo o cálculo da distância do intervalo entre essas notas, encontraremos apenas dois valores que são 8/9 e 128/243, onde estes valores representam o tom diatônico e semitom diatônico pitagórico, respectivamente. Vale lembrar que o semitom ocorre do Mi para o Fá e do Si para o Dó.
A Figura 2 mostra o processo descrito. Nela a sucessão das quintas das notas é feita a partir do Dó, demonstrando algumas das notas encontradas pelo processo descrito por Pereira (2013), ainda vale ressaltar que, na figura destaca as notas de forma enarmônica, isto é, notas com nomes diferentes, porém com a mesma sonoridade.
Figura 2 - Espiral de quintas
Após estabelecida uma escala musical através dos estudos com o monocórdio, vários outros pesquisadores, matemáticos e músicos, principalmente, discutiram de forma ampla o experimento de Pitágoras ao longo da história, reafirmando as concepções pitagóricas.